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9.4 双曲线
双曲线的定义
数学表达式：
双曲线的标准方程
焦点在轴上的标准方程 焦点在轴上的标准方程
标准方程为： 标准方程为：
双曲线中，，的基本关系
双曲线的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标 ， ， ， ，
实轴 实轴长，实半轴长
虚轴 虚轴长，虚半轴长
焦点 ， ，
焦距 焦距，半焦距
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为
渐近线方程
离心率
离心率对双曲线的影响 越大，双曲线开口越阔 越小，双曲线开口越窄
离心率与渐近线夹角的关系
通径：
（同椭圆）
通径长：，
半通径长：
双曲线的焦点到渐近线的距离为
考点1 判断构成双曲线的条件
【例1】“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解.
【详解】若方程表示双曲线，
则或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件.
故选：A
【点睛】本题以双曲线的标准方程及充分必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于基础题.
【变式1-1】“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解得方程表示焦点在轴上的双曲线的m的范围即可解答.
【详解】表示焦点在轴上的双曲线 ,解得1故选B.
【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意
【变式1-2】“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出方程表示双曲线时参数的取值范围，从而可判断两者之间的条件关系.
【详解】因为方程表示双曲线，故，
故，
而为的真子集，
故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
【变式1-3】若方程所表示的曲线为，则下列命题错误的是（ ）
A．若曲线为双曲线，则或
B．若曲线为椭圆，则
C．曲线可能是圆
D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
【答案】B
【分析】利用方程表示双曲线求解的取值范围可判断A；方程表示椭圆求解可判断B；方程是否表示圆可判断C；方程表示焦点在轴上的椭圆求解可判断D.
【详解】对于选项A：方程表示双曲线，则，解得或，故A正确；
对于选项B：方程表示椭圆，则，解得且，故B错误；
对于选项C：当时，方程表示圆，故C正确；
对于选项D：方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D正确；
故选：B.
【变式1-4】已知方程，则E表示的曲线形状是（ ）
A．若，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为，则
【答案】B
【分析】根据曲线表示椭圆，求得m的范围，判断A; 根据曲线表示双曲线，求得m的范围，判断B；由B的分析求双曲线的焦距，可判断C;根据E的离心率为，分类讨论求得m的值，判断D.
【详解】由题意得，当时，，
即，要表示椭圆，需满足 ，解得且，
故A错误；
若E表示双曲线，则不能为0，
故化为，
则，即或，故B正确；
由B的分析知，时， ，此时c不确定，
故焦距不是定值，C错误；
若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且，
当时，，此时 ，
则，解得 ，
当时，，此时 ，
则，解得 ，故D错误，
故选：B
考点2 求双曲线方程
【例2】已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程.
【详解】，，又动点满足，
动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
设双曲线方程为，
则有，
动点的轨迹方程为．
故选：A．
【变式2-1】已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据切线长相等的关系求得，利用双曲线定义求解.
【详解】如图，，，，
所以.根据双曲线定义，
所求轨迹是以A，B为焦点，
实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），
方程为.
故选:C.
【变式2-2】已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出轨迹方程作答.
【详解】点，，令为轨迹上任意点，则有，
因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，
即双曲线的实半轴长，而半焦距，则虚半轴长，
所以所求轨迹方程为.
故选：B
【变式2-3】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（　　）
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，可得，，由焦点位置可求双曲线的标准方程.
【详解】由题意，，，则，，
由两焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为.
故选：C．
【变式2-4】已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，结合渐近线方程列式求，进而可得结果.
【详解】设双曲线C的半焦距为，由椭圆可得，
由题意可得，解得，
所以双曲线C：，即.
故选：D.
【变式2-5】已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
由于双曲线的焦点在轴上，
所以双曲线的标准方程是.
故选：D
【变式2-6】已知动圆M与两圆和都外切，则动圆M的圆心轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．前三个答案都不对
【答案】B
【分析】根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可求圆心轨迹.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
设动圆圆心为，半径为r，则，且，
可得为定值，且，
所以动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支.
