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9.3 椭圆
椭圆的定义
数学表达式
椭圆的标准方程
焦点在轴上的标准方程
椭圆标准方程为：
焦点在轴上的标准方程
椭圆标准方程为：
椭圆中，，的基本关系
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标 ， ， ， ，
长轴 长轴长，长半轴长
短轴 短轴长，短半轴长
焦点 ， ，
焦距 焦距，半焦距
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为
离心率
离心率对椭圆的影响 越大，椭圆越扁 越小，椭圆越圆 ，圆
通径
（过椭圆焦点与坐标轴垂直的直线截得的弦长）
通径长：，
半通径长：
椭圆中的两个周长问题
考点1 判断构成椭圆的条件
【例1】“”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用方程表示椭圆的条件列出不等式，再利用充分必要条件判断即可
【详解】若方程表示椭圆，
则满足 即且，此时成立，即必要性成立，
当m＝2时，满足，但此时方程等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
【变式1-1】命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由焦点在y轴上的椭圆方程和充分必要条件可解问题.
【详解】命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
，解得,
则使命题p成立的充分不必要条件是．
故选：A．
【变式1-2】“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解出方程表示的曲线为椭圆时的取值范围，再由集合间的包含关系即可得出结论.
【详解】若方程表示的曲线为椭圆，则，
解得或，
则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
【变式1-3】“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据方程表示椭圆，列出不等式组，求出的取值范围，然后根据题意和充分条件和必要条件的判断即可求解.
【详解】若方程表示椭圆，则有，解得且，因为且是集合的真子集，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B.
【变式1-4】．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆标准方程的特点，确定焦点在轴上的椭圆的特点列不等式，即可求得实数的取值范围.
【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，故实数的取值范围是.
故选：A.
考点2 求椭圆方程
【例2】已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程.
【详解】如图，由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故选：D
【变式2-1】已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.
【详解】错解：
∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：D.
错因：
忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.
正解：
∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：B.
【变式2-2】椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆定义列出方程，求出a＝5，根据焦点坐标求出c＝3，，得到椭圆标准方程.
【详解】因为的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5，
又因为c＝3，所以，
所以该椭圆的标准方程为.
故选：B.
【变式2-3】已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用椭圆的对称性、勾股定理、椭圆的定义求得，再求得后可得标准方程．
【详解】由对称性，又，则，
所以，，又，则，
椭圆标准方程为．
故选：B．
【变式2-4】已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设出椭圆方程，结合已知条件，即可容易求得结果.
【详解】根据题意，椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然，，
则，故椭圆方程为.
故选：B.
【变式2-5】已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（ ）
A． B．或
C． D．以上均不正确
【答案】A
【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得.
【详解】设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，因椭圆过点和点，
于是得 ，解得，
所以所求椭圆方程为.
故选：A
【变式2-6】过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先得焦点坐标，设方程为，将点代入解出的值，进而可得结果.
【详解】因为焦点坐标为，设方程为，
将代入方程可得，解得，故方程为，
故选：A.
考点3 椭圆中的几何性质
【例3】椭圆：的焦距为（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据求出，即可得解.
【详解】由，得，
所以椭圆：的焦距为为.
故选：B.
【变式3-1】椭圆x2＋4y2＝1的焦距为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】B
【分析】先把椭圆方程化为标准方程，得到，结合得到结果.
【详解】先将椭圆x2＋4y2＝1化为标准方程，
则，．
故焦距为2c＝．
故选：B.
【变式3-2】已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程，结合，即可求解.
【详解】由条件可知，，，，
所以，得，
故选：C
【变式3-3】椭圆的短轴长是（ ）
A．7 B．14 C．9 D．18
【答案】B
【分析】根据椭圆的方程确定，即可求得答案.
【详解】由于椭圆方程为，设椭圆短半轴长为b，
而，所以，则，
故椭圆的短轴长是，
故选：B
【变式3-4】关于椭圆，以下说法正确的是（ ）
A．长轴长为2 B．焦距为
C．离心率为 D．左顶点的坐标为
【答案】B
【分析】根据椭圆的性质判断.
【详解】椭圆中，，
故长轴长为，焦距，离心率为，左顶点的坐标为，故只有B正确.
故选：B
考点4 求椭圆离心率
【例4】椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由题意得，解得，
故选：A.
【变式4-1】设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰直角三角形的性质得到三条边的长度关于的表达式，再利用椭圆的定义求得的关系式，进而得到离心率.
【详解】依题意，设椭圆的长轴为，半焦距为，
则，则，，
于是，
.
故选：C.
【变式4-2】已知F是椭圆E：的右焦点，A为E的右顶点，，若直线AB与E交于点C，且，则椭圆E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设直线AB，利用点在椭圆上求得C坐标，代入直线得a,b,c关系求得离心率
【详解】如图，
，则AB：，
在椭圆中，取，可得，则，
把代入，
可得，即，
∴，则
∴解得（e=1舍去）．
故选：B．
【变式4-3】已知椭圆的右顶点为A，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意结合斜率关系可得，再结合以及离心率的定义分析求解.
【分析】由题意可知：，，，则的中点，
因为，整理得，
又因为，即，整理得，
所以椭圆的离心率为.
故选：D．
【变式4-4】已知椭圆()，，分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，若、A、、B四点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据四点共圆及的倾斜角得到为等边三角形，故，进而求出，利用椭圆定义得到方程，求出离心率.
【详解】因为、A、、B四点共圆，为圆心，所以，
故，又的倾斜角为，
故为等边三角形，故，
由勾股定理得，
由椭圆定义可得，即，
解得.
故选：C
【变式4-5】已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知得到，结合关系式即可求出结果.
【详解】由题知等腰三角形的三边为，，，
则，
即有，解得.
