资源简介

9.5 抛物线
抛物线的定义
平面上一动点到定点的距离与到定直线：的点的轨迹叫做抛物线
抛物线的图形
数学表达式
标准方程的推导
设，由定义可知：，等式两边同时平方得：
抛物线的标准方程及其几何性质
焦点位置 轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
通径
通径长：，半通径长：
焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
焦点弦的性质
考点1 抛物线的定义及其方程
【例1】若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等，
故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上，
故轨迹为，
故选：A
【变式1-1】若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将点到点的距离比它到直线的距离大1转化为点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义，即可求得点的轨迹为抛物线，进而可求出点的轨迹方程．
【详解】∵点到点的距离比它到直线的距离大1，
∴点到点的距离等于它到直线的距离，
∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是.
故选：D.
【变式1-2】若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义确定轨迹作答.
【详解】动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线，
所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.
故选：B
【变式1-3】平面中与点和直线的距离相等的点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合抛物线的定义即可.
【详解】由抛物线的定义可知，解得，
所以该抛物线方程是，
故选：.
【变式1-4】
【变式1-5】
【变式1-6】
【变式1-7】
【变式1-8】
考点2 抛物线的几何性质
【例2】焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程.
【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上，
故抛物线的标准方程是.
故选：D
【变式2-1】准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可设抛物线的标准方程为，从而可得，求解即可.
【详解】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，则其准线方程为，得.
该抛物线的标准方程是.
故选：D.
【变式2-2】已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】求出双曲线的焦点坐标，然后利用抛物线的定义，求解p即可
【详解】双曲线的焦点坐标，
抛物线的准线过双曲线的一个焦点，
所以，可得．
故选：C．
【变式2-3】抛物线的准线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线标准方程即可求解.
【详解】由题知，抛物线方程为，
则其准线方程为.
故选：C
【变式2-4】若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解.
【详解】因为抛物线的准线为，
由题意可得：，解得.
故选：A.
【变式2-5】若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出准线方程，根据抛物线的定义得出，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义可得，点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，，解得.
故选：C.
【变式2-6】已知抛物线的焦点为，点 在抛物线 上，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】求得抛物线的准线方程及点的纵坐标后，利用抛物线的定义计算即可.
【详解】抛物线的标准方程为，
故其准线方程为，
点在抛物线上，
故，
由抛物线的定义知，，
故选：C.
【变式2-7】已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】D
【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求出.
【详解】设，，
又因为，所以，
故.
故选：D.
【变式2-8】记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】先求出抛物线方程及直线方程，联立，求出交点进而可得答案.
【详解】，由拋物线定义可知到准线距离为，即，解得，
即抛物线方程为，不妨取，又，
所以，
联立，消去整理得，
解得，即，
则.
故选：C.
【变式2-9】已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】由已知得，由于的纵坐标为，结合抛物线定义可得，
故选：D
【变式2-10】已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义求得点的坐标，进而求得.
【详解】设，由得，又，得，
所以，.
故选：B
【变式2-11】已知抛物线（）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离计算可得.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，
所以，解得.
故选：C.
【变式2-12】O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】首先根据焦半径公式求点的坐标，再代入面积公式，即可求解.
【详解】设点，,所以，得，,
所以的面积.
故选：C
【变式2-13】已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案.
【详解】由抛物线定义可知，
因为，所以为等边三角形，
故，，
所以，
其中准线l与轴交点为，则，故，
所以.

故选：D
【变式2-14】已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据抛物线定义计算即可.
【详解】由抛物线定义可得，则.
故选：D
【变式2-15】为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在抛物线中可借助直角三角形的正切值的求解.再由对称性求.
【详解】，
抛物线中时可得，且
则，取（如图）

，
,又对称性可知.
故选；C.
【变式2-16】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，结合抛物线方程，求出坐标，进而求出直线方程，与抛物线联立即可求出长.
【详解】由题意可得，
设，则，解得，
由抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，即，
则直线的方程为.
联立整理得，
解得或，则，
故.
故选：B
考点3 抛物线大题综合
【例3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程；
（2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程.
【详解】（1）点在抛物线上，
由抛物线定义可得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）设，如下图所示：

则，两式相减可得，
即，
又线段的中点为，可得；
则，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为，
即直线的方程为．
【变式3-1】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点位置设出抛物线的标准方程，把焦点坐标代入圆的方程，求解即可；
（2）设两点坐标，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理得根与系数的关系，表示出弦长，利用导数求抛物线过两点的切线，求出交点，点到直线距离得三角形的高，根据面积的表达式求最小值.
【详解】（1）由题意，设的方程为，
因为圆经过抛物线的焦点，
所以，解得，
所以的方程为.
（2）如图所示，

