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10.3 概率
1．古典概型特点
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式
P(A)＝＝.
求古典概型概率的步骤
(1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率.
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．　
判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
考点1 古典概型概率小题综合
【例1】从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示及古典概型计算即可.
【详解】由题意可知，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
因为向量与向量垂直，
所以，满足条件的有，，共2种，故所求的概率为.
故选：C
【变式1-1】某单位党员到社区做志愿服务，其中甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四个社区做志愿者．每人安排1个社区，每个社区安排1人，则甲没被安排到D社区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据排列数分别求甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四个社区以及甲没被安排到D社区的排列方法，结合古典概型运算求解.
【详解】由题意可知：甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四个社区，共有种不同安排方法，
若甲没被安排到D社区，共有种不同安排方法，
所以甲没被安排到D社区的概率为.
故选：C.
【变式1-2】三名学生各自在篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目中任选一个参加，则三个项目都有学生参加的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.
【详解】三名学生各自在篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目中任选一个参加，共有种方法，
其中三个项目都有学生参加的方法有种，故所求的概率为.
故选：D
【变式1-3】我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列举出能组成勾股定理关系组数，结合组合知识求出概率.
【详解】在这8个数中任取3个数共有种取法，
能组成勾股定理关系的有，，，共3组，
由古典概型，可知这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为．
故选：D．
【变式1-4】若甲、乙、丙三名公务员随机分到A，B两个村实践锻炼，则每个村至少有一名公务员的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据古典概型概率计算公式计算即可.
【详解】由题意知，基本事件总数.
每个村至少有一名公务员包含的基本事件个数，
所以每个村至少有一名公务员的概率为.
故选：A.
【变式1-5】江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法求概率即可.
【详解】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有种情况，
只选一个苏州古镇的概率为．
故选：B
【变式1-6】“村超”是贵州榕江县乡村足球超级联赛的简称，是该县的一项传统乡村体育赛事，“村超”深受当地人民的喜爱，也在2023年开始火爆全网.某体育新闻网站派出含甲、乙在内的4名记者前去A，B，C三个足球场报道“村超”赛事，要求每个足球场至少1名记者，则甲、乙分在不同足球场的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对立事件结合古典概型分析求解.
【详解】记甲、乙分在不同足球场为事件，
所以.
故选：D.
【变式1-7】在不超过10的正偶数中，随机选取两个不同的数，其和等于10的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出所有事件情况，得到满足题意的情况数，利用古典概型即可得到答案.
【详解】不超过10的正偶数有，
随机选取两个不同的数有；；；；；；；；；；共10种，
和等于10的有10，共2种，所以和等于10的概率．
故选：A．
【变式1-8】已知甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛，比赛规则为：将四人随机均分为组，同组人先进行一场比赛，组胜者再进行决赛．若所有人在比赛中获胜的概率均为，则甲、乙在决赛中相遇的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由各人进入决赛的可能性相同，用列举法由古典概型概率公式可得.
【详解】因为所有人在比赛中获胜的概率均为，所以甲、乙、丙、丁四人进入决赛的可能性相等.
所以进入决赛可能出现的情况有
（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），共6种情况，
甲乙在决赛中相遇的情况只有（甲乙）1种，
故由古典概型概率公式知，甲、乙在决赛中相遇的概率为.
故选：B.
【变式1-9】某大学为了了解学生课外图书阅读量的情况，从大二学生中抽取50名，统计他们今年上半年阅读的书籍数量，发现读书不低于6本的人数占，不低于8本的人数占.现从读书不低于6本的学生中随机地选取2名进行座谈，则这2名学生1名读书低于8本且不低于6本，1名读书不低于8本的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求得读书本数对应的学生人数，再利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解.
【详解】读书低于8本且不低于6本的人数为，分别记作，
不低于8本的人数为，分别记作，
则从中选出2名学生的基本事件为：，共15件，
其中1名读书低于8本且不低于6本，1名读书不低于8本的基本事件有，共8件，
则所求概率为.
故选：B.
考点2 古典概型大题综合
【例2】11．某酒店为了调查入住宾客对该酒店服务的满意率，对一个月来曾入住过的顾客进行电话回访，回访结果显示，顾客的满意率为80%.在不满意的顾客中，对住宿环境不满意的占60%，对服务员的服务态度不满意的占40%.
(1)若在电话回访的所有顾客中，对住宿环境不满意的顾客共有240人，求此次电话回访的顾客总数；
(2)若在一同住宿的甲、乙等五名顾客中，随机选择两名进行回访，求甲、乙两人中至少一人被选中的概率.
【答案】(1)人
(2)
【分析】（1）利用频率、频数与样本容量的关系求解；
（2）利用古典概率模型求解.
【详解】（1）住宿环境不满意的顾客在所有顾客中所占的比例为，
所以回访的顾客总数为人；
（2）设甲、乙两人中至少一人被选中为事件A，
由题意可知，甲乙两人都未被选中的概率为,
所以.
