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专题3.3 直线与椭圆的位置关系【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 点与椭圆的位置关系】 1
【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 2
【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 3
【题型4 椭圆的弦长问题】 4
【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 5
【题型6 椭圆中的面积问题】 5
【题型7 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 7
【题型8 椭圆中的最值问题】 8
【知识点1 点与椭圆的位置关系】
1．点与椭圆的位置关系
(1)点与椭圆的位置关系：
(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点在椭圆外+>1;
点在椭圆内+<1;
点在椭圆上+=1.
【题型1 点与椭圆的位置关系】
【例1】（2022·全国·高二假期作业）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·高二课时练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023·高二课时练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（ ）
A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关
C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆关于轴 轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【知识点2 直线与椭圆的位置关系】
1．直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.
(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：
>0直线与椭圆相交有两个公共点;
=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;
<0直线与椭圆相离无公共点.
【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】
【例2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【变式2-2】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．2个 B．至少一个 C．1个 D．0个
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离
B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切
C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交
D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定
【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】
【例3】（2023·全国·高三对口高考）若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023秋·高二单元测试）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）若方程有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【知识点3 弦长与“中点弦问题”】
1．弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，
则或.
2．“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根
与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系.
设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
设线段AB的中点为，当时，有+=0.
因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标
为，则弦AB所在直线的斜率为，即.
【题型4 椭圆的弦长问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（ ）
A．±1 B．±
C． D．±
【变式4-2】（2023·全国·高三对口高考）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【题型5 椭圆的“中点弦”问题】
【例5】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）若椭圆的弦AB被点平分.则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2023春·陕西汉中·高二校联考期中）已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【变式5-2】（2023春·湖北荆州·高二校考阶段练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 椭圆中的面积问题】
【例6】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.
【变式6-1】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知点为椭圆上一点，直线l：与椭圆C交于A B两点.
(1)当时，求的面积；
(2)设直线AM和BM分别与直线交于点P，Q，若与的面积满足，求实数t的值.
【变式6-2】（2023春·黑龙江大庆·高二校考期末）已知分别为椭圆的左 右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.
【变式6-3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆方程；
(2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围．
【题型7 椭圆中的定点、定值、定直线问题】
【例7】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知点，在椭圆 上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.
【变式7-1】（2023·江西赣州·统考二模）已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交于、两点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．
【变式7-2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设、是椭圆上关于轴对称的不同两点，在椭圆上，且点异于、两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
【变式7-3】（2023春·上海浦东新·高二校考期末）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.
【知识点4 椭圆中的最值问题】
1．椭圆中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型8 椭圆中的最值问题】
【例8】（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为为垂足，求的最大值.
【变式8-1】（2023春·江西宜春·高二校考期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值.
【变式8-2】（2023·河南洛阳·校考模拟预测）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，左焦点为,点在椭圆上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l与C交于不同于B的M，N两点，且，求的最大值．
【变式8-3】（2023·上海嘉定·校考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和的下顶点为A，直线，点在上.
(1)若，线段的中点在轴上，求的坐标；
(2)若直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为，求；
(3)在椭圆上存在一个点到的距离为，使，当变化时，求的最小值.
专题3.3 直线与椭圆的位置关系【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 点与椭圆的位置关系】 1
【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 3
【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 5
【题型4 椭圆的弦长问题】 8
【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 10
【题型6 椭圆中的面积问题】 12
【题型7 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 17
【题型8 椭圆中的最值问题】 22
【知识点1 点与椭圆的位置关系】
1．点与椭圆的位置关系
(1)点与椭圆的位置关系：
(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点在椭圆外+>1;
点在椭圆内+<1;
点在椭圆上+=1.
【题型1 点与椭圆的位置关系】
【例1】（2022·全国·高二假期作业）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于的点即为答案.
【解答过程】由椭圆方程为，
因为，所以点在椭圆内部，A错误；
因为，所以点在椭圆内部，B错误；
因为，所以点在椭圆外部，C正确；
因为，所以点在椭圆内部，D错误.
故选：C.
【变式1-1】（2023·高二课时练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.
【解答过程】因为点在椭圆的外部，
所以,解得,
故选：B.
【变式1-2】（2023·高二课时练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（ ）
A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关
C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外
【解题思路】将P的坐标代入到椭圆方程的左边，结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系.
【解答过程】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋
＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外．
故选:D.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆关于轴 轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设出椭圆方程，由于不在椭圆的外部，得到，结合，得到，求出离心率的取值范围.
【解答过程】设椭圆的方程为，
因为不在椭圆的外部，
所以，因为，
所以，化简得：，
同除以得：，结合，
解得：，
故.
故选：B.
【知识点2 直线与椭圆的位置关系】
1．直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.
