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10.4 离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量定义
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．离散型随机变量均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
4．离散型随机变量方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
考点1 离散型随机变量及其分布列小题综合
【例1】设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分布列的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】＋＋＋＝，A错误；
＋＝，B错误；
，C正确；
＋＝，D错误.
故选：C
【变式1-1】下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 9
P
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分布列的性质运算求解.
【详解】由题意可得：，解得.
故选：C.
【变式1-2】某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（ ）
8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
【答案】D
【分析】根据所有事件概率和为1，从而得到.
【详解】,
故选：D.
【变式1-3】设随机变量的分布列如下表，求实数c的值（ ）
0 1
P
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】由离散型随机变量分布列的性质求解即可.
【详解】由离散型随机变量分布列的性质得，解得.
故选：A.
【变式1-4】已知离散型随机变量的分布列如下表：
1 3 5
0.3 0.4
则其数学期望（ ）
A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2
【答案】D
【分析】根据概率和为等于1可得，再利用期望的公式即可得解.
【详解】分布列中出现的所有的概率之和等于1．，，
随机变量的数学期望．
故选：D.
【变式1-5】已知随机变量X的分布列为：
X 0 2 3
P m 2m
则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据分布列的性质及期望公式即得.
【详解】由，解得，
则.
故选：C.
【变式1-6】已知下表为离散型随机变量X的分布列，则（ ）
X 0 1 2 3
P
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据求解即可.
【详解】根据.
故选：C
【变式1-7】已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
则等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】C
【分析】先由各个概率和为1可求出，再由可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：C.
【变式1-8】若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得：可得，利用对立事件求解．
【详解】根据题意可得：
故选：C．
【变式1-9】设离散型随机变量的分布列为：
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质即可求解.
【详解】解：由题意，有，且，，解得，
故选：B.
考点2 离散型随机变量及其分布列大题综合
【例2】设离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求随机变量的分布列．
【答案】答案见详解
【分析】由离散型随机变量的性质，可得，再由 的对应关系可得解.
【详解】由离散型随机变量的性质，可得，
依题意知，η的值为0，1，4，9，16.
列表为：
X 0 1 2 3 4
0 1 4 9 16
从而的分布列为：
η 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
【变式2-1】一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.
(1)求取出的3个球恰有一个红球的概率；
(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析.
【分析】设出事件，利用超几何分布求概率公式进行求解；（2）写出随机变量X的可能取值及相应的概率，求出分布列.
【详解】（1）设取出的3个球恰有一个红球为事件A，
则
（2）随机变量X可能取值为0,1,2,
，，，
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
【变式2-2】将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列；
（2）由（1）的分布列可得概率.
【详解】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：，，，，
所以，，，，
所以分布列为
（2）由（1）得.
【变式2-3】．一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球（假设取到任何—个小球的可能性相同）.
（1）求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；
（2）在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）计算取出的3个小球所有的结果数，然后计算含有编号为4的结果数，最后利用古典概型进行计算，可得结果.
（2）列出的所有可能取值，并计算相对应的概率，然后画出分布列，根据期望公式，可得结果.
【详解】（1）由题可知：
取出的3个小球所有的结果数
含有编号为4的结果数
所以所求得概率为
（2）所有得可能取值为：3，4，5
所以的分布列为
所以
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，掌握离散型随机变量的数学期望以及方差的公式计算，审清题意，使用排列组合细心计算，属基础题.
【变式2-4】从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
【答案】(1)；(2)
0 1 2 3
【分析】(1)用古典概型概率计算公式直接求解；
(2) 的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应取值时的概率，最后列出分布列.
【详解】(1)所选3人中恰有一名男生的概率；
(2) 的可能取值为0,1,2,3.
∴ξ的分布列为:
0 1 2 3
【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式、以及离散型随机变量分布列，考查了数学运算能力.
【变式2-5】2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93.
（1）求该样本的中位数和方差；
（2）若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.
【答案】（1）中位数为81.5，方差为98.83（2）详见解析
【分析】（1）把样本数据排序后可得中位数，计算样本数据的平均数再利用公式计算其方差.
（2）利用超几何分布可求优秀作品的件数的分布列和期望.
【详解】（1）样本数据按顺序为59，67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96.
数据的中位数为：
平均数为
方差为
（2）设抽到优秀作品的个数为，则的可能值为0,1，2,3
所以的分布列为：
0 1 2 3
期望为
【点睛】（1）统计中有中位数、众数和平均数，注意它们的差别与计算方法．
（2）在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．
【变式2-6】袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：.
(1)随机变量的概率分布列；
(2)随机变量的数学期望与方差.
【答案】(1)见解析；（2），.
【详解】解：(1)随机变量可取的值为．
；
得随机变量的概率分布列为：
2 3 4
(2)随机变量的数学期望为：；
随机变量的方差为：
【变式2-7】学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
（1）求在1次游戏中,
①摸出3个白球的概率;
②获奖的概率;
（2）求在2次游戏中获奖次数的分布列.
【答案】（I）（i）；（ii）（II）X的分布列见解析，数学期望
【详解】解：(1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.
②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3，又
P(A2)＝＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝2＝，
P(X＝1)＝C21·＝，
P(X＝2)＝2＝，
所以X的分布列是
X 0 1 2
P
X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.10.4 离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量定义
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．离散型随机变量均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
4．离散型随机变量方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
考点1 离散型随机变量及其分布列小题综合
【例1】设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 9
P
A． B． C． D．
【变式1-2】某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（ ）
8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
【变式1-3】设随机变量的分布列如下表，求实数c的值（ ）
0 1
P
A． B．或 C． D．
【变式1-4】已知离散型随机变量的分布列如下表：
1 3 5
0.3 0.4
则其数学期望（ ）
A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2
【变式1-5】已知随机变量X的分布列为：
X 0 2 3
P m 2m
则（ ）
A．2 B． C． D．1
【变式1-6】已知下表为离散型随机变量X的分布列，则（ ）
X 0 1 2 3
P
A． B． C． D．
【变式1-7】已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
则等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【变式1-8】若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
【变式1-9】设离散型随机变量的分布列为：
则（ ）
A． B． C． D．
考点2 离散型随机变量及其分布列大题综合
【例2】设离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求随机变量的分布列．
【变式2-1】一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.
(1)求取出的3个球恰有一个红球的概率；
(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列.
【变式2-2】将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
【变式2-3】．一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球（假设取到任何—个小球的可能性相同）.
（1）求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；
（2）在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列及数学期望.
【变式2-4】从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
【变式2-5】2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93.
（1）求该样本的中位数和方差；
（2）若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.
【变式2-6】袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：.
(1)随机变量的概率分布列；
(2)随机变量的数学期望与方差.
【变式2-7】学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
（1）求在1次游戏中,
①摸出3个白球的概率;
②获奖的概率;
（2）求在2次游戏中获奖次数的分布列.

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