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专题3.4 双曲线的标准方程和性质【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 曲线方程与双曲线】 1
【题型2 利用双曲线的定义解题】 2
【题型3 双曲线的标准方程的求解】 3
【题型4 求双曲线的轨迹方程】 3
【题型5 利用双曲线的几何性质求标准方程】 5
【题型6 双曲线的渐近线方程】 6
【题型7 求双曲线的离心率的值或取值范围】 6
【题型8 双曲线中的最值问题】 7
【题型9 双曲线的实际应用问题】 7
【知识点1 双曲线的标准方程】
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
【题型1 曲线方程与双曲线】
【例1】（2023·高二课时练习）当时，方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）“”是“为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线可以表示圆
B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
【变式1-3】（2022·高二课时练习）已知，当为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在轴上的双曲线；
(3)表示焦点在轴上的双曲线．
【题型2 利用双曲线的定义解题】
【例2】（2023秋·江苏常州·高二校考期末）双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ）
A． B． C．或 D．
【变式2-1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．7 B．9 C．1或9 D．3或7
【变式2-2】（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式2-3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B．15 C．12 D．30
【题型3 双曲线的标准方程的求解】
【例3】（2023秋·天津河西·高二统考期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 求双曲线的轨迹方程】
【例4】（2022·四川·高三统考对口高考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022·高二课时练习）动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2023秋·安徽安庆·高二校考期末）已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【知识点2 双曲线的简单几何性质】
1．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
图形
标准方程
范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程
2．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
3．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型5 利用双曲线的几何性质求标准方程】
【例5】（2023·河南·校联考模拟预测）若双曲线C：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C上，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·四川成都·三模）已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 双曲线的渐近线方程】
【例6】（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线经过点，则其渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023·河南开封·统考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，则双曲线的渐近线方程式为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，右支上一点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【例7】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式7-1】（2023春·四川凉山·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式7-2】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知为双曲线的右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于、两点，若在双曲线左支上存在点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·安徽合肥·校考模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 双曲线中的最值问题】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为4 B．的最大值为2
C．的最小值为 D．的最小值为
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
【题型9 双曲线的实际应用问题】
【例9】（2023春·河南商丘·高二开学考试）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米 B．米 C．米 D．米
【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m
C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m
【变式9-2】（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（，A，B在同一直线上），满足，则该双曲线的离心率的平方为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2023·江西鹰潭·统考一模）打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，高为，则喉部（最细处）的直径为（ ）
A． B． C． D．
专题3.4 双曲线的标准方程和性质【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 曲线方程与双曲线】 1
【题型2 利用双曲线的定义解题】 3
【题型3 双曲线的标准方程的求解】 5
【题型4 求双曲线的轨迹方程】 7
【题型5 利用双曲线的几何性质求标准方程】 10
【题型6 双曲线的渐近线方程】 12
【题型7 求双曲线的离心率的值或取值范围】 14
【题型8 双曲线中的最值问题】 16
【题型9 双曲线的实际应用问题】 18
【知识点1 双曲线的标准方程】
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
【题型1 曲线方程与双曲线】
【例1】（2023·高二课时练习）当时，方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
【解题思路】化简方程，然后判断表示的曲线即可．
【解答过程】当ab＜0时，方程化简得，
∴方程表示双曲线．焦点坐标在y轴上；
故选：D．
【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）“”是“为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.
【解答过程】因为方程表示双曲线，所以，
又当时，方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.
故选：C.
【变式1-2】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线可以表示圆
B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
【解题思路】由椭圆、双曲线、圆的方程定义列式求解判断.
【解答过程】对A，若曲线表示圆，则有，无解，A错；
对BC，若曲线表示椭圆，则有，此时，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，C对B错；
对D，若曲线表示双曲线，则有，此时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，D对.
故选：CD.
【变式1-3】（2022·高二课时练习）已知，当为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在轴上的双曲线；
(3)表示焦点在轴上的双曲线．
【解题思路】根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可．
【解答过程】（1）因为，即，方程表示双曲线，
所以，解得或；
所以或；
（2）因为，即，焦点在轴上的双曲线，
则，解得，
所以；
（3）因为1，即，焦点在y轴上的双曲线，
则，解得，
所以.
【题型2 利用双曲线的定义解题】
【例2】（2023秋·江苏常州·高二校考期末）双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ）
A． B． C．或 D．
【解题思路】根据双曲线的定义即可求解.
【解答过程】由双曲线方程可得：，，设双曲线的左右焦点分别为，则，
若点在双曲线的左支上，则由双曲线的定义可知：，
所以；
若点在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可知：，
所以，因为，所以此时不成立，
综上：到右焦点的距离为，
故选：.
