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8.1 空间几何体的结构及表面积体积计算
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行
侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面 展开图 矩形 扇形 扇环
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=S底·h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=S底·h
台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h
球 S=4πR2 V=πR3
4.球的表面积和体积公式
球的表面积:S=4πR2 球的体积:V=πR3
5.球的切接概念
空间几何体的外接球:球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球
空间几何体的内切球:球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
6.几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
4.墙角模型(三条直线两两垂直)
补形为长方体,长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
7.侧棱垂直与底面-垂面型
8.内切球
如图:求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)
(1)先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;
(2)设内切球半径为,建立等式:
(3)解出
结论:若棱锥的体积为V,表面积为S,则内切球的半径为.
考点1 棱长与表面积
【例1】已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线与下底面所成的角为,则该圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】求出上下底面的面积,作出辅助线,得到母线长,从而得到圆台的表面积.
【详解】由题意,得上底面面积为,下底面面积为,
由图形可得,,
母线与下底面所成的角为,故,
故圆台的母线长为2,所以侧面积为,
所以该圆台的表面积为.
故选:C.
【变式1-1】某圆锥的侧面积为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.4 C. D.
【答案】D
【分析】设圆锥的母线长为,底面半径为,由题意得到求解.
【详解】解:设圆锥的母线长为,底面半径为,即侧面展开图的半径为,侧面展开图的弧长为.
又圆锥的底面周长为,所以,即圆锥的母线长.
所以圆锥的侧面积为,
解得.
故选:D
【变式1-2】若一个圆锥的母线长为,且其侧面积与其轴截面面积的比为,则该圆锥的高为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】设出圆锥底面圆半径,利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得.
【详解】设圆锥底面圆半径为,圆锥高为,依题意,,解得,
所以该圆锥的高为.
故选:A
【变式1-3】底面边长为,且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为( )
A. B. C.32,24 D.32,6
【答案】A
【分析】由正四棱锥的结构特征求高、斜高,根据体积、侧面积公式求结果.
【详解】由正四棱锥底面为正方形,且底面中心为顶点在底面上射影,
结合题设,底面对角线长为,则棱锥的高,斜高为,
所以正四棱锥的体积为,
侧面积为.
故选:A.
【变式1-4】正四棱台的上、下底面的边长分别为2,8,该梭台的表面积为148,则侧棱长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【分析】先求得侧面的高,进而求得侧棱长.
【详解】设正四棱台侧面的高为,则,
所以侧棱长为.
故选:C
【变式1-5】将直径为的球削成一个体积最大的正方体,则这个正方体的表面积为( )
A.3 B.6 C. D.
【答案】B
【分析】求出球的内接正方体的棱长,再求出其表面积即可.
【详解】依题意,当正方体为球的内接正方体时,该正方体的体积最大,
令此时正方体的棱长为,则,解得,
所以正方体的表面积为.
故答案为:B
考点2 求体积
【例2】已知一个正四棱台的上下底面边长为、,侧棱长为,则棱台的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形,进而可得四棱台的高,即可求得体积.
【详解】
如图所示,
由正四棱台可知,四边形为等腰梯形,
且,,,
所以,
所以,
故选:D.
【变式2-1】“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具,升装满后沿升口刮平,称为“平升”.已知某种升的形状是正四棱台,上、下底面边长分别为和,高为(厚度不计),则该升的1平升约为( )(精确到)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】应用棱台的体积公式求1平升,即可得答案.
【详解】由题设,上底面积为,下底面积为,
所以1平升为,约为.
故选:B
【变式2-2】已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据圆锥侧面展开图的形状先求出圆锥的母线,然后求出半径,再由圆锥的体积公式进行求解.
【详解】设母线长为,依题意得,,解得,于是圆锥的高为,
根据圆锥的体积公式,其体积为:.
故选:B
【变式2-3】已知圆锥PO的底面半径为,轴截面的面积为,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据轴截面面积和底面半径得到圆锥的高,进而得到圆锥的体积.
【详解】轴截面为等腰三角形,底边长为,设圆锥的高为,
则,解得,
故圆锥的体积为.
故选:B
考点3 球体综合
【例3】已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据正六棱柱的性质可求解半径,由表面积公式即可求解.
【详解】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心(如图),
由于底面为正六边形,所以为等边三角形,故,
所以,
所以为外接球的半径,故外接球表面积为,
故选:D
【变式3-1】长方体的所有顶点都在一个球面上,长 宽 高分别为,那么这个球体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据长方体特征求出外接球半径,结合球体的体积公式求解答案.
【详解】长方体的体对角线长,即外接球的直径长为,
所以外接球半径为,
所以这个球体的体积.
故选:D
【变式3-2】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据题意设正方体的外接球半径为,得,即可解决.
【详解】由题知,正方体的棱长为,且正方体的顶点都在同一球面上,
设正方体的外接球半径为,
所以,
所以该球的体积为,
故选:A
【变式3-3】一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等,那么圆锥与球的体积之比是( )
A.1∶3 B.2∶3 C.1∶2 D.2∶9
【答案】C
【分析】设球体的半径,根据已知条件把圆锥和球体的体积表示出来相比就可以了.
【详解】设球体的半径为,圆锥底面半径为,高为
则圆锥的体积为:
球体的体积:
所以圆锥与球的体积之比为:1∶2
故选:C.
【变式3-4】长方体的长,宽,高分别为3,,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】求出长方体外接球半径,再由球体体积公式求体积.