(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：
>0直线与椭圆相交有两个公共点;
=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;
<0直线与椭圆相离无公共点.
【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】
【例2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【解题思路】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系.
【解答过程】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.
故选：C.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【解题思路】求出直线所过的定点，证明该定点在椭圆内部即可得出结论.
【解答过程】解：由直线l：，得直线l过定点，
因为，所以该点在曲线C：内部.
所以直线l与曲线C相交.
故选：C.
【变式2-2】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．2个 B．至少一个 C．1个 D．0个
【解题思路】根据直线与圆的位置关系，求得点的轨迹范围所以，再利用其轨迹与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系.
【解答过程】直线和圆没有交点，直线与圆相离，圆心，半径
，即
点在以原点为圆心，半径为2的圆内，
又椭圆短轴长为4，圆=2内切于椭圆，点在椭圆内，
则过点的直线与椭圆的交点个数为2个.
故选：A.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离
B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切
C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交
D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定
【解题思路】考虑和两种情况，联立方程，得到，根据点与椭圆的关系依次验证直线和椭圆的关系得到答案.
【解答过程】当，则，则直线，
①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交；
②若点A在椭圆C上，则，则，直线l与椭圆C相切；
③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离；
当时，联立方程，消去y得：
，
所以，
①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交；
②若点A在椭圆C上，则手，则，直线l与椭圆C相切；
③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离；
若点A在直线l上，则满足，即点A在椭圆C上，由以上讨论可知直线l与椭圆C相切，D错误.
综上所述：B正确；
故选：B.
【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】
【例3】（2023·全国·高三对口高考）若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析可知，将直线方程与椭圆方程联立，由可求得实数的值.
【解答过程】因为方程表示的曲线为椭圆，则，
将直线的方程与椭圆的方程联立，，可得，
则，解得.
故选：C.
【变式3-1】（2023秋·高二单元测试）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题得直线所过定点在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在轴上即可.
【解答过程】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点，
则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或，
又表示焦点在轴上的椭圆，故，，
故选：C.
【变式3-2】（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）若方程有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意画出椭圆的部分，利用数形结合求出直线与椭圆相切时的值，再求出直线过椭圆右端点时的值，即可得到得范围.
【解答过程】设，，两边同平方得，化简得（），
则其所表示的图形为椭圆在x轴及上方部分，
则题目转化为直线与上述图形有交点，
设椭圆的右端点为，易得其坐标为，
当直线与半椭圆相切时，显然由图得，
联立，得，
则
化简得，解得或（舍），
当直线经过点时，得，解得，
则，
故选：B.
【变式3-3】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，设，由条件联立直线与椭圆方程，得到点的轨迹是圆，从而得到结果.
【解答过程】当椭圆的切线斜率存在时，设，且过与椭圆相切的直线方程为：，
联立直线与椭圆方程，
消去可得，
所以，
即，
设为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以，
所以，即，所以，
当椭圆的切线斜率不存在时，此时，，也满足上式，
所以，其轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又因为A为椭圆上顶点，所以，
当点位于圆的上顶点时，，
当点位于圆的下顶点时，，
所以，
故选:D.
【知识点3 弦长与“中点弦问题”】
1．弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，
则或.
2．“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根
与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系.
设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
设线段AB的中点为，当时，有+=0.
因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标
为，则弦AB所在直线的斜率为，即.
【题型4 椭圆的弦长问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意求得直线l的方程，设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得出答案.
【解答过程】由椭圆知，，所以，
所以右焦点坐标为，则直线的方程为，
设，
联立，消y得，，
则，
所以.
即弦AB长为.
故选：C.
【变式4-1】（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（ ）
A．±1 B．±
C． D．±
【解题思路】联立方程，写出关于交点坐标的韦达定理，用两点的距离公式解出m即可.
【解答过程】由，消去y并整理，
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．
设，
则，．
由题意，得，
解得．
故选:A.
【变式4-2】（2023·全国·高三对口高考）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可.
【解答过程】左焦点为，若直线垂直x轴，则直线为，
代入椭圆方程得，可得，此时通径长，
所以，由椭圆性质知：的直线有仅只有一条.
故选：B.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】设直线方程与椭圆方程联立，求得弦长，即可得到最大值.
【解答过程】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为，
由消去y得，
则，.
∴
，
∴当时，取得最大值，
故选:D.
【题型5 椭圆的“中点弦”问题】
【例5】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）若椭圆的弦AB被点平分.则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】采用点差法，设，联立方程即可求解.
【解答过程】设，则满足，
两式作差得，即，
又被点平分，故，且直线的斜率存在，
所以，整理得，即，
则所在直线方程为，
化简得.
故选：A.