【变式2-1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．7 B．9 C．1或9 D．3或7
【解题思路】由渐近线方程可得，则，后由双曲线定义可得答案.
【解答过程】由，可得，则.
又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得.
故选：B.
【变式2-2】（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解题思路】结合双曲线的定义来解决即可.
【解答过程】双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得
所以，
则三角形的周长为.
故选：B.
【变式2-3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B．15 C．12 D．30
【解题思路】利用双曲线定义求出的三边长度，根据余弦定理求出三角形的夹角，最后通过三角形正弦定理面积公式求出面积.
【解答过程】，根据双曲线定义：，
，，，
根据余弦定理：，
则，.
故选：A.
【题型3 双曲线的标准方程的求解】
【例3】（2023秋·天津河西·高二统考期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意列式求解，即可得结果.
【解答过程】∵双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且，
由题意可得，解得，
∴双曲线的方程为.
故选：A.
【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.
【解答过程】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，
由双曲线的定义可得，
，，，
因此，双曲线的方程为.
故选：C.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据双曲线的定义求得正确答案.
【解答过程】依题意，，
所以，
由于双曲线的焦点在轴上，
所以双曲线的标准方程是.
故选：D.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】在和分别利用余弦定理得，再在利用余弦定理，消去，根据均值不等式求面积最大时的关系，结合双曲线的性质即可求解.
【解答过程】如图所示
设，，，，则，，
在中由余弦定理得①，
在中由余弦定理得②，
得③，
在中由余弦定理得④，
③④联立消去得，
因为，当面积最大时即最大，
由均值不等式可得，
当且仅当即时等号成立，取得最大值，
此时由④解得，所以，
所以，即为直角三角形，且，
所以在中，解得，
由双曲线的性质可得，解得，
所以双曲线的方程为，
故选：C.
【题型4 求双曲线的轨迹方程】
【例4】（2022·四川·高三统考对口高考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用双曲线的定义求出轨迹方程作答.
【解答过程】点，，令为轨迹上任意点，则有，
因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，
即双曲线的实半轴长，而半焦距，则虚半轴长，
所以所求轨迹方程为.
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由双曲线的定义即可求解.
【解答过程】解：由题意，因为，
所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，
故选：C.
【变式4-2】（2022·高二课时练习）动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据圆与圆的位置关系，进而结合双曲线的定义即可求得答案.
【解答过程】设动圆M的半径为r，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为动圆M与圆和圆均外切，所以，，所以，所以点M的轨迹是以点，为焦点的双曲线的右支．，，，所以.所以动圆圆心M的轨迹方程为．
故选：A．
【变式4-3】（2023秋·安徽安庆·高二校考期末）已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由是圆上任意一点,可得，为的中点可求，结合垂直平分线的性质可得，从而可得为定值，由双曲线的定义即可得结果.
【解答过程】如图，当点在轴左侧时，连接，，则，所以．
结合为线段的垂直平分线，可得，
所以．
同理，当点在轴右侧时，．
故点的轨迹是双曲线，其方程为．
故选：B.
【知识点2 双曲线的简单几何性质】
1．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
图形
标准方程
范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程
2．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
3．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型5 利用双曲线的几何性质求标准方程】
【例5】（2023·河南·校联考模拟预测）若双曲线C：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C上，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据双曲线一条渐近线的斜率可得，将点的坐标代入方程，即可求得答案.
【解答过程】由题意可得，所以，
把点的坐标代入方程，得，
所以，
则C的标准方程为，
故选：A.
【变式5-1】（2023·四川成都·三模）已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先利用共渐近线方程的设法设出双曲线的方程，再代入点，即可求解.
【解答过程】由题意设双曲线的标准方程为，代入点，
得，得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A.
【变式5-2】（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由椭圆方程可确定焦点在轴上且离心率，从而得双曲线的焦点也在轴上，离心率，再结合离心率公式及所求双曲线的虚轴长为，即可求得双曲线的方程.
【解答过程】解：因为椭圆的焦点在轴上，离心率，
所以所求双曲线的焦点也在轴上，离心率，
即，所以，
又因为双曲线的虚轴长为，
即，所以，
即，
所以，
所以所求双曲线的方程为：.
故选：C.
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据离心率求出，得渐近线方程为，设直线的倾斜角为，则，求出，利用面积求出即可得解.
