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专题3.5 直线与双曲线的位置关系【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 2
【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 2
【题型3 双曲线的弦长问题】 3
【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 4
【题型5 双曲线中的面积问题】 4
【题型6 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 6
【题型7 双曲线中的最值问题】 7
【知识点1 直线与双曲线的位置关系】
1．直线与双曲线的位置关系
(1)研究直线与双曲线的位置关系：
一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.
①代入②得.
当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.
当0，即时，=.
>0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交；
=0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切；
<0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.
(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：
①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件；
②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件；
③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件.
【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】
【例1】（2022·全国·高二专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【变式1-1】（2023·高二课时练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【变式1-2】（2023·高二课时练习）过点P（4，4）且与双曲线只有一个交点的直线有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式1-3】（2022·高二课时练习）直线与双曲线的交点情况是（ ）
A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点
C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点
【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．
【变式2-2】（2023·河南·统考模拟预测）若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023·高二课时练习）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【知识点2 弦长与“中点弦问题”】
1．弦长问题
①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.
②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
④双曲线的通径：
过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还
是在y轴上，双曲线的通径总等于.
2．“中点弦问题”
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
3．双曲线的第二定义
平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.
【题型3 双曲线的弦长问题】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
【变式3-1】（2022·全国·高二假期作业）过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于，两点，若，则这样的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【变式3-2】（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（ ）
A． B． C．10 D．
【变式3-3】（2022·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【题型4 双曲线的“中点弦”问题】
【例4】（2023·高二课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．该直线不存在
【题型5 双曲线中的面积问题】
【例5】（2023秋·全国·高二期中）设，为双曲线上的两点，中点为，求
(1)直线的方程；
(2)的面积为坐标原点）．
【变式5-1】（2023·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．
(1)求E的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
【变式5-2】（2023·湖南邵阳·邵阳市校考模拟预测）已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，，已知，的斜率之比为.

(1)求双曲线的方程；
(2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
(3)设和的面积分别为和，求的取值范围.
参考结论：点为双曲线上一点，则过点的双曲线的切线方程为.
【变式5-3】（2023春·浙江衢州·高二统考期末）已知双曲线，过点作直线交双曲线的两支分别于，两点，
(1)若点恰为的中点，求直线的斜率；
(2)记双曲线的右焦点为，直线，分别交双曲线于，两点，求的取值范围.
【题型6 双曲线中的定点、定值、定直线问题】
【例6】（2023·河北张家口·统考三模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【变式6-1】（2023·广东茂名·茂名市校考三模）已知双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【变式6-2】（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为．
(1)求双曲线的方程：
(2)当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程．
【变式6-3】（2023春·重庆渝中·高二校考期末）已知双曲线C： 的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为（与B不重合），连接并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【知识点3 双曲线中的最值问题】
1．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型7 双曲线中的最值问题】
【例7】（2023·山东淄博·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值.
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率．
(1)求的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值．
【变式7-2】（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值．
【变式7-3】（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知双曲线过点，左 右顶点分别是，右焦点到渐近线的距离为，动直线与以为直径的圆相切，且与的左 右两支分别交于两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记直线的斜率分别为，求的最小值.
专题3.5 直线与双曲线的位置关系【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 2
【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 3
【题型3 双曲线的弦长问题】 6
【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 9
【题型5 双曲线中的面积问题】 11
【题型6 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 17
【题型7 双曲线中的最值问题】 22
【知识点1 直线与双曲线的位置关系】
1．直线与双曲线的位置关系
(1)研究直线与双曲线的位置关系：
一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.
①代入②得.
当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.
当0，即时，=.
>0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交；
=0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切；
<0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.
(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：
①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件；
②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件；
③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件.
【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】
【例1】（2022·全国·高二专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案.
【解答过程】由得 整理得，；
所以，故直线和双曲线只有一个交点；
又双曲线的渐近线方程为：
与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.
所以直线和双曲线的位置关系为相交．
故选：B.
【变式1-1】（2023·高二课时练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解题思路】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可.
