资源简介

8.2 空间中的平行关系
空间中的平行关系
线线平行
①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等）
③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
图形语言 符号语言
线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行
图形语言 符号语言
面面平行的判定定理
判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行
图形语言 符号语言
判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行
图形语言 符号语言
面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行
考点1 平行关系的判断
【例1】设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】根据空间中线面之间的位置关系逐一判断即可.
【详解】对于A，因为是三条不同的直线，，
所以，故A正确；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则或或或直线与平面相交，故C错误；
对于D，若，则与平行或相交，故D错误.
故选：A.
【变式1-1】已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可.
【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误；
对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误；
对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得，
又，则，因为，所以，故D正确.
故选：D.
【变式1-2】设直线，平面，则下列条件能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】B
【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A. ，且，由于无法得知是否相交，所以不能得到，
对于B. ，且，则，故B正确，
对于C. ，且，此时可能相交，
对于D. ，且，则可能相交，
故选：B
【变式1-3】已知是两条直线，是平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，则可能，所以A选项错误.
B选项，若，则可能，所以B选项错误.
C选项，若，则可能异面，所以C选项错误.
D选项，由，可得，所以D选项正确.
故选：D
【变式1-4】设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与平行
【答案】D
【分析】根据面面平行的定义和判定定理判断即可.
【详解】对于A：内有无数条直线与平行推不出，只有内所有直线与平行才能推出，故A错误；
对于B：，垂直于同一平面，得到或与相交，故B错误；
对于C：，平行于同一条直线，得到或与相交，故C错误；
对于D：由面面平行判定定理得，故D正确．
故选：D.
【变式1-5】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】C
【分析】利用举反例结合长方体的几何性质逐一辨析，根据线面平行的判定定理以及性质定理，可得答案.
【详解】由题意，作长方体，如下图所示：

对于A，当平面平面，，时，显然，，但，故A错误；
对于B，当平面平面，平面平面，时，显然，，但，故B错误；
对于C，因为，所以，，因为，所以，因为，，所以，故C正确；
对于D，当平面平面，平面平面，时，显然，，但，故D错误；
故选：C.
【变式1-6】已知在正方体中，，交于点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．
【答案】C
【分析】利用线面平行的判定定理证明C，根据平面说明A，利用平面说明B，由说明D.
【详解】连接，作出图形如图所示，
因为且，所以为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
同理可证，即可证明平面，
又，平面，所以平面平面，
故平面，故C正确；
对于A，因为，平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故A错误；
对于B，同理可证平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故B错误；
对于D，易知，而，，共面且与不平行，所以不垂直于，故D错误．
故选：C．
考点2 线面平行的判定定理
【例2】如图，在正方体中，E是的中点.

(1)求证：平面；
(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面；
（2）利用等体积法，求三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：因为在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，
三角形ABC的面积，
三棱锥的体积.
【变式2-1】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

(1)求三棱柱的表面积；
(2)求证：平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别求三棱柱每个面的面积相加即可；
（2）利用线面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，
所以侧面，，均为矩形．
因为，所以底面，均为直角三角形．
因为，，所以．
所以三棱柱的表面积为
．
（2）连接交于点，连接，因为四边形为矩形，
所以为的中点．因为为的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．

【变式2-2】如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为的中点，且．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，利用中位线得到线线平行，从而求出线面平行；
（2）求出，进而求出.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为底面是正方形，
所以为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，底面是正方形，平面，
所以，
因为为的中点，所以.
【变式2-3】如图所示，是正三角形，平面，，，，且F为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取AB的中点为G，连接FG，GC，利用三角形中位线性质，结合平行传递性证明四边形FGCD为平行四边形，可得，然后由线面平行判定定理可证；
（2）先证明平面，然后由计算可得.
【详解】（1）取AB的中点为G，连接FG，GC，
因为F为的中点，所以，且，
又因为，，
所以，且，
所以四边形FGCD为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.

（2）因为平面，平面，
所以平面平面，
因为是正三角形，G为AB中点，
所以，
又因为平面平面，平面，
所以平面，
因为，所以平面，
易知，，
又，
所以.
考点3 面面平行的判定定理
【例3】如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）线面平行判定定理证明即可；
（2）先证线面平行，再证面面平行即可.
【详解】（1）∵分别是的中点，
∴
又∵平面,平面,
∴平面.
（2）∵四边形为正方形，且分别为，边的中点，，
又∵面，面，
∴面，
由（1）知，平面，
且,平面,平面,
∴平面平面
【变式3-1】如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点．

(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面∥平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)作出辅助线，利用三角形的中位线结合线面平行的判定定理，判定即可；
(2)利用平行六面体的性质，结合两个中点，易证平行四边形，根据平行四边形对边平行的性质，从而证明线面平行，再利用(1)中结论，结合面面平行的判定定理，判定即可.
【详解】（1）连接，交于，连接，

在平行六面体中，为平行四边形，
为中点，
为的中点，
平面平面，
平面；
（2）在平行六面体中，，，
为的中点，为的中点，
，
为平行四边形，从而，
平面平面，
平面，
由（1）可知：平面，
平面平面，且，
平面平面.
【变式3-2】如图：在正方体中，为的中点.