【解答过程】因为双曲线的离心率为，所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为，
设直线的倾斜角为，则，
由对称性不妨令点A，B分别在第一、四象限，坐标原点为O，则，
于是得，
而双曲线的虚半轴长为b，即，
显然四边形为矩形，其面积，得，所以，
所以双曲线的方程为．
故选：B．
【题型6 双曲线的渐近线方程】
【例6】（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线经过点，则其渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先应用双曲线经过点求出，再根据双曲线几何性质渐近线方程解决即可.
【解答过程】由题知双曲线经过点，所以，
所以，双曲线焦点在轴上，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：A.
【变式6-1】（2023·河南开封·统考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，则双曲线的渐近线方程式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由双曲线的定义与性质计算即可.
【解答过程】由题意可得，故由题意可得，
渐近线方程为.
故选：D.
【变式6-2】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】设渐近线l的方程，由两直线垂直的条件可得直线的方程，联立两直线方程求得A的坐标，再由向量共线的坐标表示可得P的坐标，代入双曲线的方程，化简整理可得所求直线的斜率．
【解答过程】解：设，渐近线l的方程为，①
直线的方程为，②
联立①②可得，，
即有，
由，可得，，
解得，，即，
由P在双曲线上，可得，
化为，即，
可得，
所以直线l的斜率为．
故选：D．
【变式6-3】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，右支上一点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求得双曲线的渐近线方程，求得点到双曲线的两条渐近线的距离，根据题意化简得到，结合，求得，即可求解.
【解答过程】设，则，即，
渐近线方程为，即，
则点到双曲线的两条渐近线的距离分别为：，
因为，则，
可得，即，
又由，可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D．
【题型7 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【例7】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
【解题思路】把双曲线方程化成标准形式，求出m即可求出离心率作答.
【解答过程】双曲线化为：，依题意，，解得，
因此双曲线的实半轴长为1，所以双曲线的离心率为2.
故选：C.
【变式7-1】（2023春·四川凉山·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】根据渐近线方程可得，再由可求得结果.
【解答过程】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故选：B.
【变式7-2】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知为双曲线的右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于、两点，若在双曲线左支上存在点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出点、的坐标，设点，其中，可得出，由已知可得出，可得出，整理可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围.
【解答过程】将代入双曲线的方程可得，可得，
不妨取点、，设点，其中，且，
，，
因为，所以
，
因为，则，所以，，
可得，即，
整理可得，因为，解得.
故选：D.
【变式7-3】（2023·安徽合肥·校考模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先表示出直线的方程，利用距离公式表示出，，依题意可得，再根据、、的关系得到关于的不等式，解得即可.
【解答过程】依题意直线：，即，又，
所以，，
所以，所以，
即，即，解得，
又，所以.
故选：B.
【题型8 双曲线中的最值问题】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【解题思路】由双曲线定义等于到右焦点的距离 ，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论．
【解答过程】记双曲线的右焦点为，所以 ，
当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．
故选：C．
【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值.
【解答过程】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
【变式8-2】（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为4 B．的最大值为2
C．的最小值为 D．的最小值为
【解题思路】设出点的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可.
【解答过程】根据题意，的坐标为，设点的坐标为，则，
故，
又，故 ，
又，故当时，取得最小值，且其没有最大值，
故的最小值为，无最大值.
故选：D.
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
【解题思路】设且，应用两点距离公式及P在双曲线上，结合基本不等式求的范围，注意等号成立条件，进而可求目标式的最小值.
【解答过程】令且，则，而，
所以，令，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以，即最小值为23.
故选：B.
【题型9 双曲线的实际应用问题】
【例9】（2023春·河南商丘·高二开学考试）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米 B．米 C．米 D．米
【解题思路】将代入双曲线得到，当得到，得到答案.
【解答过程】根据题意：，，故，解得，即，
当水面宽度为米时，即时，，
拱顶M到水面的距离为.
故选：D.
【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m
C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m
【解题思路】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.
【解答过程】如图，

以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则
设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故，
由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上，
依题意得
故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即
故 .
故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处．
故选：A.
【变式9-2】（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（，A，B在同一直线上），满足，则该双曲线的离心率的平方为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，根据题意可得，由双曲线定义得、，进而求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【解答过程】易知共线，共线，如图，设，
则.因为，所以，
则，则，
又因为，所以，则,
在中，，即，
所以.
故选：D.
【变式9-3】（2023·江西鹰潭·统考一模）打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，高为，则喉部（最细处）的直径为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】画出塔筒的轴截面；以为喉部对应点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系；设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标；把点的坐标代入双曲线方程即可求出答案.
【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以为喉部对应点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点.
由题意可知，设，则，
设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以.
所以方程可化简为，
将和的坐标代入式可得，解得，
则喉部的直径为.
故选：D.

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