【解答过程】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足；
必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.
所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件.
故选：B.
【变式1-2】（2023·高二课时练习）过点P（4，4）且与双曲线只有一个交点的直线有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解题思路】把直线与双曲线的位置关系，转化为方程组的解的个数来判断，借助判别式求解，注意分类讨论．
【解答过程】解；双曲线方程为：，
当k不存在时，直线为x＝4，与1的图象有且只有一个公共点，
当k存在时，直线为：y＝k（x﹣4）+4，代入双曲线的方程可得：
，
（1）若＝0，k时，y＝（x﹣4）+4与双曲线的渐近线yx平行，
所以与双曲线只有1个公共点，
（2）k时， ，
即k，此时直线y（x﹣4）+4与双曲线相切，只有1个公共点．
综上过点P（4，4）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．
故选：D.
【变式1-3】（2022·高二课时练习）直线与双曲线的交点情况是（ ）
A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点
C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点
【解题思路】联立方程组得，当时，无解；当时，有一解．
【解答过程】将代入得
当时，无解；
当时，，所以至多有一个交点．
故选：C.
【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【解题思路】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可
【解答过程】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；
由，消去整理得．
①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当即时，由，解得，
此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意，
综上所述：符合题意的的所有取值为或，
故选：D.
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．
【解题思路】已知直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，将直线与双曲线两个方程联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得出结论．
【解答过程】联立，消y得，.
因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
所以方程有一正一负根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范围为.
故选：D．
【变式2-2】（2023·河南·统考模拟预测）若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】依题意作出曲线C的图象，作出直线的图象，平行移动直线，即可得到当直线l介于与之间时，直线l与曲线C有两个公共点，结合图象，即可求出实数m的取值范围．
【解答过程】当时，曲线C的方程为，轨迹为椭圆的右半部分；
当时，曲线C的方程为，轨迹为双曲线的左半部分，其渐近线为，
作出图象如下图，直线l（图中虚线）是与直线平行的直线，平行移动直线，可得直线l，
如图可知，当直线l介于直线和（与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限）之间时，直线l与曲线C有两个公共点．
设的方程为，，则有，
联立，消去x并整理得，
由，解得或（舍），
故m的取值范围为．
故选：B．
【变式2-3】（2023·高二课时练习）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意设直线的方程，与双曲线方程联立消得关于的方程，根据条件得方程有两个不同的正根，结合韦达定理列不等式组，从而可求出的取值范围
【解答过程】由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，
设交点，
联立可得，
由题意可得
解得：，
故选：D．
【知识点2 弦长与“中点弦问题”】
1．弦长问题
①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.
②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
④双曲线的通径：
过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还
是在y轴上，双曲线的通径总等于.
2．“中点弦问题”
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
3．双曲线的第二定义
平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.
【题型3 双曲线的弦长问题】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
【解题思路】解法一，设直线方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，求直线的斜率，并代入弦长公式求；解法二，利用点差法，求直线的斜率，再代入弦长公式.
【解答过程】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故选:D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，　①
.　②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
故选：D.
【变式3-1】（2022·全国·高二假期作业）过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于，两点，若，则这样的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【解题思路】右焦点为，斜率不存在时直线的方程为，代入双曲线方程可得弦长，
斜率不存在时设，设出直线的方程与双曲线方程联立，利用弦长公式求出求出得值即可得出正确答案.
【解答过程】双曲线的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
代入双曲线可得：，即，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：
代入双曲线可得：，
设，则：，，
，
所以
两边平方可得：，解得：，
所以斜率存在且满足条件的直线有条，所以共有条，
故选：C.
【变式3-2】（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（ ）
A． B． C．10 D．
【解题思路】根据渐进线方程得出,再根据焦点得出,结合,可求出双曲线的标准方程,然后根据点斜式得出直线方程,联立方程组求出，,最后由弦长公式即可求出截得的弦长.
【解答过程】∵双曲线：的一条渐近线方程是，
∴，即，∵左焦点，∴
∴，∴，，
∴双曲线方程为，直线的方程为，
设，由，
消可得，∴，，
∴．
故选:C.
