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9.1 直线方程及其直线间位置关系
两点间的距离公式
，，
中点坐标公式
，，为的中点，则：
三角形重心坐标公式
直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减，
倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为
直线的斜率与倾斜角的关系：
不存在
两点间的斜率公式
，，
直线的斜截式方程
，其中为斜率，为轴上的截距
直线的点斜式方程
已知点，直线的斜率，则直线方程为：
直线的一般式方程
两条直线的位置关系
平行的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
重合的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
垂直的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
点到直线的距离公式
点，直线，点到直线的距离为：
两条平行线间的距离公式
，，
考点1 直线的倾斜角和斜率
【例1】直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程可得斜率，进而可得倾斜角.
【详解】由直线，可得，
即其斜率，
设直线的倾斜角为，
则，，
故选：D.
【变式1-1】若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得.
【详解】直线l的一个方向向量为，则直线斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：C
【变式1-2】图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.
【详解】由图象可得，，
故选：C
【变式1-3】过两点，的直线的倾斜角是，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据斜率公式求解.
【详解】因为，解得，
故选:D.
【变式1-4】若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
【答案】A
【分析】根据斜率公式即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得，解得.
故选：A.
【变式1-5】若，，三点在同一条直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可.
【详解】因为A，B，C三点在同一条直线上，所以，所以，
解得.
故选：D
【变式1-6】已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
【答案】B
【分析】先由，求斜率，再求倾斜角.
【详解】设直线的斜率为k,则.令直线的倾斜角为，则，，.
故选：B
考点2 直线方程
【例2】过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】由题意可知直线的斜率，由点斜式方程得，
所求直线的方程为，即．
故选：A
【变式2-1】．已知直线经过点，斜率为，则直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】由题意可知，所求直线的方程为，即.
故选：A.
【变式2-2】已知直线在轴上的截距为-2，则此直线方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将代入各项直线方程中求值即可.
【详解】A、B、D：将代入方程，可得，不合要求；
C：时，，符合要求；
故选：C
【变式2-3】直线与直线关于轴对称,则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】取直线两点,找到其关于轴对称的点,利用两点求出所在方程即可.
【详解】解:已知直线,
不妨取直线两点
所以这两点关于轴对称的点为
则直线与直线关于轴对称的直线过这两点,
所以过这两点的直线方程为,
故选:A
【变式2-4】若直线经过点，则（ ）
A． B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】将点的坐标直接代入直线方程求解即可.
【详解】解：因为直线经过点
所以，解得.
故选：A
【变式2-5】直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】分析直线的斜率及在轴上的截距即可.
【详解】由可得：，
所以直线的斜率，轴上的截距为，
所以直线不经过第一象限，
故选：A
【变式2-6】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】根据截距的定义计算即可.
【详解】令，解得，故；
令，解得，故．
故选：B
【变式2-7】已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.
【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
【变式2-8】已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【详解】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为，即．
故选：C．
【变式2-9】一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
【点睛】本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
【变式2-10】过点，且横、纵截距相等的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】求出直线过原点和直线不过原点时，对应直线的方程即可．
【详解】解：当直线过原点时，直线的斜率为，则直线方程为；
当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，
所求的直线方程为，
综上知，所求直线方程为或．
故选：D.
考点3 直线的交点坐标
【例3】设直线与直线的交点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】联立两直线方程，求出交点坐标即可.
【详解】由题意知，
，
所以点P的坐标为
故选：B
【变式3-1】．直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接解方程求出两直线交点坐标即可.
【详解】由解得，则直线与直线的交点坐标为.
故选：A.
【变式3-2】斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果.
【详解】联立，解得，所以两直线的交点坐标为，
所求直线方程为.整理为.
故选：A
【点睛】本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.
【变式3-3】过直线与直线的交点，且过原点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出直线与直线的交点坐标，然后可得出答案
【详解】联立方程得，即与的交点为
又直线过原点
所以此直线的方程为：
故选：D
【点睛】本题考查的是两直线交点坐标的求法及直线方程的求法，较简单.
考点4 直线间的平行关系
【例4】．直线与直线平行，则（ ）
A．-2 B．1 C．-2或1 D．-1或2
【答案】A
【分析】由两直线平行即可得出的值.
【详解】由题意，
直线与直线平行，
∴由，得或．
当时，，，．
当时，，，与重合．
故选：A.
【变式4-1】直线：与直线：平行， 则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行直线的斜率相等关系列出方程，求得的值，然后检验即可.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以或，
当时，直线：，直线：，
此时直线与直线平行，满足题意，
当时，直线：，直线：，
此时直线与直线平行，满足题意，
故选：A.
【变式4-2】过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出直线方程，代入点求出，得到.
【详解】设与直线平行的直线方程为，
将代入，得，解得：，
故直线方程为.