【变式5-1】（2023春·陕西汉中·高二校联考期中）已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【解题思路】设出A，B坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到l的斜率与线段AB中点坐标的关系，由此求解出直线l的斜率.
【解答过程】设，，因为A，B都在椭圆上，
所以，两式相减，得，
得，
又因为线段AB中点坐标为，，，
所以，
故选：D.
【变式5-2】（2023春·湖北荆州·高二校考阶段练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用点差法求解得，再根据点斜式求解即可得答案.
【解答过程】设，则
所以，整理得，
因为为弦的中点，
所以，
所以，
所以弦所在直线的方程为，即.
故选：A.
【变式5-3】（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，利用点差法可得的关系，从而可求得，即可的解.
【解答过程】设，则，
由已知有，，
作差得，
则，
所以，解得，
则的方程为.
故选：D．
【题型6 椭圆中的面积问题】
【例6】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.
【解题思路】（1）由椭圆的定义求出的值，结合的值可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，写出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点、的纵坐标，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【解答过程】（1）解：由椭圆的定义可得，
所以，，又因为，则，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：设点、，由题意可知，直线的方程为，即.
联立可得，解得，，

所以，.
【变式6-1】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知点为椭圆上一点，直线l：与椭圆C交于A B两点.
(1)当时，求的面积；
(2)设直线AM和BM分别与直线交于点P，Q，若与的面积满足，求实数t的值.
【解题思路】（1）先求出椭圆方程，设，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，求出点到直线的距离，即可的解；
（2）设，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，求出点到直线的距离，即可求得，求出的方程，令可得点的坐标，从而可求出，再根据即可得解.
【解答过程】（1）将代入，得，解得，
所以椭圆，
联立，得，设，
则，
则，
点到直线的距离为，
故的面积；
（2）设，
联立得，
恒成立，
则，
则，
点到直线的距离，
则，
直线的方程为，
令，则，
即，
同理，
因为，
所以，
因为，所以，
化简得，解得.
【变式6-2】（2023春·黑龙江大庆·高二校考期末）已知分别为椭圆的左 右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.
【解题思路】（1）设，由题的周长为，据此可得答案；
（2）先讨论两直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积；再讨论两直线的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得与，从而得到得关于的关系式，由此得解.
【解答过程】（1）设，由椭圆的定义可知的周长为，所以，所以离心率.
（2）由（1）可知，又，所以，
所以椭圆的方程为.
①当直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积.
②当直线的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，由，可得，.所以.
所以.
设的方程为，同理可得.
所以四边形的面积
，
因为，当且仅当时取等号.所以，即此时.
由①②可知，四边形面积的范围为.
【变式6-3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆方程；
(2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围．
【解题思路】（1）由离心率为，且经过点可得答案；
（2）设，令可得坐标，代入椭圆方程得，设，可得坐标，代入椭圆方程得，利用及的取值范围可得答案．
【解答过程】（1）由离心率为，且经过点可得，又，
解得，所以椭圆 ；
（2）设，则，，
令，，
可得，
代入，得，
又，得，
设，，
可得，
代入，得，
又，得，
∵，∴，
∵，，∴．
【题型7 椭圆中的定点、定值、定直线问题】
【例7】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知点，在椭圆 上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.
【解题思路】（1）根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；（2）设出方程，结合韦达定理和是中点的条件，找到直线中两个参数的关系，从而求出定点.
【解答过程】（1）由题知，又椭圆经过，代入可得，解得，
故椭圆的方程为：
（2）
由题意知，当轴时，不符合题意，故的斜率存在，设的方程为，
联立消去得，
则，
即
设 ，，，
的方程为，令得，
的方程为，令得，
由是中点，得，即，
即，
即，
即，所以 ，
得或，
当，此时由，得，符合题意；
当，此时直线经过点，与题意不符，舍去.
所以的方程为，即，
所以过定点.
【变式7-1】（2023·江西赣州·统考二模）已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交于、两点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．
【解题思路】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）设点、、，记，则且，可知，，利用平面向量的坐标运算结合点差法求出点的轨迹方程，即可证得结论成立.
【解答过程】（1）解：由题意可得，解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：设点、、，
因为，记，则且，
又因为点在椭圆外，且、、、四点共线，所以，，，
所以，，，
所以，，，
所以，，，
又因为，则，作差可得，
即，
即，即，
故点总在定直线上.
【变式7-2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设、是椭圆上关于轴对称的不同两点，在椭圆上，且点异于、两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
【解题思路】（1）求出椭圆上任意一点到其焦点距离的最大值，结合离心率可得出、的值，进而求出的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设点，，，，，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出，同理可得出的另外一个表达式，利用等量关系可得出关于、的等式，讨论、两种情形，可求出的定值.