【变式3-3】（2022·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【解题思路】由已知条件可得渐近线方程为，双曲线方程，设出直线方程代入双曲线方程中消去，利用根与系数的关系结合弦长公式列方程可求出的值，从而可得渐近线方程与直线方程联立可求出C，D两点的坐标，从而可求出结果
【解答过程】设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以，所以渐近线方程为
所以双曲线方程为，则右焦点，
所以直线方程为，
设，将代入化简得，
，
所以，
所以，
解得，得，
所以双曲线方程为，所以双曲线的右焦点为，
直线方程为，
由，得，
由，得，
所以，
故选：C.
【题型4 双曲线的“中点弦”问题】
【例4】（2023·高二课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【解答过程】设直线交双曲线于点、，则，
由已知得，两式作差得，
所以，，即直线的斜率为，
故直线的斜率为，即.经检验满足题意
故选：B.
【变式4-1】（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
【解题思路】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.
【解答过程】因为双曲线的标准方程为，
所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，
所以双曲线的标准方程为，
设，所以①，②，
①-②得，，
化简得③，
因为线段的中点为，所以，
代入③，整理得，
显然，所以直线的斜率.
故选：B.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先结合已知条件，利用点差法求出直线的斜率，进而得到直线的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.
【解答过程】不妨设，，
从而，，
由两式相减可得，，
又因为线段AB的中点为，从而，，
故，即直线AB的斜率为，
直线AB的方程为：，即，
将代入可得，，
从而，，
故.
故选：C.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．该直线不存在
【解题思路】设，代入双曲线方程作差可得，若是线段的中点，则，则可得直线方程，检验直线方程与双曲线方程交点是否存在，即可确定直线的方程.
【解答过程】解：设，且，代入双曲线方程得，两式相减得：
若是线段的中点，则，所以，即直线的斜率为，
所以直线方程为：，即；
但联立，得，则，方程无解，所以直线不存在.
故选：D.
【题型5 双曲线中的面积问题】
【例5】（2023秋·全国·高二期中）设，为双曲线上的两点，中点为，求
(1)直线的方程；
(2)的面积为坐标原点）．
【解题思路】（1）设点代入方程，相减结合中点坐标公式得到直线斜率，得到直线方程.
（2）联立方程解得交点坐标，计算点到直线的距离和弦长，得到面积.
【解答过程】(1)
设，，，，则，两式相减可得，
，
中点为，，，
，，
直线方程为，即
(2)
可知直线的方程为，代入，整理得，
解得，，，，
，
点到直线的距离，．
【变式5-1】（2023·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．
(1)求E的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
【解题思路】（1）根据题意得到，结合，求得的值即可；
（2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】（1）由题意，得的渐近线方程为，
因为双曲线的渐近线方程为，所以，即，
又因为，所以，则，
故的方程为．
（2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0，
设直线，，其中，
因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以，
将的方程与联立，可得，
设，则，，
所以
，
用替换，可得，
所以．
令，所以，
则，
当，即时，等号成立，
故四边形面积的最小值为．
【变式5-2】（2023·湖南邵阳·邵阳市校考模拟预测）已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，，已知，的斜率之比为.

(1)求双曲线的方程；
(2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
(3)设和的面积分别为和，求的取值范围.
参考结论：点为双曲线上一点，则过点的双曲线的切线方程为.
【解题思路】（1）由条件确定双曲线的焦点位置，设其方程，再列出关于的方程，解方程可得双曲线方程，
（2）设，由条件，的斜率之比为可得，设，，，结合所给结论求切线，方程，由此可得直线的方程，由此判断结论；
（3）先证明，设，结合设而不求法表示，再通过换元，利用函数的单调性求其取值范围.