【详解】球O的半径为,
∴体积.
故选:A
考点4 组合体综合
【例4】何尊是我国西周早期的青铜礼器,其造形浑厚,工艺精美,尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载.何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体,高约为40cm,上口直径约为28cm,下端圆柱的直径约为18cm.经测量知圆柱的高约为24cm,则估计该何尊可以装酒(不计何尊的厚度,,)( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.
【详解】下端圆柱的体积为:,
上端圆台的体积为:,
所以该何尊的体积估计为.
因为最接近,
所以估计该何尊可以装酒.
故选:C
【变式4-1】如图,“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成,球的半径为2,圆柱的底面半径为1,高为3,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积,再加上圆的面积即可.
【详解】解:由题意得,球的半径,圆柱的底面半径,高,
则该几何体的表面积为.
故选:D.
【变式4-2】“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球,且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切,则该圆柱的体积与球的体积之比为( )
A.2 B. C. D.
【答案】B
【分析】由题意得:圆柱的高及底面圆的直径为球的直径,设出球的半径,求出圆柱的体积与球的体积,进而求出圆柱的体积与球的体积之比.
【详解】由题意得:圆柱的高及底面圆的直径为球的直径,
设球的半径为R,
则圆柱的体积为:,
球的体积为,
所以圆柱的体积与球的体积之比为
故选:B
【变式4-3】如图是一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,则的值为( )
A. B.1 C. D.
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程,化简求得,进而求得.
【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为,高为,
依题意,.
故选:B
【变式4-4】《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升,其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成,如图所示,圆柱的底面直径为1寸,长方体的长、宽、高分别为3.8寸,3寸,1寸,该组合体的体积约为12.6立方寸,若取3.14,则圆柱的母线长约为( )
A.0.38寸 B.1.15寸 C.1.53寸 D.4.59寸
【答案】C
【分析】先求出长方体的体积,进而求出圆柱的体积,利用求出的圆柱体体积和圆柱的底面半径为0.5寸,求出圆柱的母线长
【详解】由题意得,长方体的体积为(立方寸),故圆柱的体积为(立方寸).
设圆柱的母线长为l,则由圆柱的底面半径为0.5寸,得,计算得:(寸).
故选:C8.1 空间几何体的结构及表面积体积计算
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行
侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面 展开图 矩形 扇形 扇环
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=S底·h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=S底·h
台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h
球 S=4πR2 V=πR3
4.球的表面积和体积公式
球的表面积:S=4πR2 球的体积:V=πR3
5.球的切接概念
空间几何体的外接球:球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球
空间几何体的内切球:球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
6.几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
4.墙角模型(三条直线两两垂直)
补形为长方体,长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
7.侧棱垂直与底面-垂面型
8.内切球
如图:求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)
(1)先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;
(2)设内切球半径为,建立等式:
(3)解出
结论:若棱锥的体积为V,表面积为S,则内切球的半径为.
考点1 棱长与表面积
【例1】已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线与下底面所成的角为,则该圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
【变式1-1】某圆锥的侧面积为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.4 C. D.
【变式1-2】若一个圆锥的母线长为,且其侧面积与其轴截面面积的比为,则该圆锥的高为( )
A. B. C. D.
【变式1-3】底面边长为,且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为( )
A. B. C.32,24 D.32,6
【变式1-4】正四棱台的上、下底面的边长分别为2,8,该梭台的表面积为148,则侧棱长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【变式1-5】将直径为的球削成一个体积最大的正方体,则这个正方体的表面积为( )
A.3 B.6 C. D.
考点2 求体积
【例2】已知一个正四棱台的上下底面边长为、,侧棱长为,则棱台的体积为( )
A. B. C. D.
【变式2-1】“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具,升装满后沿升口刮平,称为“平升”.已知某种升的形状是正四棱台,上、下底面边长分别为和,高为(厚度不计),则该升的1平升约为( )(精确到)
A. B. C. D.
【变式2-2】已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
【变式2-3】已知圆锥PO的底面半径为,轴截面的面积为,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
考点3 球体综合
【例3】已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【变式3-1】长方体的所有顶点都在一个球面上,长 宽 高分别为,那么这个球体的体积为( )
A. B. C. D.
【变式3-2】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的体积为( )
A. B. C. D.
【变式3-3】一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等,那么圆锥与球的体积之比是( )
A.1∶3 B.2∶3 C.1∶2 D.2∶9
【变式3-4】长方体的长,宽,高分别为3,,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的体积为( )
A. B. C. D.
考点4 组合体综合
【例4】何尊是我国西周早期的青铜礼器,其造形浑厚,工艺精美,尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载.何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体,高约为40cm,上口直径约为28cm,下端圆柱的直径约为18cm.经测量知圆柱的高约为24cm,则估计该何尊可以装酒(不计何尊的厚度,,)( )
A. B.
C. D.
【变式4-1】如图,“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成,球的半径为2,圆柱的底面半径为1,高为3,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
【变式4-2】“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球,且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切,则该圆柱的体积与球的体积之比为( )
A.2 B. C. D.
【变式4-3】如图是一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,则的值为( )
A. B.1 C. D.
【变式4-4】《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升,其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成,如图所示,圆柱的底面直径为1寸,长方体的长、宽、高分别为3.8寸,3寸,1寸,该组合体的体积约为12.6立方寸,若取3.14,则圆柱的母线长约为( )
A.0.38寸 B.1.15寸 C.1.53寸 D.4.59寸
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