故选：D
【变式4-3】已知直线，.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】求出时，或，从而得到是的充分不必要条件.
【详解】当时，直线的斜率为，的斜率为，
又，所以，充分性成立；
直线，，
若，则有，解得或，必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
考点5 直线间的垂直关系
【例5】若直线与互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为，则，即，
解得或.
故选：D.
【变式5-1】过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】直线的斜率为，故所求直线的斜率为，
所以，所求直线的方程为，即.
故选：B.
【变式5-2】过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.
【详解】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，
故选：B．
【变式5-3】若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得的值.
【详解】直线与直线垂直，
则，解得，
故选：B.
考点6 点到直线间的距离公式
【例6】若点到直线的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】直接使用点到直线的距离公式即可.
【详解】由点到直线的距离公式可得,
故选：B.
【变式6-1】点 到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】点到直线的距离公式求解
【详解】点 到直线的距离为：
故选：B.
【变式6-2】点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接使用点到直线距离公式代入即可.
【详解】由点到直线距离公式得
故选：B
【变式6-3】已知点到直线的距离为1，则m的值为（ ）
A．或 B．或15 C．5或 D．5或15
【答案】D
【分析】利用点到直线距离公式即可得出.
【详解】解：点到直线的距离为1，
解得：m=15或5．
故选：D.
考点7 平行线间的距离公式
【例7】已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．10
【答案】A
【分析】由两平行线距离公式求解即可.
【详解】这两条直线之间的距离为.
故选：A
【变式7-1】两条平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行求出，再利用两平行直线之间的距离公式可求出结果.
【详解】因为直线与直线平行,
所以,解得,
将化为,
所以两平行直线与之间的距离为.
故选：C
【变式7-2】已知直线和直线，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用平行线间的距离公式计算即可
【详解】由平行线间的距离公式得
故选 ：A
【变式7-3】若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（ ）
A．或11 B．或10
C．或12 D．或11
【答案】A
【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为两条平行线与之间的距离是2，
所以，或，
故选：A
考点8 恒过定点问题
【例8】直线过定点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在直线方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得的值，可得直线恒过定点的坐标.
【详解】直线可化简为，
故可得，可得，
故可得直线过定点.
故选:D.
【变式8-1】直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将直线变为点斜式，求出定点坐标.
【详解】变形为，故恒过点.
故选：B
【变式8-2】已知直线，当实数变化时，恒过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将直线的方程变形为，解方程组可得出直线所过定点的坐标.
【详解】直线的方程可化为，由，解得，
因此，直线恒过定点.
故选：B.9.1 直线方程及其直线间位置关系
两点间的距离公式
，，
中点坐标公式
，，为的中点，则：
三角形重心坐标公式
直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减，
倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为
直线的斜率与倾斜角的关系：
不存在
两点间的斜率公式
，，
直线的斜截式方程
，其中为斜率，为轴上的截距
直线的点斜式方程
已知点，直线的斜率，则直线方程为：
直线的一般式方程
两条直线的位置关系
平行的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
重合的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
垂直的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
点到直线的距离公式
点，直线，点到直线的距离为：
两条平行线间的距离公式
，，
考点1 直线的倾斜角和斜率
【例1】直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】过两点，的直线的倾斜角是，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式1-4】若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
【变式1-5】若，，三点在同一条直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-6】已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
考点2 直线方程
【例2】过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】．已知直线经过点，斜率为，则直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知直线在轴上的截距为-2，则此直线方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】直线与直线关于轴对称,则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-4】若直线经过点，则（ ）
A． B．1 C．-2 D．2
【变式2-5】直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-6】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式2-7】已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-8】已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-9】一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
【变式2-10】过点，且横、纵截距相等的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
考点3 直线的交点坐标
【例3】设直线与直线的交点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】．直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】过直线与直线的交点，且过原点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
考点4 直线间的平行关系
【例4】．直线与直线平行，则（ ）
A．-2 B．1 C．-2或1 D．-1或2
【变式4-1】直线：与直线：平行， 则（ ）
A．或 B． C． D．
【变式4-2】过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知直线，.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点5 直线间的垂直关系
【例5】若直线与互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式5-1】过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
考点6 点到直线间的距离公式
【例6】若点到直线的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【变式6-1】点 到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
【变式6-2】点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知点到直线的距离为1，则m的值为（ ）
A．或 B．或15 C．5或 D．5或15
考点7 平行线间的距离公式
【例7】已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．10
【变式7-1】两条平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】已知直线和直线，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．2 D．
【变式7-3】若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（ ）
A．或11 B．或10
C．或12 D．或11
考点8 恒过定点问题
【例8】直线过定点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】已知直线，当实数变化时，恒过点（ ）
A． B． C． D．

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