【解答过程】（1）由已知双曲线为焦点在轴上，中心为原点的双曲线，
设其方程为 ，
因为双曲线的离心率为2，
所以，，
又双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点坐标为，
所以，所以，
双曲线的标准方程为；
（2）知，，设，
所以，，
因为，的斜率之比为，即，
解得，所以点在直线上，
设，，，
则切线方程为：，
则切线方程为：，
因为点既在直线上又在直线上，
即：，，
所以直线的方程为：，化简可得，
所以直线过定点；

（3）由（2）得直线过定点，所以，，，
所以，点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，所以，，
因为，所以，，
若直线的斜率为，则直线与双曲线的左支的交点为与已知矛盾，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
直线与双曲线的交点坐标为，
故切线的方程为，切线的方程为，
此时点的坐标为，与点在第二象限矛盾，
设 ，
将代入双曲线中得
，由已知，
方程的判别式，
所以，，，
由已知，
所以，，
所以，，
化简可得，又，
所以或，
所以的取值范围为
所以
令，则，
所以
函数在上单调递增，
所以，
所以，的取值范围为.
【变式5-3】（2023春·浙江衢州·高二统考期末）已知双曲线，过点作直线交双曲线的两支分别于，两点，
(1)若点恰为的中点，求直线的斜率；
(2)记双曲线的右焦点为，直线，分别交双曲线于，两点，求的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意，设，，再由点差法即可得到结果；
（2）根据题意，设，，，然后联立直线与双曲线方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】（1）由题意可得，设，，
由，得，即，即
其中，，
所以，又，故；
（2）
设，，，
由
得，又，故，
从而，同理有，
另一方面，，
设，由得
，
故，代入上式有
，
由直线交双曲线于两支可知，令，
故，当且仅当时，即时，取等号，
即.
【题型6 双曲线中的定点、定值、定直线问题】
【例6】（2023·河北张家口·统考三模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【解题思路】（1）由点到直线的距离公式求出，再将点代入双曲线方程求出，可得双曲线的标准方程；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得、，再根据斜率和为列式，推出，从而可得直线过定点.
【解答过程】（1）设 到渐近线，即的距离为，
则，结合得，
又在双曲线上，所以，得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）联立，消去并整理得，
则，，即，
设，，
则，，
则
，
所以 ，
所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，
因为直线不过，即，，
所以，即，
所以直线，即过定点.
【变式6-1】（2023·广东茂名·茂名市校考三模）已知双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解题思路】（1）根据题意可得，即可得出答案；
（2）设直线的方程，直线与双曲线的左右两支分别交于点，则，联立直线与双曲线的方程，设，结合韦达定理可得，写出直线的方程，令，解得,即可得出答案．
【解答过程】（1）由双曲线的离心率为2，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程，
因为直线与双曲线的左右两支分别交于点，
则，
联立，得，
设，
则，直线的方程，
令，得
，
所以直线过定点.
【变式6-2】（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为．
(1)求双曲线的方程：
(2)当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程．
【解题思路】（1）根据实轴长度确定a的取值，再根据渐近线夹角确定渐近线斜率，从而确定b的取值，写出解析式；
（2）首先联立直线与双曲线方程，根据韦达定理确定，两点坐标关系，联立方程，再利用点斜式表示出直线，的方程，代入列出等式，代入韦达定理求解出即可,
【解答过程】（1）由题知，得，
或，得或，
所以双曲线的方程为：或：．
（2）由（1）知，当时，：，
设，，
联立直线与双曲线得：，
，方程的两根为，，则，．
，，则：，：，
因为直线，相交于点，
故，，
消去，整理得：，
，
因此，
故点在定直线上．
【变式6-3】（2023春·重庆渝中·高二校考期末）已知双曲线C： 的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为（与B不重合），连接并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【解题思路】（1）根据双曲线方程设，，根据重心坐标公式求出，代入原方程即可得到的值，则得到双曲线方程；
（2）设的方程为，，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，写出直线的方程，令，解出，将韦达定理式代入整理得，则得到定值.