【变式2-1】为了提高学习数学的兴趣，形成良好的数学学习氛围，某校将举行“‘象山杯’数学解题能力比赛”，每班派人参加，某班级老师已经确定参赛名额，第个参赛名额在甲，乙同学间产生，为了比较甲，乙两人解答某种题型的能力，现随机抽取这两个同学各次之前该题型的解答结果如下：，，，，，，，，，，其中，分别表示甲正确和错误；，分别表示乙正确和错误．
(1)若解答正确给该同学分，否则记分．试计算甲、乙两人之前的成绩的平均数和方差，并根据结果推荐谁参加比赛更合适；
(2)若再安排甲、乙两人解答一次该题型试题，试估计恰有一人解答正确的概率.
【答案】(1)甲的平均数为，方差为，乙的平均数为，方差为，推荐乙参加比赛更合适
(2)
【分析】（1）根据平均数与方差的公式分别计算甲、乙两人的平均数与方程，进而推荐人选；
（2）利用古典概型的概率公式估计恰有一人正确的概率.
【详解】（1）由已知得甲的平均数，方差；
乙的平均数，方差，
因为，且，
所以推荐乙参加比赛更合适；
（2）由已知的个结果中，恰有一人解答正确的结果是，，，共个，
所以恰有一人正确的概率为.
【变式2-2】从至的个整数中随机取个不同的数．
(1)写出所有不同的取法；
(2)求取出的个数互质的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）直接列出所以不同的取法.
（2）先列出两数互质的取法，运用古典概型公式求概率.
【详解】（1）从至的个整数中随机取个不同的数，共有以下种不同的取法，
,,,
,.
（2）两数互质的取法有：
，共11种，
故所求概率．
【变式2-3】第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：
分数段
人数 1 1 1 2 2 2 1
规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率．
(1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？
(2)在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率．
【答案】(1)0.3
(2)0.6
【分析】（1）由80分及以上的学生人数与抽取的总人数的比值进行求解；
（2）列举法求解古典概率求概率公式.
【详解】（1）∵80分及以上为优秀，
∴，
∴此次比赛中该校学生成绩的优秀率是0.3．
（2）∵成绩良好的学生人数与成绩优秀的学生人数之比为，
∴在成绩良好的学生中抽取2人，记为a，b；在成绩优秀的学生中抽取3人，记为C，D，E．
从a，b，C，D，E中随组抽取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10种，
其中良好和优秀各1人的有：，，，，，，共6种．
∴良好和优秀各1人的概率为．
【变式2-4】一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率；若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
【答案】无放回时，概率为；有放回时，概率为
【分析】利用列举法，结合抽样方法以及古典概型的概率计算公式求得正确答案.
【详解】（1）选取是无放回的，
，共有12种方法，
其中相邻的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6种，
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为.
（2）选取是有放回的，
，共有16种方法，
其中相邻的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6种，
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为.
【变式2-5】从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.
(1)请写出该试验的样本空间;
(2)设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;
(3)若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据题意把所有的可能结果列出即可;
(2) 由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可;
(3) 由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可.
【详解】（1）解:由题知,样本空间为;
（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有4个,
故;
（3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有3个,
故.
【变式2-6】甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
【答案】(1)答案详见解析（答案不唯一）
(2)
(3)不公平，理由见解析
【分析】（1）根据抽取的方法写出样本空间.
（2）根据古典概型的概率问题计算公式，计算出所求答案.
（3）根据甲、乙的胜率进行说明.
【详解】（1）用a表示方片4，2，3，4分别表示红桃2、红桃3、红桃4，
则甲、乙两人抽到的牌的样本空间为：
．
（2）甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为．
（3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的样本点有，
所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，故游戏不公平．
【变式2-7】某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2、3、4的人数分别为1、3、2，现从这6人中随机选出2人作为该组代表参加表彰会.
(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X不小于6的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）按活动次数不同，将6人分别编号，列举出所有可能的基本事件，根据古典概型概率计算即可；
（2）求出X小于6的概率，再用1减去该概率即可.
【详解】（1）记参加了2次志愿者活动的人为a，参加了3次志愿者活动的人为、、，参加了4次志愿者活动的人为、.
从这6人中随机选出2人.共有、、、、、、、、、、、、、、这15种选法；
其中这2人参加志愿者活动次数相同的有、、、这4种选法.
故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为.
（2）由(1)可知，X小于6有、、这3种选法，
故X不小于6的概率.
【变式2-8】2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就．习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求．为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门，中选派5人与其下辖的乡镇甲对接相关业务，其中部门，可选派的人数分别为10，15．
(1)若采用分层抽样的方法从部门，的可选派人员中抽取5人，求部门被选派的人数；
(2)已知选派的这5人中有2名是女性，现从这5人中随机抽取3人，求这2名女性都被选中的概率．
【答案】(1)2人
(2)
【分析】（1）根据分层抽样的方法直接求解即可；
（2）先得出5人中随机抽取3人所有可能的情况，再找出2名女性都被选中的抽法，最后直接计算即可.