故选：B.
【变式2-7】在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将椭圆方程化成标准方程求出其焦点坐标，再根据双曲线虚轴长度为6，即可求得双曲线的标准方程.
【详解】椭圆的标准方程为；
易得椭圆焦点坐标为，
又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在轴上，且，
由双曲线虚轴长为6可知，所以；
所以，双曲线的标准方程为.
故选：B.
考点3 双曲线中的几何性质
【例3】双曲线的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】先求得，进而求得焦点坐标.
【详解】因为，，所以，得，
所以焦点坐标为和.
故选：C
【变式3-1】若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的性质计算即可.
【详解】由题意可知，即，
令.
故选：D
【变式3-2】以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点，则的焦距为（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【答案】C
【分析】由渐近线方程得出，，以及，联立即可求得答案.
【详解】由题意，，不妨设双曲线的渐近线方程为，
则.又，且，
联立解得，，即.
故选：C
【变式3-3】已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.
【详解】由题意双曲线的焦点在轴上，则，，
又，则，故C的标准方程为.
故选：C
【变式3-4】已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由顶点位置可假设双曲线方程，结合顶点坐标和渐近线方程可求得，由此可得结果.
【详解】双曲线顶点在轴上，可设其方程为，
顶点坐标为，渐近线方程为，即，
，解得：，双曲线方程为：.
故选：A.
【变式3-5】已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出等轴双曲线的标准方程，将代入即可求解.
【详解】设等轴双曲线的方程为，
将点代入得，解得.
所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
【变式3-6】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用焦点重合可得的值，结合双曲线的渐近线方程可得答案.
【详解】因为抛物线的焦点为，所以双曲线的一个焦点也是，
所以，解得，即双曲线的方程为，
其渐近线的方程为：.
故选：A.
【变式3-7】已知双曲线的实轴长为8，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据条件分别求双曲线的，再代入渐近线方程.
【详解】椭圆的焦点在轴上，其中，，，
所以焦点坐标为和，
双曲线的焦点为和，即，实轴长，则，
那么
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：B
考点4 求双曲线离心率
【例4】若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过椭圆的离心率得出之间的关系，即可求出双曲线的离心率.
【详解】由题意，
在椭圆中，离心率，
∴，即，
在双曲线中，
∴双曲线的离心率.
故选：A.
【变式4-1】已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的右焦点坐标可求得的值，即可得出该双曲线的离心率的值.
【详解】因为双曲线的右焦点为，所以，，则，可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：C.
【变式4-2】已知双曲线分别为的左焦点和右顶点，点是上的点，若的面积为，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据题意得到和，进而化简求得，即可得到答案.
【详解】设双曲线的焦距为，
由题设知，，则，
所以，且，易知，
又因为点在上，所以，所以，

因为，
所以，
则，
化简得，
解得或（舍去）.
所以，，故C的离心率为.
故选：C
【变式4-3】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由椭圆和双曲线的定义及条件可求，根据双曲线离心率的定义可得结果.
【详解】因为，，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：
，，
由，
解得，而，所以双曲线的离心率．
故选：A．
【变式4-4】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且双曲线C与椭圆E在第一象限的交点为P，若的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆方程得到，由三角形面积得到，进而得到，代入双曲线方程中，得到，求出离心率.
【详解】由椭圆的方程可知，半焦距．
又的面积，所以，
代入椭圆的方程，得，所以．
又，解得，所以双曲线的离心率．
故选：A．
【变式4-5】已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据渐近线方程得到，再代入离心率公式即可.
【详解】由题意可知，所以.
故选：D.
28．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意结合双曲线的渐近线方程、斜率与倾斜角的关系以及离心率公式和三角函数公式即可得解.
【详解】由题意双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
所以，
而离心率为.
故选：A.
