资源简介

9.2 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
圆的标准方程
，其中圆心坐标为，半径为
圆的一般方程
（）
配方可得：，
圆心坐标为，半径为
表示圆的充要条件
点与圆的位置关系
已知点，圆的方程为：
若，点在圆内
若，点在圆上
若，点在圆外
直线与圆的位置关系
直线，圆
代数关系，其中为联立方程根的个数，
几何关系，其中为圆心到直线的距离
圆与圆的位置关系
设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为
若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切
若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
弦长公式
设，，
则
或：
圆上一点到圆外一点的距离的最值
圆上一点到圆上一点的距离的最值
圆上一点到直线距离的最值
过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
圆中切线问题
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;
已知圆方程为圆:.
(1)过圆上的点的切线方程为.
(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.
4. 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度
一般方程(标准方程)
考点1 求圆的方程
【例1】已知圆，则圆心、半径的长分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将圆的一般方程配成标准方程，找到圆心和半径即可.
【详解】因为，所以，
所以圆心，半径长是.
故选：B.
【变式1-1】圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得解.
【详解】圆即，
则圆心为.
故选：C
【变式1-2】圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出圆的半径即可得解.
【详解】依题意，圆心为，且经过坐标原点的圆的半径，
所以所求圆的标准方程为.
故选：D
【变式1-3】已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由圆心到切线的距离等于半径，求出圆的半径，即可得到本题答案.
【详解】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
所以该圆的标准方程是．
故选：A
【变式1-4】已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即：，列式可得结果.
【详解】设圆方程为，
∵直线与圆相切，圆心到直线的距离为，
∴，
∴圆的方程为：.
故选：A.
【变式1-5】三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可.
【详解】设所求圆方程为,
因为，，三点都在圆上，
所以，解得，
即所求圆方程为：.
故选：C.
【变式1-6】已知圆关于直线对称，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据圆关于直径对称来求.
【详解】因为圆的圆心为
又因为圆关于直线对称，即，所以
故选：B
【变式1-7】圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据点关于直线对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.
【详解】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，
因为点关于直线的对称点为，
所以圆C：关于直线对称的圆的方程是
，
故选：C
【变式1-8】若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据公式，即可求解.
【详解】若方程表示圆，则，
解得：或.
故选：C
【变式1-9】圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，即可写出圆的方程.
【详解】由圆的方程可得，圆心坐标半径为2，
由题意可得关与直线对称的圆的圆心为关于直线对称的点，半径为2，设所求圆的圆心为，则，解得，
故圆的方程为
故选：D
【变式1-10】已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，再解不等式即可.
【详解】因为方程表示圆，
所以，解得.
故选：D
考点2 圆中的几何性质
【例2】已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.
【详解】解：由题意得：
由得
圆心为，半径为，
当且仅当时，半径最小，则面积也最小；
圆心为，半径为，
圆心到坐标原点的距离为，
即原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.
故选：D.
【变式2-1】已知为坐标原点，为圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】求得圆心坐标和半径，结合圆的性质，即可求解.
【详解】由圆，可得圆C的圆心坐标为，半径为，
则，所以的最小值为.
故选：A.
【变式2-2】已知圆C：(x+3)2+(y+4)2=4上一动点B，则点B到直线l:3x+4y+5=0的距离的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【答案】C
【解析】由题意求出圆心到直线的距离，再减去圆的半径即可所求答案
【详解】因为圆心到直线的距离，
所以最小值为，
故选：C．
【变式2-3】圆上的点到直线距离的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解.
【详解】将圆的方程化为，可得圆心坐标为，半径为1，
则圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最大值为．
故选：A．
【变式2-4】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出线段长，再求出圆心到直线的距离，进而求得圆上的点到直线距离的范围即可求出三角形面积范围.
【详解】依题意，直线交轴于，交轴于，则，
圆的圆心到直线的距离，而圆的半径为，
于是圆上的点到直线的距离的范围为，
所以的面积.
故选：C
【变式2-5】已知点在圆上，则到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆上的动点到直线距离最短为圆心到直线的的距离减去半径求解即可.
【详解】的圆心，，圆心到直线的距离等于，
故圆上的动点到直线的距离的最小值为．
故选：C
考点3 直线与圆的位置关系
【例3】直线l：与圆C：的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
【答案】A
【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案.
【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为，
圆心到直线l的距离为，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
【变式3-1】直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断即可.
【详解】由，得，
所以圆心为，半径为，
而直线可化为，
所以圆心到直线的距离为，
则直线和圆相交.
故选：A
【变式3-2】“”是“直线与圆相切”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由与圆相切等价于直线到圆心距离等于半径结合充分必要条件相关知识可得答案.
【详解】由可得，则其圆心为，半径为1.
当时，直线为，此时其到圆圆心距离为，则“”是“直线与圆相切”的充分条件；若直线“直线与圆相切”，则，得或，则“”不是“直线与圆相切”的必要条件，则“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A
【变式3-3】直线与圆的位置关系是（ ）
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
【答案】D
【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论.
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
因为，所以直线与圆相交但不过圆心，
故选：D
【变式3-4】直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由圆的标准方程可得该圆的圆心和半径，再结合勾股定理知识可得弦长.
【详解】由圆的标准方程可得该圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为，
故选：C.
【变式3-5】已知直线和圆交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圆的弦长公式即得解.
【详解】由题意知，圆心的坐标为，
所以，圆心到直线的距离，
所以，，
故选：D.
【变式3-6】直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长.
【详解】由圆，
得圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为.
故选：D.
考点4 圆中的切线问题
【例4】圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可.
【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程，
易知圆心，半径，所以到的距离为，
解之得，即切线.
故选：A
【变式4-1】过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可．
【详解】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2，
