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8.1 空间几何体的结构及表面积体积计算
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行
侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面 展开图 矩形 扇形 扇环
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
4.球的表面积和体积公式
球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3
5.球的切接概念
空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球
空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
6.几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　
4.墙角模型（三条直线两两垂直）
补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
7.侧棱垂直与底面-垂面型
8.内切球
如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)
（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;
（2）设内切球半径为,建立等式:
（3）解出
结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.
考点1 棱长与表面积
【例1】已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出上下底面的面积，作出辅助线，得到母线长，从而得到圆台的表面积.
【详解】由题意，得上底面面积为，下底面面积为，
由图形可得，，
母线与下底面所成的角为，故，
故圆台的母线长为2，所以侧面积为，
所以该圆台的表面积为．
故选：C．
【变式1-1】某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意得到求解.
【详解】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，即侧面展开图的半径为，侧面展开图的弧长为.
又圆锥的底面周长为，所以，即圆锥的母线长.
所以圆锥的侧面积为，
解得.
故选：D
【变式1-2】若一个圆锥的母线长为，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得.
【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意，，解得，
所以该圆锥的高为.
故选：A
【变式1-3】底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（ ）
A． B． C．32，24 D．32，6
【答案】A
【分析】由正四棱锥的结构特征求高、斜高，根据体积、侧面积公式求结果.
【详解】由正四棱锥底面为正方形，且底面中心为顶点在底面上射影，
结合题设，底面对角线长为，则棱锥的高，斜高为，
所以正四棱锥的体积为，
侧面积为.
故选：A.
【变式1-4】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先求得侧面的高，进而求得侧棱长.
【详解】设正四棱台侧面的高为，则，
所以侧棱长为.
故选：C
【变式1-5】将直径为的球削成一个体积最大的正方体，则这个正方体的表面积为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】求出球的内接正方体的棱长，再求出其表面积即可.
【详解】依题意，当正方体为球的内接正方体时，该正方体的体积最大，
令此时正方体的棱长为，则，解得，
所以正方体的表面积为.
故答案为：B
考点2 求体积
【例2】已知一个正四棱台的上下底面边长为、，侧棱长为，则棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积.
【详解】
如图所示，
由正四棱台可知，四边形为等腰梯形，
且，，，
所以，
所以，
故选：D.
【变式2-1】“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为（厚度不计），则该升的1平升约为（ ）（精确到）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用棱台的体积公式求1平升，即可得答案.
【详解】由题设，上底面积为，下底面积为，
所以1平升为，约为.
故选：B
【变式2-2】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥侧面展开图的形状先求出圆锥的母线，然后求出半径，再由圆锥的体积公式进行求解.
【详解】设母线长为，依题意得，，解得，于是圆锥的高为，
根据圆锥的体积公式，其体积为：.
故选：B

【变式2-3】已知圆锥PO的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴截面面积和底面半径得到圆锥的高，进而得到圆锥的体积.
【详解】轴截面为等腰三角形，底边长为，设圆锥的高为，
则，解得，
故圆锥的体积为.
故选：B
考点3 球体综合
【例3】已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正六棱柱的性质可求解半径，由表面积公式即可求解.
【详解】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心（如图）,
由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故,
所以,
所以为外接球的半径，故外接球表面积为，
故选：D
【变式3-1】长方体的所有顶点都在一个球面上，长 宽 高分别为，那么这个球体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据长方体特征求出外接球半径，结合球体的体积公式求解答案.
【详解】长方体的体对角线长，即外接球的直径长为，
所以外接球半径为，
所以这个球体的体积.
故选：D
【变式3-2】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意设正方体的外接球半径为，得，即可解决.
【详解】由题知，正方体的棱长为，且正方体的顶点都在同一球面上，
设正方体的外接球半径为，
所以，
所以该球的体积为，
故选：A
【变式3-3】一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9
【答案】C
【分析】设球体的半径，根据已知条件把圆锥和球体的体积表示出来相比就可以了.
【详解】设球体的半径为，圆锥底面半径为，高为
则圆锥的体积为：
球体的体积：
所以圆锥与球的体积之比为：1∶2
故选：C.
【变式3-4】长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出长方体外接球半径，再由球体体积公式求体积.
【详解】球O的半径为，
∴体积．
故选：A
考点4 组合体综合
【例4】何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm，上口直径约为28cm，下端圆柱的直径约为18cm．经测量知圆柱的高约为24cm，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，，）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.
【详解】下端圆柱的体积为：，
上端圆台的体积为：，
所以该何尊的体积估计为.
因为最接近，
所以估计该何尊可以装酒.
故选：C
【变式4-1】如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可.
【详解】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，
则该几何体的表面积为.
故选：D.
【变式4-2】“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，设出球的半径，求出圆柱的体积与球的体积，进而求出圆柱的体积与球的体积之比.
【详解】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，
设球的半径为R，
则圆柱的体积为：，
球的体积为，
所以圆柱的体积与球的体积之比为
故选：B
【变式4-3】如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，化简求得，进而求得.
【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
依题意，.
故选：B
【变式4-4】《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若取3.14，则圆柱的母线长约为（ ）
A．0.38寸 B．1.15寸 C．1.53寸 D．4.59寸
【答案】C
【分析】先求出长方体的体积，进而求出圆柱的体积，利用求出的圆柱体体积和圆柱的底面半径为0.5寸，求出圆柱的母线长
【详解】由题意得，长方体的体积为(立方寸)，故圆柱的体积为(立方寸).
设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得，计算得：(寸).
故选：C8.1 空间几何体的结构及表面积体积计算
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行
侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面 展开图 矩形 扇形 扇环
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
4.球的表面积和体积公式
球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3
5.球的切接概念
空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球
空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
6.几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　
4.墙角模型（三条直线两两垂直）
补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
7.侧棱垂直与底面-垂面型
8.内切球
如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)
（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;
（2）设内切球半径为,建立等式:
（3）解出
结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.
考点1 棱长与表面积
【例1】已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式1-2】若一个圆锥的母线长为，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（ ）
A． B． C．32，24 D．32，6
【变式1-4】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-5】将直径为的球削成一个体积最大的正方体，则这个正方体的表面积为（ ）
A．3 B．6 C． D．
考点2 求体积
【例2】已知一个正四棱台的上下底面边长为、，侧棱长为，则棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为（厚度不计），则该升的1平升约为（ ）（精确到）

A． B． C． D．
【变式2-2】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知圆锥PO的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点3 球体综合
【例3】已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】长方体的所有顶点都在一个球面上，长 宽 高分别为，那么这个球体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9
【变式3-4】长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点4 组合体综合
【例4】何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm，上口直径约为28cm，下端圆柱的直径约为18cm．经测量知圆柱的高约为24cm，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，，）（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式4-3】如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式4-4】《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若取3.14，则圆柱的母线长约为（ ）
A．0.38寸 B．1.15寸 C．1.53寸 D．4.59寸

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