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10.1 计数原理之排列组合
计数原理
1．分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
排列组合
1．排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
求解排列应用问题方法汇总
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A.
间接法 正难则反、等价转化的方法
分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子
环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为
涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。
考点1 分类加法原理
【例1】有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（ ）
A．3种 B．12种 C．60种 D．不同于以上的答案
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理计算作答.
【详解】依题意，计算不同取法种数有3类办法：取一本中文书有5种方法，取一本数学书有4种方法，取一本英语书有3种方法，
由分类加法计数原理得：每次取一本，不同的取法有（种）.
故选：B
【变式1-1】完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A．6种 B．10种 C．4种 D．60种
【答案】B
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
【详解】根据分类加法计数原理，6+4=10.
故选：B.
【变式1-2】集合，，，，5，6，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】分为集合提供横坐标，集合提供纵坐标和集合提供纵坐标，集合提供横坐标两种情形讨论即可.
【详解】第二象限的横坐标是负数，纵坐标是正数．
若集合提供横坐标，集合提供纵坐标，则有，
若集合提供纵坐标，集合提供横坐标，则有，合计，
即这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是6个，
故选：D.
【变式1-3】已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
【答案】C
【分析】分类求解符合条件的三位数的个数即可.
【详解】集合，且，
则这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”包含以下三种情况：
①十位数是，则百位数可以是中的一个数，个位数可以是中的一个数，即个；
②十位数是，则百位数可以是中的一个数，个位数可以是中的一个数，即个；
③十位数是，则百位数只能是，个位数可以是中的一个数，即个；
综上，符合条件的共有个.
故选：C.
考点2 分步乘法原理
【例2】某游泳锦标赛上有四名运动员甲、乙、丙、丁，他们每人参加项目且每人只能参加一个项目，有三个游泳项目供选择，这四人参赛方案的种类共有（ ）
A． B． C．12 D．9
【答案】A
【分析】由分步乘法计数原理即可得到结果.
【详解】甲、乙、丙、丁每人均有3种选择，可以采用分步计数原理，得四人参赛方案的种类为．
故选：A.
【变式2-1】我国将在2024年2月17日举行“十四冬”赛事，需两名技术志愿者在其中一个星期分别值班4天，且每天都有人值班，则值班的所有可能性有（ ）
A．140种 B．280种 C．320种 D．720种
【答案】A
【分析】由分步乘法计数原理以及组合数计算即可得解.
【详解】设甲、乙两人值班，因为各值4天，共需7天，所以两人仅有一天是同时值班，有种选择方法；
剩余6天各值3天，有种选择方法．所以共有（种）选择方法．
故选：A
【变式2-2】甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．90种 D．120种
【答案】B
【分析】根据分类分步计数原理，利用组合数计算即可得出结果.
【详解】根据题意可知，首先选取1种相同课外读物的选法有种，
再选取另外两种课外读物需不同，则共有种，
所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种；
故选：B
【变式2-3】在6双不同颜色的手套中任取5只，恰好有2只为同一双的取法共有（ ）种
A．360 B．480 C．600 D．1440
【答案】B
【分析】分三步：先从6双手套中任取一双，然后从剩余的5双手套中任取3双，再从取出的3双手套中各取一只，由分步乘法计算原理可得.
【详解】第一步，先从6双手套中任取一双，有种取法；
第二步，从剩余的5双手套中任取3双，有种取法；
第三步，从取出的3双手套中各取一只，有种取法.
所以，恰好有2只为同一双的取法共有种.
故选：B
考点3 相邻问题
【例3】3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（ ）
A．48种 B．36种 C．20种 D．24种
【答案】B
【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解.
【详解】3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有排法，
故选:B.
【变式3-1】A，B，C，D四人并排站成一排，如果A与B相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A．24种 B．12种 C．48种 D．12种
【答案】B
【分析】利用捆绑法及分步乘法原理可求解
【详解】将A与B看成一个整体，有种排法，再排“A与B”、 C，D有种排法，所以由分步乘法原理可知共有种不同的排法.
故选：B
【变式3-2】3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（ ）
A．72种 B．64种 C．48种 D．36种
【答案】D
【分析】利用捆绑法，将2名女生捆绑在一起，先站2名女生，再站3名男生.
【详解】将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有种站法，又2名女生都不站在最左端，故有种站法，剩下3个位置，站3名男生有种站法，
故不同的站法共有种.
故选：D.
【变式3-3】2023年杭州亚运会期间，甲 乙 丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
【答案】B
【分析】根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解.
【详解】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，
先排除去丙的5个元素，共有种排法，
再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法，
所以甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有种.
故选：B.
考点4 不相邻问题
【例4】甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（　　）
A．12 B．36 C．48 D．72
【答案】D
【分析】甲和乙不相邻，先排丙、丁、戊三人，再将甲乙插空即可．
【详解】先排丙、丁、戊三人，共有种排法，
甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，
共有种排法，故排法种数为．
故选：D
【变式4-1】五人站一排拍照，不相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】C
【分析】运用插空法排列即可.
【详解】先排三人有排法，确定四个空，用插空法有种排法，
所以不同的排列方式共有种排法，
故选：C
【变式4-2】毕业十周年校友们重返母校，银杏树下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右边，且不与乙相邻，则不同的站法共有（ ）
A．66种 B．60种 C．36种 D．24种
【答案】C
【分析】利用插空法和平均分配法结合求出结果.
【详解】先排甲、乙外的3人，有种排法，再插入甲、乙两人，有种方法，共有种方法，
又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占，故所求不同和站法有（种）.
故选：C.
【变式4-3】4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（ ）
A．36 B．72 C．81 D．144
【答案】D
【分析】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.