设，则，联立方程组整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线的过点的切线方程为
由解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
当时，，
所以面积的最小值为.
【变式3-2】
【变式3-3】
【变式3-4】已知为坐标原点，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，若过点的直线与抛物线交于，两点．
(1)证明：；
(2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆，证明：直线恒与圆相交．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先根据抛物线的焦半径公式，求出抛物线的方程，分两种情况讨论，当直线轴时和直线与轴不垂直时，分别求出，即可证明；
（2）结合（1）设的坐标为，根据的坐标写出直线的方程，整理后代入，即可得出直线恒过点，结合点在圆内即可证明．
【详解】（1）证明：因为点到抛物线焦点的距离为，
所以，解得或，
又因为，
所以，故抛物线方程为，
当直线轴时，可得，
此时，所以；
当直线与轴不垂直时，设的方程为，设，
代入得，
则，，
所以，
所以，
综上，．
（2）证明：由于关于轴对称，结合（1），故的坐标为，
所以直线的方程为，即，
由（1）得，所以，
可得直线恒过点，
因为圆的方程，且，
所以点在圆内部，
所以直线恒与圆相交．
【变式3-5】已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件得到，根据得到，再结合焦半径公式即可得到，从而得到.
（2）根据题意得到，设直线的方程为，，，与抛物线联立得到，，根据斜率公式得到，从而得到，即可得到直线过定点，再根据当时，点到直线距离最大求解即可.
【详解】（1）如图所示：
由题意可知，因为，，
由，，可得，
由抛物线的定义可知，，解得．
则的方程为.
（2）如图所示：
在抛物线上，所以，
设直线的方程为，，，
将代入，得
则，
，同理
整理得，，
直线的方程为，所以直线过定点.
当时，点到直线距离最大，
且最大距离为，
经检验符合题意.
【变式3-6】已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值
【答案】(1)
(2)11
【分析】（1）由过焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，结合抛物线的定义得，即可解决问题；（2）设直线的方程为，代入抛物线中写出韦达定理，又以为直径的圆经过点，则，转化为向量，利用数量积的坐标表示得出相应的关系式；利用抛物线的定义表示出，转化成函数求的最小值即可.
【详解】（1）由题知，
∴，
∴，抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为，
设点，，
由方程组得:
，
∴，
即，且，
∴
，
，
∵以为直径的圆经过点，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴
∴或
若，
直线：过点，不合题意，舍去．
，
∴．
则
，
所以当时，
最小，且最小值为11.
【变式3-7】已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于、两点，求直线与的斜率之积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，双曲线右顶点坐标为，则可知，代入即可得到抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，可得到，根据韦达定理得到，，进而推出，从而求得斜率为定值.
【详解】（1）双曲线化为标准形式：，
所以，，右顶点.
设抛物线的方程为，焦点坐标为，
由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以，，
所以抛物线的方程.
（2）联立直线与抛物线的方程有，整理得，
.
设，，则，.
又，，
所以.
.
所以，直线与的斜率之积为-1.
【变式3-8】已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)已知点，点，过点A的直线与抛物线交于，两点，连接PB交抛物线于另一点T，证明：直线QT过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）利用焦半径的定义可得的值，进而即可得到答案；
（2）设，，，则根据直线方程及题意可得到①，同理可得到②，同理也可得到QT的直线方程为，进而即可证明直线QT过定点，并得出定点坐标．
【详解】（1）因为为抛物线上一点，所以，
又因为，所以，即，解得，
所以抛物线C的标准方程为．
（2）设，，，
则PQ的直线方程为，
化简得，
又，在抛物线上，得，，
代入PQ直线得，
化简得，
代入点，得，则①，
同理的PT的直线方程为，
代入点，得②，
由①②得，即③，
同理可得QT的直线方程为，
代入③得，即，
故直线QT过定点．9.5 抛物线
抛物线的定义
平面上一动点到定点的距离与到定直线：的点的轨迹叫做抛物线
抛物线的图形
数学表达式
标准方程的推导
设，由定义可知：，等式两边同时平方得：
抛物线的标准方程及其几何性质
焦点位置 轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
通径
通径长：，半通径长：
焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
焦点弦的性质
考点1 抛物线的定义及其方程
【例1】若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线
【变式1-3】平面中与点和直线的距离相等的点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】
【变式1-5】
【变式1-6】
【变式1-7】
【变式1-8】
考点2 抛物线的几何性质
【例2】焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式2-3】抛物线的准线方程为( )
A． B． C． D．
【变式2-4】若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-6】已知抛物线的焦点为，点 在抛物线 上，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式2-7】已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（ ）
A． B．4 C．5 D．
【变式2-8】记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式2-9】已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-10】已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A． B． C．4 D．5
【变式2-11】已知抛物线（）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式2-12】O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．8
【变式2-13】已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式2-14】已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若则（ ）
A． B． C． D．2
【变式2-15】为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-16】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
考点3 抛物线大题综合
【例3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
【变式3-1】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
【变式3-2】
【变式3-3】
【变式3-4】已知为坐标原点，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，若过点的直线与抛物线交于，两点．
(1)证明：；
(2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆，证明：直线恒与圆相交．
【变式3-5】已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．
【变式3-6】已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值
【变式3-7】已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于、两点，求直线与的斜率之积．
【变式3-8】已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)已知点，点，过点A的直线与抛物线交于，两点，连接PB交抛物线于另一点T，证明：直线QT过定点，并求出定点坐标．

展开更多......

收起↑