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8.3 空间中的垂直关系
空间中的垂直关系
线线垂直
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
线面垂直的判定定理
判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
图形语言 符号语言
线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
图形语言 符号语言
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言 符号语言
面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
图形语言 符号语言
面面垂直的性质定理
性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
图形语言 符号语言
考点1 垂直关系的判断
【例1】已知直线、m、n与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】B
【分析】ACD可举出反例；B选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而由线面垂直得到面面垂直.
【详解】A选项，如图1，满足，，但不垂直，A错误；
B选项，如图2，因为，
所以作平面，使得，且，
则，
因为，则，又，故，B正确；
C选项，如图3，满足，，但不平行，C错误；
D选项，如图4，满足，，，但不平行，D错误.
故选：B
【变式1-1】已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】D
【分析】利用线面平行的性质可判断A选项；利用面面平行、线面垂直的性质可判断B选项；利用面面平行的性质可判断C选项；根据已知条件判断面面位置关系，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，过直线作平面，使得，
因为，，，则，
因为，，则，故，A对；
对于B选项，若，，则，又因为，故，B对；
对于C选项，若，，则，C对；
对于D选项，若，，，则、平行或相交，D错.
故选：D.
【变式1-2】已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．若，且，则 D．若，且，则
【答案】D
【分析】构建正方体，利用其特征结合空间中直线与平面的位置关系一一判定选项即可.
【详解】
如图所示正方体，
对于A，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故A错误；
对于B，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故B错误；
对于C，若对应直线与平面，平面，显然符合条件，但，故C错误；
对于D，若，且，又，是两个不同的平面，则，故D正确.
故选：D
【变式1-3】设为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据线线、线面和面面的基本关系依次判断选项即可.
【详解】A：若，则或a与b互为异面直线，故A错误；
B：若，则或a与b互为异面直线，故B错误；
C：若，则，故C正确；
D：若，则或或a与b互为异面直线或a与b相交，故D错误.
故选：C
【变式1-4】设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则
C．若，则 D．若，∥，则
【答案】B
【分析】对于A，与相交或平行；对于B，由面面垂直的判定定理得；对于C，与平行或；对于D，与相交、平行或．
【详解】设是直线，，是两个不同的平面，
对于A，若，，则与相交或平行，故A错误；
对于B，若，则内存在直线，因为，
所以，由面面垂直的判定定理得，故B正确；
对于C，若，，则与平行或，故C错误；
对于D，若，，则与相交、平行或，故D错误．
故选：B．
【变式1-5】已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】由线面位置关系的判定，分析选项中结论是否正确.
【详解】A选项，缺条件，结论不成立；
B选项，直线与直线可能平行可能异面，结论不成立；
C选项，由直线与平面垂直的定义可知，结论正确
D选项，直线可能与平行，可能在内，也可能与相交，不一定满足垂直，结论不成立.
故选：C
【变式1-6】关于三条不同直线a，b，l以及两个不同平面，，下面命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，且，，则
【答案】B
【分析】ACD可举出反例，B选项，可利用线面平行的性质和线面垂直的性质推出.
【详解】A选项，若，，则a，b平行，相交或异面，比如图1和图2，A错误；
B选项，因为，如图3，不妨设，且，则，
因为，，所以，由，则，B正确；
C选项，如图4，满足，，但，C错误；
D选项，，，且，，若，则不能得到，D错误.
故选：B
考点2 线面垂直的判定定理
【例2】如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
(1)证明: BE⊥平面EB C
(2)若AA =2，AB=1，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】线面垂直的判定，先证，再结合已知可得.
（2）常规方法求棱锥的体积，先求，再由体积公式可得.
【详解】（1）
证明：由长方体的性质可知，平面
因为平面，
所以
∴⊥平面 .
（2）取棱的中点F，连接EF、
则
由（1）知，由题设可知，

∵在长方体 中，平面
∴点E到平面的距离
∴四棱锥的体积
【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证：
(1)平面ABCD；
(2)平面PAD.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据三角形中位线性质和线面平行判定定理可证；
（2）利用线面垂直的性质可知，然后由矩形性质和线面垂直的判定定理可证.
【详解】（1）因为M，N分别是PA，PB的中点,
所以.
又因为平面ABCD，
平面ABCD，
所以平面ABCD.
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD是矩形，
所以.
又，平面PAD，
所以平面PAD.
【变式2-2】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．
(1)求证：平面PAC；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明直线垂直于平面，只需证这条直线与该平面内两条不相交的直线垂直即可；
（2）先证明平面，再根据线面平行的性质证明，即可证明结论.
【详解】（1）证明：∵在四棱锥中，平面平面ABCD，
∴，
∵平面PAC，
∴平面PAC．
（2）∵，
平面，平面，
故平面，
又过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F，即平面平面，
∴，
∴.
【变式2-3】如图所示，已知平面，，点E和F分别为和的中点.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）应用中位线即可证明，进而可证；
（2）应用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）连接，在中，
∵点E和F分别是和的中点，，
又平面且平面，
平面；

（2）为中点，，
平面，平面，
平面，，
又平面且，
平面.
考点3 面面垂直的判定定理
【例3】如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；
（2）由线面垂直得到线线垂直，进而得到线面垂直，面面垂直.
【详解】（1）连接，交于点，连接，
因为底面为矩形，所以为的中点，
又为的中点，所以，
因为平面，平面，
故平面；
（2）平面，平面，
∴，
∵底面为矩形，
.
又，平面，
平面.
又平面，
平面平面.
【变式3-1】如图，在三棱柱中，平面．证明：平面平面；