考点5 双曲线大题综合
【例5】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（），
(1)求双曲线C的标准方程
(2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点,计算，即可得出答案．
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程，计算即可得出答案．
【详解】（1）设双曲线的方程为,
代入,,得,解得,
所以双曲线的方程为．
（2）由,得,
设,,,,
则中点坐标为,,
由韦达定理可得,
所以,
所以中点坐标为,
因为点在圆上，
所以,解得．
【变式5-1】已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用双曲线参数关系及点在双曲线上列方程求，即得方程；
（2）根据所得双曲线方程确定，且到轴距离为，结合三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）由且，则，
又点在双曲线上，则，
综上，，即双曲线的方程为.
（2）由（1）知：，而到轴距离为，
所以的面积为.
【变式5-2】已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点作倾斜角为60°的直线，该直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率、、焦点坐标求出可得答案；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理利用可得答案.
【详解】（1）由题可得，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）因为双曲线的右焦点的坐标为，
所以经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为，
联立，得，
设，，则，，
所以
.

【变式5-3】已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，根据以及整体代换法求得结果；
（2）设直线,与椭圆方程联立得出韦达定理，再表示，结合韦达定理求出结果.
【详解】（1）设，，，
∵，∴，
∴，
又∵焦距为，可得，则，
结合，∴，，
∴双曲线的标准方程为：．
（2）如图，
由（1）知，，设，．
因为不与重合，所以可设直线．
联立，
消得：，
故，，
，，，
∴．
【变式5-4】已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据题意设双曲线，由双曲线的性质即可求解；
（2）设出坐标，根据双曲线的性质得出的范围，利用两点间距离公式求解.
【详解】（1）由双曲线的焦点在轴，坐标为，，
所以可设双曲线的方程为，
由已知，所以，
又因为双曲线与双曲线有公共的焦点，所以，
解得，
所以双曲线的方程为；
（2）
由，可得或，
设，因为是双曲线上的任意一点，
所以，则或，
，
因为或，
所以当时，有最小值.9.4 双曲线
双曲线的定义
数学表达式：
双曲线的标准方程
焦点在轴上的标准方程 焦点在轴上的标准方程
标准方程为： 标准方程为：
双曲线中，，的基本关系
双曲线的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标 ， ， ， ，
实轴 实轴长，实半轴长
虚轴 虚轴长，虚半轴长
焦点 ， ，
焦距 焦距，半焦距
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为
渐近线方程
离心率
离心率对双曲线的影响 越大，双曲线开口越阔 越小，双曲线开口越窄
离心率与渐近线夹角的关系
通径：
（同椭圆）
通径长：，
半通径长：
双曲线的焦点到渐近线的距离为
考点1 判断构成双曲线的条件
【例1】“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】若方程所表示的曲线为，则下列命题错误的是（ ）
A．若曲线为双曲线，则或
B．若曲线为椭圆，则
C．曲线可能是圆
D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
【变式1-4】已知方程，则E表示的曲线形状是（ ）
A．若，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为，则
考点2 求双曲线方程
【例2】已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（　　）
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【变式2-4】已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-5】已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-6】已知动圆M与两圆和都外切，则动圆M的圆心轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．前三个答案都不对
【变式2-7】在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
考点3 双曲线中的几何性质
【例3】双曲线的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式3-1】若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点，则的焦距为（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【变式3-3】已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-5】已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-6】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-7】已知双曲线的实轴长为8，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点4 求双曲线离心率
【例4】若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知双曲线分别为的左焦点和右顶点，点是上的点，若的面积为，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式4-3】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且双曲线C与椭圆E在第一象限的交点为P，若的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
28．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点5 双曲线大题综合
【例5】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（），
(1)求双曲线C的标准方程
(2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值.
【变式5-1】已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)求的面积.
【变式5-2】已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点作倾斜角为60°的直线，该直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.
【变式5-3】已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值．
【变式5-4】已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值．

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