【详解】（1）由题意可知部门，可选派的人数之比为，
则部门被选派的人数为．
（2）由题意可知被选派的5人中，男性有3人，记为，，；女性有2人，记为，．
从这5人中随机抽取3人的抽法有，，，，，，，，，，共10种；
其中这2名女性都被选中的抽法有，，，共3种．故所求概率为．
【变式2-9】从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在和中各有1个的概率.
【答案】（1）0.4；（2）1；（3）见解析.
【分析】（1）用苹果的重量在的频率除以样本容量，即为所求；
（2）根据重量在的频数所占的比例，求得重量在的苹果的个数；
（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的个数，即可得到所求事件的概率.
【详解】解：（1）苹果的重量在的频率为
（2）重量在的有（个）
（3）设这4个苹果中重量在的有1个，记为1，重量在的有3个，分别记为2，3，4，从中任取两个，可能的情况有：
（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种，设任取2 个，重量在和中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2），（1，3），（1，4）共3种，
所以
【点睛】此题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，本题还考查了分层抽样，属于基础题10.3 概率
1．古典概型特点
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式
P(A)＝＝.
求古典概型概率的步骤
(1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率.
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．　
判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
考点1 古典概型概率小题综合
【例1】从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】某单位党员到社区做志愿服务，其中甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四个社区做志愿者．每人安排1个社区，每个社区安排1人，则甲没被安排到D社区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】三名学生各自在篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目中任选一个参加，则三个项目都有学生参加的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】若甲、乙、丙三名公务员随机分到A，B两个村实践锻炼，则每个村至少有一名公务员的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-5】江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-6】“村超”是贵州榕江县乡村足球超级联赛的简称，是该县的一项传统乡村体育赛事，“村超”深受当地人民的喜爱，也在2023年开始火爆全网.某体育新闻网站派出含甲、乙在内的4名记者前去A，B，C三个足球场报道“村超”赛事，要求每个足球场至少1名记者，则甲、乙分在不同足球场的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-7】在不超过10的正偶数中，随机选取两个不同的数，其和等于10的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-8】已知甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛，比赛规则为：将四人随机均分为组，同组人先进行一场比赛，组胜者再进行决赛．若所有人在比赛中获胜的概率均为，则甲、乙在决赛中相遇的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-9】某大学为了了解学生课外图书阅读量的情况，从大二学生中抽取50名，统计他们今年上半年阅读的书籍数量，发现读书不低于6本的人数占，不低于8本的人数占.现从读书不低于6本的学生中随机地选取2名进行座谈，则这2名学生1名读书低于8本且不低于6本，1名读书不低于8本的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点2 古典概型大题综合
【例2】11．某酒店为了调查入住宾客对该酒店服务的满意率，对一个月来曾入住过的顾客进行电话回访，回访结果显示，顾客的满意率为80%.在不满意的顾客中，对住宿环境不满意的占60%，对服务员的服务态度不满意的占40%.
(1)若在电话回访的所有顾客中，对住宿环境不满意的顾客共有240人，求此次电话回访的顾客总数；
(2)若在一同住宿的甲、乙等五名顾客中，随机选择两名进行回访，求甲、乙两人中至少一人被选中的概率.
【变式2-1】为了提高学习数学的兴趣，形成良好的数学学习氛围，某校将举行“‘象山杯’数学解题能力比赛”，每班派人参加，某班级老师已经确定参赛名额，第个参赛名额在甲，乙同学间产生，为了比较甲，乙两人解答某种题型的能力，现随机抽取这两个同学各次之前该题型的解答结果如下：，，，，，，，，，，其中，分别表示甲正确和错误；，分别表示乙正确和错误．
(1)若解答正确给该同学分，否则记分．试计算甲、乙两人之前的成绩的平均数和方差，并根据结果推荐谁参加比赛更合适；
(2)若再安排甲、乙两人解答一次该题型试题，试估计恰有一人解答正确的概率.
【变式2-2】从至的个整数中随机取个不同的数．
(1)写出所有不同的取法；
(2)求取出的个数互质的概率．
【变式2-3】第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：
分数段
人数 1 1 1 2 2 2 1
规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率．
(1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？
(2)在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率．
【变式2-4】一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率；若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
【变式2-5】从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.
(1)请写出该试验的样本空间;
(2)设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;
(3)若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.
【变式2-6】甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
【变式2-7】某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2、3、4的人数分别为1、3、2，现从这6人中随机选出2人作为该组代表参加表彰会.
(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X不小于6的概率.
【变式2-8】2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就．习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求．为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门，中选派5人与其下辖的乡镇甲对接相关业务，其中部门，可选派的人数分别为10，15．
(1)若采用分层抽样的方法从部门，的可选派人员中抽取5人，求部门被选派的人数；
(2)已知选派的这5人中有2名是女性，现从这5人中随机抽取3人，求这2名女性都被选中的概率．
【变式2-9】从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在和中各有1个的概率.

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