【解答过程】（1）解：设点为椭圆上任意一点，其中，易知点，
，
所以，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，
又因为椭圆的离心率为，
所以，，，则，
因此，椭圆的标准方程为.
（2）解：设点，，，，，
则直线的方程为，直线的方程为，

联立，消去并整理可得，
因为点在椭圆上，则直线与椭圆必有公共点，
所以，，
同理可得
所以，，
所以，，
化简可得，
当时，则，此时，；
当时，、、三点重合，此时，.
综上所述，，即为定值.
【变式7-3】（2023春·上海浦东新·高二校考期末）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.
【解题思路】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程；
（2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值；
（3）根据（1）中的结论，设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上．
【解答过程】（1）依题可得，解得，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，因为直线过点且斜率不为，
所以可设的方程为，代入椭圆方程得，
其判别式，所以，.
两式相除得，即．
因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，
所以，．
从而．
（3）由（1）知，设，则，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，
所以直线与直线的交点的坐标为，
所以点在定直线上.
【知识点4 椭圆中的最值问题】
1．椭圆中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型8 椭圆中的最值问题】
【例8】（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为为垂足，求的最大值.
【解题思路】（1）由点关于直线对称，以及椭圆过点，构造方程解得答案；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用直线与的斜率之积为，整理化简证明直线过定点，进而求出的轨迹是圆，把问题转化为圆上的点到椭圆左顶点距离的最大值问题，使问题得到解决.
【解答过程】（1）设椭圆的中心关于直线的对称点，
则有
椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，
又椭圆过点，可得，解得，
所以椭圆的方程.
（2）设，由题意得直线斜率不为零，设，
由得，即，
所以
由，得，即，
所以，所以
，
所以，化简得，
所以或，
若，则直线过椭圆的左顶点，不适合题意，所以，
所以过定点，因为为垂足，
所以在以为直径的圆上，的中点为，又，
所以，
所以的最大值为，
即的最大值为.
【变式8-1】（2023春·江西宜春·高二校考期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值.
【解题思路】（1）由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，即可求解；
（2）分析出，直线的斜率不存在时，，直线的斜率存在时，可通过设而不求的方法求得，令后可得，根据的范围即可求出的范围，进而可求其最大值.
【解答过程】（1）由题意可知，
所以动点的轨迹是以为焦点且长轴长为4的椭圆，
则，所以，
因此动点的轨迹的方程是.
（2）如图：

不妨设点在轴上方，连接，
因为分别为有中点，所以，
所以，
当直线的斜率不存在时，其方程为，则，，
此时；
当直线的斜率存在时，设其方程为，
设，，显然直线不与轴重合，即，
联立，得，
则，，
所以，
又点到直线的距离，
所以，令，
则，
因为，所以，
所以，所以.
综上，，即的最大值为.
【变式8-2】（2023·河南洛阳·校考模拟预测）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，左焦点为,点在椭圆上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l与C交于不同于B的M，N两点，且，求的最大值．
【解题思路】（1）根据题意列式求出，可得C的方程；
（2）设，，设 ，代入椭圆方程，得，根据求出三角形面积的最大值，再根据可求出的最大值．
【解答过程】（1）依题意得，解得，，
所以C的方程为.
（2）由题意知，直线l的斜率不为0，
则不妨设直线l的方程为，
联立，消去得，
，化简整理得，
设，，则，，
因为，所以，
因为，所以，，
得，
将，代入上式得，
得，整理得，
解得或（舍去）．
所以直线l的方程为，则直线l恒过点，
所以
，
设，则，，
易知在上单调递增，
所以时，取得最大值，
又，
所以.

【变式8-3】（2023·上海嘉定·校考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和的下顶点为A，直线，点在上.
(1)若，线段的中点在轴上，求的坐标；
(2)若直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为，求；
(3)在椭圆上存在一个点到的距离为，使，当变化时，求的最小值.
【解题思路】（1）由题意及条件先得出椭圆方程，由AM的中点在轴上先得出M纵坐标，再代入直线方程即可求得M；
（2）分类讨论中哪个内角余弦值为，分别解三角形求得对应的值即可；
（3）根据点到直线的距离公式化简得出
，再根据三角函数的有界性得出
，解不等式求出的取值范围即可求得的最小值.
【解答过程】（1）由题意可得，
的中点在轴上，则由中点坐标公式可知：A、M的纵坐标之和为0，
的纵坐标为，代入得：.
（2）
由直线方程可知，由直线方程可知，故有如下两种情况：
①若，则，，即，
.
②若，则，
，
.
即，
综上或.
（3）设，则由题意得，
显然椭圆在直线的左下方，则，
即，
，
据此可得，
整理可得，即1 ，
又
从而.即的最小值为.

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