【详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法，
将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，
故共有种不同的排法，
故选：D
考点5 全排列问题
【例5】A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（ ）
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
【答案】C
【分析】根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案.
【详解】由题意所有排列的方法种数为，
故答案为：C
【变式5-1】若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（ ）
A．24种 B．23种 C．12种 D．11种
【答案】B
【分析】根据对立事件以及排列组合的知识求得正确答案.
【详解】“word”一共有个不同的字母，
这个字母全排列有种方法，
其中正确的有种，所以错误的有种.
故选：B
【变式5-2】从、、、中任取个数字组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析可知只需从、、、这个数字中任取个数字全排即可，利用排列计数原理可得结果.
【详解】从、、、中任取个数字组成没有重复数字的三位数，只需从这个数字中任取个数字全排即可，
因此，满足条件的三位数的个数为.
故选：B.
【变式5-3】有2名老师和3名同学站成一排照相，所有不同站法的种数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】全排列问题，利用排列知识进行求解.
【详解】2名老师和3名同学共5人站成一排照相，属于全排列问题，故不同站法有种.
故选：B
考点6 分组分配问题
【例6】疫情期间，某社区将5名医护人员安排到4个不同位置的核酸小屋做核酸检测工作，要求每个核酸小屋至少有一名医护人员，则共有多少种不同安排方法（ ）
A．480种 B．362种 C．120种 D．240种
【答案】D
【分析】根据分组分配问题结合排列组合即可求解.
【详解】5名医护人员安排到4个不同位置，按人数分组方式有，
所以不同安排方法有种．
故选：D
【变式6-1】现有个不同的生肖吉祥物，分个给老师，其他个分给位学生，每位学生至少分到个，则这个生肖吉祥物的分配方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】先分个给老师，再将剩余的个分成组，最后分给学生.
【详解】分三步，先分个给老师，共有种分法，
再把剩余的个分成组，共有种分组方法，
最后将分好组的吉祥物分给位学生，共有种分法，
故这6个生肖吉祥物的分配方法共有种，
故选：B.
【变式6-2】2023年亚运会将在杭州举行.将6位志愿者分成4组，其中两组各2人，另两组各1人，分赴亚运会的4个不同场馆服务，不同的分配方案的种数为（ ）
A．4320 B．1080 C．180 D．90
【答案】B
【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得.
【详解】将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种方法，进而将其分配到四个不同场馆，有种情况，
由分步计数原理可得，不同的分配方案有种.
故选：.
【点睛】在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解中分母的意义．
【变式6-3】将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区的所有情况，以及甲不被分到A社区的情况，求出概率.
【详解】甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区，共有种情况，
其中甲不被分到A社区，则从乙、丙、丁中选择一个分到A社区，
剩余3人分配到3个社区，故共有种情况，
故甲不被分到A社区的概率是．
故选：C10.1 计数原理之排列组合
计数原理
1．分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
排列组合
1．排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
求解排列应用问题方法汇总
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A.
间接法 正难则反、等价转化的方法
分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子
环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为
涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。
考点1 分类加法原理
【例1】有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（ ）
A．3种 B．12种 C．60种 D．不同于以上的答案
【变式1-1】完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A．6种 B．10种 C．4种 D．60种
【变式1-2】集合，，，，5，6，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【变式1-3】已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
考点2 分步乘法原理
【例2】某游泳锦标赛上有四名运动员甲、乙、丙、丁，他们每人参加项目且每人只能参加一个项目，有三个游泳项目供选择，这四人参赛方案的种类共有（ ）
A． B． C．12 D．9
【变式2-1】我国将在2024年2月17日举行“十四冬”赛事，需两名技术志愿者在其中一个星期分别值班4天，且每天都有人值班，则值班的所有可能性有（ ）
A．140种 B．280种 C．320种 D．720种
【变式2-2】甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．90种 D．120种
【变式2-3】在6双不同颜色的手套中任取5只，恰好有2只为同一双的取法共有（ ）种
A．360 B．480 C．600 D．1440
考点3 相邻问题
【例3】3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（ ）
A．48种 B．36种 C．20种 D．24种
【变式3-1】A，B，C，D四人并排站成一排，如果A与B相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A．24种 B．12种 C．48种 D．12种
【变式3-2】3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（ ）
A．72种 B．64种 C．48种 D．36种
【变式3-3】2023年杭州亚运会期间，甲 乙 丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
考点4 不相邻问题
【例4】甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（　　）
A．12 B．36 C．48 D．72
【变式4-1】五人站一排拍照，不相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
【变式4-2】毕业十周年校友们重返母校，银杏树下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右边，且不与乙相邻，则不同的站法共有（ ）
A．66种 B．60种 C．36种 D．24种
【变式4-3】4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（ ）
A．36 B．72 C．81 D．144
考点5 全排列问题
【例5】A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（ ）
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
【变式5-1】若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（ ）
A．24种 B．23种 C．12种 D．11种
【变式5-2】从、、、中任取个数字组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】有2名老师和3名同学站成一排照相，所有不同站法的种数有（ ）
A． B． C． D．
考点6 分组分配问题
【例6】疫情期间，某社区将5名医护人员安排到4个不同位置的核酸小屋做核酸检测工作，要求每个核酸小屋至少有一名医护人员，则共有多少种不同安排方法（ ）
A．480种 B．362种 C．120种 D．240种
【变式6-1】现有个不同的生肖吉祥物，分个给老师，其他个分给位学生，每位学生至少分到个，则这个生肖吉祥物的分配方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【变式6-2】2023年亚运会将在杭州举行.将6位志愿者分成4组，其中两组各2人，另两组各1人，分赴亚运会的4个不同场馆服务，不同的分配方案的种数为（ ）
A．4320 B．1080 C．180 D．90
【变式6-3】将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是（ ）
A． B． C． D．

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