当直线l的斜率不存在时，直线，
此时直线l与圆相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
圆心到直线l的距离为，
由相切得，
所以，平方化简得，求得直线方程为，
综上，直线l的方程为或
故选：B
【变式4-2】以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离求出圆的半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.
【详解】圆心到直线的距离为，
由直线与圆相切得圆的半径为1，所以圆的方程是.
故选：D
【变式4-3】已知圆，过点作圆的切线.则该切线的一般式方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】考虑过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，结合圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出直线方程.
【详解】的圆心为，半径为，
当过的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，故不是圆的切线，
当过的直线斜率存在时，设直线方程为，
则，解得，
则直线方程为，化为一般式为.
故选：A
考点5 圆与圆的位置关系
【例5】已知，则两圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．外离 C．内含 D．相交
【答案】D
【分析】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解.
【详解】因为可化为
则，半径，
因为可化为，
则，半径，
则，因为，
所以两圆相交.
故选：D.
【变式5-1】已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【答案】C
【分析】算出两圆圆心的距离，然后与两圆半径之和、差比较即可.
【详解】圆的圆心为，
圆的圆心为，
所以
所以圆与的位置关系是相交.
故选: C.
【变式5-2】已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由两圆的位置关系即可确定公切线的条数.
【详解】由题意圆是以为圆心1为半径的圆；
即是以为圆心3为半径的圆；
圆心距满足，所以两圆相离，
所以两圆的公切线条数为4.
故选：D.
【变式5-3】圆与圆的公切线的条数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化成标准方程，求得两圆的圆心及半径，再求圆心距及半径之间的关系即可求得公切线的个数.
【详解】圆化成标准方程为，知
圆化成标准方程为，知
圆心距，可知两圆内切，则两圆有1条公切线.
故选：A
【变式5-4】已知圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断两圆位置关系，两圆方程作差即可得公共线方程.
【详解】由，则，；
由，则，；
所以，两圆相交，
将两圆作差得，所以公共线方程.
故选：B
【变式5-5】圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心，，公共弦AB的垂直平分线即为直线，利用两点式求出直线方程，化为一般式.
【详解】变形为，圆心为，
变形为，圆心为，
公共弦AB的垂直平分线即为直线，
即，整理得.
故选：D
【变式5-6】圆与圆公共弦长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆的圆心到公共弦的距离，再由
公共弦长公式求出答案即可.
【详解】联立两个圆的方程，
两式相减可得公共弦方程，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为.
故选:.
【变式5-7】圆：与圆：的公共弦的弦长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为，根据弦长公式即得.
【详解】圆：，圆心为，半径为；
圆：，圆心为，半径为；
圆心距，，两圆相交，
联立两圆方程，得，
即公共弦所在直线的方程为，
故圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为：.
故选：D.9.2 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
圆的标准方程
，其中圆心坐标为，半径为
圆的一般方程
（）
配方可得：，
圆心坐标为，半径为
表示圆的充要条件
点与圆的位置关系
已知点，圆的方程为：
若，点在圆内
若，点在圆上
若，点在圆外
直线与圆的位置关系
直线，圆
代数关系，其中为联立方程根的个数，
几何关系，其中为圆心到直线的距离
圆与圆的位置关系
设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为
若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切
若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
弦长公式
设，，
则
或：
圆上一点到圆外一点的距离的最值
圆上一点到圆上一点的距离的最值
圆上一点到直线距离的最值
过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
圆中切线问题
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;
已知圆方程为圆:.
(1)过圆上的点的切线方程为.
(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.
4. 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度
一般方程(标准方程)
考点1 求圆的方程
【例1】已知圆，则圆心、半径的长分别是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-5】三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-6】已知圆关于直线对称，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【变式1-7】圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-8】若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式1-9】圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-10】已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点2 圆中的几何性质
【例2】已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】已知为坐标原点，为圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【变式2-2】已知圆C：(x+3)2+(y+4)2=4上一动点B，则点B到直线l:3x+4y+5=0的距离的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【变式2-3】圆上的点到直线距离的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式2-4】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】已知点在圆上，则到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点3 直线与圆的位置关系
【例3】直线l：与圆C：的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
【变式3-1】直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
【变式3-2】“”是“直线与圆相切”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【变式3-3】直线与圆的位置关系是（ ）
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
【变式3-4】直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【变式3-5】已知直线和圆交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-6】直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
考点4 圆中的切线问题
【例4】圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式4-2】以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】已知圆，过点作圆的切线.则该切线的一般式方程为
A． B．
C． D．
考点5 圆与圆的位置关系
【例5】已知，则两圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．外离 C．内含 D．相交
【变式5-1】已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【变式5-2】已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-3】圆与圆的公切线的条数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-4】已知圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-6】圆与圆公共弦长为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-7】圆：与圆：的公共弦的弦长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．

展开更多......

收起↑