故选：D
考点5 椭圆大题综合
【例5】设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；
（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出，利用二次函数可得答案.
【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为，
所以右焦点坐标为.
又椭圆经过点，
所以.
所以椭圆的方程为.
（2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，.
②当直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程，
由，得，
则，
.
设直线的方程为，同理得，
所以，
设，则，
则，
所以时，有最小值.
综上，的最小值是.
【变式5-1】已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题可知，，，再结合，解出值即可得解；
（2）设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，得韦达定理；利用中点坐标公式以及斜率公式得直线的斜率，进而得解；
（3）若四边形为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用表示点的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于的方程，解之即可得解．
【详解】（1）由题意可知，，，
，，
椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，，，，
联立，消去得，，
则，
为线段的中点，，，
，
为定值．
（3）若四边形为平行四边形，则，
，，
点在椭圆上，，解得，即，
当四边形为平行四边形时，直线的斜率为．
【变式5-2】已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆L的标准方程；
(2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由离心率、短轴长及椭圆参数关系列方程求参数，即得椭圆方程；
（2）设直线交椭圆于，将点代入椭圆方程，点差法求直线斜率，最后应用点斜式写出直线方程.
【详解】（1）由题意，则椭圆标准方程为；
（2）令过椭圆内一点的直线交椭圆于，
所以，两式作差得，则，
又，，故直线斜率为，
所以直线为，即.
【变式5-3】已知椭圆的离心率为，右焦点为．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的性质即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求解.
【详解】（1）由，得，
∴椭圆方程为
（2）由题意可知直线的方程为：，
由得，
解得．
∴．
【变式5-4】已知椭圆的短半轴为3，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交椭圆于两点，且为的中点，求弦的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程组求得的值，即可求解；
（2）设，利用“点差法”求得，得到直线的方程，联立方程组，得到，结合弦长公式，即可求解.
【详解】（1）解：由椭圆 的短半轴为，离心率为，
可得且，即，
因为，可得，解得，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，因为为的中点，可得，
则 ，两式相减得，
即，即，
所以直线的方程为，即，
联立方程组，整理得，可得，
则.
【变式5-5】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．
(1)求椭圆C的标准方程，
(2)若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问，在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为定值 若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，理由见解析
【分析】（1）根据离心率和右焦点到右顶点的距离为1，联立方程组即可解得标准方程为；
（2）设出直线l的方程为并与椭圆联立，由可得，设出轴上两点坐标为，写出两距离之积的表达式即可得出结论.
【详解】（1）根据题意可设椭圆C的标准方程为，
易知离心率，
又右焦点为，右顶点为，可得，
解得，则；
即椭圆C的标准方程为.
（2）设动直线l的方程为，
假设在轴上存在两定点满足题意，如下图所示：

联立，消去可得，
可得，即；
易知点到直线的距离，点到直线的距离，
可得；
若为定值，则需满足，
解得或，此时满足题意；
即可得在轴上存在两定点，使得两点到直线l的距离之积为.
【变式5-6】已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图所示，设点是椭圆的右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，坐标为
【分析】（1）利用已知和的关系，列方程组可得椭圆的标准方程；
（2）直线斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， 可得，利用根与系数的关系代入化简，可得直线所过定点．
【详解】（1）依题意得
解得，
椭圆的标准方程为.
（2）存在点，使，点的坐标为.理由如下：
直线过点，与椭圆交于不同的两点.且都在轴上方.
直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.
联立方程消去可得：.
此时，设，则.
，
.
存在点满足条件.
点坐标为.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.9.3 椭圆
椭圆的定义
数学表达式
椭圆的标准方程
焦点在轴上的标准方程
椭圆标准方程为：
焦点在轴上的标准方程
椭圆标准方程为：
椭圆中，，的基本关系
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标 ， ， ， ，
长轴 长轴长，长半轴长
短轴 短轴长，短半轴长
焦点 ， ，
焦距 焦距，半焦距
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为
离心率
离心率对椭圆的影响 越大，椭圆越扁 越小，椭圆越圆 ，圆
通径
（过椭圆焦点与坐标轴垂直的直线截得的弦长）
通径长：，
半通径长：
椭圆中的两个周长问题
考点1 判断构成椭圆的条件
【例1】“”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-2】“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-4】．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点2 求椭圆方程
【例2】已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　）
A． B． C． D．
【变式2-2】椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-5】已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（ ）
A． B．或
C． D．以上均不正确
【变式2-6】过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
考点3 椭圆中的几何性质
【例3】椭圆：的焦距为（ ）
A．8 B． C．4 D．
【变式3-1】椭圆x2＋4y2＝1的焦距为（ ）
A． B． C．2 D．2
【变式3-2】已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】椭圆的短轴长是（ ）
A．7 B．14 C．9 D．18
【变式3-4】关于椭圆，以下说法正确的是（ ）
A．长轴长为2 B．焦距为
C．离心率为 D．左顶点的坐标为
考点4 求椭圆离心率
【例4】椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式4-1】设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知F是椭圆E：的右焦点，A为E的右顶点，，若直线AB与E交于点C，且，则椭圆E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知椭圆的右顶点为A，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】已知椭圆()，，分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，若、A、、B四点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点5 椭圆大题综合
【例5】设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.
【变式5-1】已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.
【变式5-2】已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆L的标准方程；
(2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程．
【变式5-3】已知椭圆的离心率为，右焦点为．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．
【变式5-4】已知椭圆的短半轴为3，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交椭圆于两点，且为的中点，求弦的长度.
【变式5-5】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．
(1)求椭圆C的标准方程，
(2)若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问，在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为定值 若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-6】已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图所示，设点是椭圆的右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

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