(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(2)若为的中点，求证：平面平面.
【答案】(1)直线平面，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论；
（2）根据四边形为平行四边形可得，由线面平行判定可得平面，结合（1）中结论，由面面平行的判定可证得结论.
【详解】（1）直线平面，理由如下：
连接，交于点，连接，

四边形为正方形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（2）分别为中点，，又，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
由（1）知：平面，又，平面，
平面平面.
【变式3-3】在如图所示的多面体中，平面，，，，点、分别为、的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求多面体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)16
【分析】（1）先证面内两相交线和分别平行于平面，即证平面， 平面，从而可证平面平面；
（2）由平面，可证．又， 平面，即是四棱锥的高，同理可证平面，从而可求多面体的体积.
【详解】（1）证明：，
四边形是平行四边形，．
又平面平面平面．
分别为的中点，
是的中位线，．
平面平面平面．
平面，
平面平面．
（2）平面平面．
又平面，
平面是四棱锥的高，且．
．
又平面，
平面．
．
考点4 线面平行的性质定理
【例4】如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．
求证：.
【答案】证明见解析
【分析】根据线面平行判定定理证明平面，然后再由线面平行的性质定理可证.
【详解】证明：∵平面平面，
∴平面，
又平面，平面平面，
∴.
【变式4-1】如图，在三棱柱中，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．求证：.

【答案】证明见解析
【分析】先证明平面，再利用线面平行的性质定理可得结论.
【详解】因为在三棱柱中，
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
.
【变式4-2】已知四棱锥，底面为菱形，平面平面，证明：.

【答案】证明见解析
【分析】先证明平面，再根据线面平行的性质定理求解即可.
【详解】因为为菱形，所以
平面平面，
所以平面，
又因为平面，且平面平面，
所以．
【变式4-3】如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：．
【答案】证明见详解
【分析】连接交于点，连接，先利用三角形中位线性质和线面平行判定定理证明平面，然后由线面平行性质定理可证.
【详解】连接交于点，连接，
因为ABCD是平行四边形，所以为中点，
又M是PC的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以

考点5 面面平行的性质定理
【例5】直四棱柱中，，求证：平面.

【答案】证明见解析
【分析】先证明平面，平面，可得平面平面，进而可得结论.
【详解】因为直四棱柱中，
又，且平面，平面，
平面，平面
而，平面,
平面平面，
又平面平面
【变式5-1】如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据四棱柱性质可证明平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证明.
【详解】由四棱柱可知，，平面，平面，
所以平面；
又，平面，平面，
所以平面；
又，平面，平面；
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以.
【变式5-2】如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，D，E，F分别是棱，，的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面平面，得到平面；
（2），，作于G， ，即三棱锥的高为，可求三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：连接，
∵E，F分别是棱AC，BC的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵D，F分别是棱，的中点，∴，，
∴四边形是平行四边形，则，
∵平面，平面，∴平面，
∵，平面，且，∴平面平面，
∵平面，∴平面；
（2）连接，∵E为AC中点，∴，
由题意，，∴，
作于G，则面，是边长为的等边三角形，有，即三棱锥的高为，
∴.
【变式5-3】如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【分析】取的中点，连接，，证明平面，平面，通过面面平行的判定定理可得平面平面，最后得到平面
【详解】取的中点，连接，，
则，，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；8.2 空间中的平行关系
空间中的平行关系
线线平行
①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等）
③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
图形语言 符号语言
线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行
图形语言 符号语言
面面平行的判定定理
判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行
图形语言 符号语言
判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行
图形语言 符号语言
面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行
考点1 平行关系的判断
【例1】设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式1-1】已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【变式1-2】设直线，平面，则下列条件能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【变式1-3】已知是两条直线，是平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式1-4】设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与平行
【变式1-5】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【变式1-6】已知在正方体中，，交于点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．
考点2 线面平行的判定定理
【例2】如图，在正方体中，E是的中点.

(1)求证：平面；
(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
【变式2-1】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

(1)求三棱柱的表面积；
(2)求证：平面．
【变式2-2】如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为的中点，且．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【变式2-3】如图所示，是正三角形，平面，，，，且F为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
考点3 面面平行的判定定理
【例3】如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
【变式3-1】如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点．

(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面∥平面．
【变式3-2】如图：在正方体中，为的中点.

(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(2)若为的中点，求证：平面平面.
【变式3-3】在如图所示的多面体中，平面，，，，点、分别为、的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求多面体的体积．
考点4 线面平行的性质定理
【例4】如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．
求证：.
【变式4-1】如图，在三棱柱中，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．求证：.

【变式4-2】已知四棱锥，底面为菱形，平面平面，证明：.

【变式4-3】如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：．
考点5 面面平行的性质定理
【例5】直四棱柱中，，求证：平面.

【变式5-1】如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：．
【变式5-2】如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，D，E，F分别是棱，，的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
【变式5-3】如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面

展开更多......

收起↑