【答案】证明见解析
【分析】根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到结果.
【详解】因为平面，平面,
所以,
又因为，即，
平面，,
所以平面，
又因为平面,
所以平面平面.
【变式3-2】如图，在直三棱柱中，底面是以为底边的等腰直角三角形，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用等体积法即可求解.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面，
平面，
又平面，
平面，
平面，平面平面；
（2）由（1）可知平面，
又平面，
由题意可知，，，
，
设点到平面的距离为，
由可得，，
即，解得.
所以点到平面的距离为.
【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别作的中点，证得，得到，再由，得到，根据线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面.
（2）过作于，求得，，设点到平面的距离为，结合，即可求解.
【详解】（1）证明：分别作的中点，连接，
因为分别为的中点，且四边形为等腰梯形，
可得，所以，
在等腰梯形中，因为，，
可得，所以，
因为是正三角形，是中点，所以，又由，可知
又因为，所以，所以，
因为，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，，且为的中点，可得，
过作于，因为，则为的中点，
且，所以，
又由，所以，
设点到平面的距离为，则，解得，
所以点到平面的距离为.
考点4 线面垂直的性质定理
【例4】如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．证明：平面.

【答案】证明见解析
【分析】根据题意结合线面垂直的判定定理分析证明.
【详解】因为底面，底面，则．
又因为，，平面，
所以平面．
【变式4-1】如图，在三棱锥中，平面，．求证：平面；
【答案】证明见解析
【分析】先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证.
【详解】因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，平面，
所以平面.
【变式4-2】如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．证明：.
【答案】证明见解析
【分析】连接，可得，，可证平面，进而可得.
【详解】连接，
因为E为BC中点，，可得，
因为，，
可知与均为等边三角形，即，可得，
且，平面，
则平面，而平面，所以．
【变式4-3】如图，在三棱柱中，，．证明：
【答案】证明见解析
【分析】取的中点，利用等腰三角形结合线面垂直判定定理先证明平面，然后由线面垂直性质可得.
【详解】取的中点，连接，，
，，，，
又，平面，
平面，
又因为平面，
.
考点5 面面垂直的性质定理
【例5】如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接证明即可；
（2）由面面垂直得出线面垂直，再由线面垂直得出线线垂直.
【详解】（1）连接交于点，则为的中点，连接，
因为为的中点，所以，
又平面，且平面，
所以平面.
（2）连接，因为，所以四边形为菱形，
所以，
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又平面，所以，
因为平面，
所以平面，
又平面，所以.

【变式5-1】如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得．
【详解】在长方形中，，，
为的中点，则，
即有，于是，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以．
【变式5-2】如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：.

【答案】证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质可得平面，进而结合线面垂直的性质求证即可.
【详解】证明：因为四边形为矩形，
所以，
又平面平面，平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，
所以.
【变式5-3】如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．
(1)求证：平面AMB//平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线面平行的判定可证MB//面DNC、MA//面DNC，再用面面平行的判定证结论；
（2）由面面垂直的性质得AM⊥平面MBCN，再由线面垂直的性质、判定证BC⊥面AMC，最后由线面垂直的性质证线线垂直即可.
【详解】（1）因为MB//NC，MB面DNC，NC面DNC，所以MB//面DNC．
因为AMND是矩形，所以MA//DN，又MA面DNC，DN面DNC，所以MA//面DNC．
又MA∩MB=M，且MA、MB平面AMB，所以面AMB//面DNC．
（2）因为AMND是矩形，所以AM⊥MN．
因为面AMND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM面AMND，
所以AM⊥平面MBCN，而BC平面MBCN，所以AM⊥BC．
因为MC⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM面AMC，所以BC⊥面AMC，
因为AC面AMC，所以BC⊥AC．8.3 空间中的垂直关系
空间中的垂直关系
线线垂直
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
线面垂直的判定定理
判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
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线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
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性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
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面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
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面面垂直的性质定理
性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
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考点1 垂直关系的判断
【例1】已知直线、m、n与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【变式1-1】已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【变式1-2】已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．若，且，则 D．若，且，则
【变式1-3】设为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式1-4】设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则
C．若，则 D．若，∥，则
【变式1-5】已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【变式1-6】关于三条不同直线a，b，l以及两个不同平面，，下面命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，且，，则
考点2 线面垂直的判定定理
【例2】如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
(1)证明: BE⊥平面EB C
(2)若AA =2，AB=1，求四棱锥的体积.
【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证：
(1)平面ABCD；
(2)平面PAD.
【变式2-2】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．
(1)求证：平面PAC；
(2)求证：．
【变式2-3】如图所示，已知平面，，点E和F分别为和的中点.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
考点3 面面垂直的判定定理
【例3】如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【变式3-1】如图，在三棱柱中，平面．证明：平面平面；

【变式3-2】如图，在直三棱柱中，底面是以为底边的等腰直角三角形，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
考点4 线面垂直的性质定理
【例4】如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．证明：平面.

【变式4-1】如图，在三棱锥中，平面，．求证：平面；
【变式4-2】如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．证明：.
【变式4-3】如图，在三棱柱中，，．证明：
考点5 面面垂直的性质定理
【例5】如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：.
【变式5-1】如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．求证：．
【变式5-2】如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：.

【变式5-3】如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．
(1)求证：平面AMB//平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．

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