【解答过程】（1）因为双曲线的渐近线方程为，
故可设双曲线的方程为，
设，因为的重心点的坐标为，
所以，解得，所以，则代入得，
所以双曲线的标准方程为
（2）由题意知直线的斜率必存在，设的方程为，
，则，联立，
化简得，
则，且，
由韦达定理得
，，
则直线的方程为：，
令，则
，故.
【知识点3 双曲线中的最值问题】
1．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型7 双曲线中的最值问题】
【例7】（2023·山东淄博·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值.
【解题思路】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，则利用点A到渐近线的距离为列方程组求解；
（2）方法①设点，写出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理把，表示为点的纵坐标的函数进行求解；方法②设直线的斜率为k，利用角平分线的向量表示，韦达定理，弦长公式，参数间的转化，最终把表示为关于k的函数进行求解.
【解答过程】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，
所以点A到渐近线的距离为
所以，解得，
所以双曲线标准方程是：
（2）方法①：由双曲线的光学性质，可知点Q处的切线即为的角平分线.
设点，，则
设直线的方程是：，
由得：，
，解得：，
，
，，，，即直线：，
即：
由点到直线的距离公式得：
直线方程：，即：
由，得：
所以，由都在双曲线右支上，得：
所以
所以
所以，令，则
当，即时，的最大值为.
方法②：如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设，则.
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为k，
记，又为的平分线，则.
因为，，所以，
同理，又，
代入，得，
化简得.又，，所以，
由，，得，，
所以，.
所以直线的方程为，，
由点到直线的距离公式得：，
又直线MN的斜率为，且过点M，所以直线的方程为：
，
将其与联立得.
设，则，.
易知点N在第四象限，所以，得：，
.
故，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当且仅当时， 的最大值为.
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率．
(1)求的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值．
【解题思路】（1）根据题意列式求解即可；
（2）设直线的方程及交点坐标，利用韦达定理求的坐标，进而可得，结合基本不等式分析运算即可.
【解答过程】（1）因为双曲线的实轴长为2，则，
由双曲线过点，且，则，
即，解得，
故双曲线的标准方程为．
（2）设直线，，，
由题意可知，
联立方程，整理得，
由题意可得，解得或，
则，．
可得，，
则，所以．
因为，则，整理得，
则，
即，则．
所以，即．
∴，当且仅当，即或时，等号成立，
此时或，均满足与的左、右两支分别相交．
∴的最小值为6．
【变式7-2】（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值．
【解题思路】（1）利用双曲线的标准方程与性质即可求解.
（2）通过直线与双曲线的位置关系，利用韦达定理，代入，求解双曲线中的最值问题．
【解答过程】（1）由双曲线E的离心率为2，得 ①．
因为双曲线E过点，所以 ②．
又③，
联立①②③式，解得，．
故双曲线E的标准方程为．
（2）由双曲线的对称性，知四边形ABCD为平行四边形，所以．
由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为．
联立消去x，得．
，设，，则，．
因为A，D均在双曲线右支，所以
所以解得．
所以，
．
令，则．
所以．
令函数，易得在区间上单调递减，
所以当时，．
所以四边形ABCD面积的最小值为24．
【变式7-3】（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知双曲线过点，左 右顶点分别是，右焦点到渐近线的距离为，动直线与以为直径的圆相切，且与的左 右两支分别交于两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记直线的斜率分别为，求的最小值.
【解题思路】（1）由点在双曲线上，以及焦点到渐近线的距离得出双曲线C的方程；
（2）由直线与圆的位置关系得出，联立直线和双曲线方程，由韦达定理、斜率公式得出，结合得出的最小值.
【解答过程】（1）因为点在双曲线上，故，即，
而双曲线的渐近线方程为，到一条渐近线的距离为，
所以，解得，又，
所以，故所求双曲线的方程为；
（2）因为双曲线的方程为，
所以，故以为直径的圆为
，而直线是其切线，所以应满足，得，
而坐标满足，消去得，
求得，而，故，由此可得（*），
由于分别在的左 右两支，故，因此，
所以，将代入整理得，
又，故，显然，
由题意得，故，
所以，
将及代入，求得，而，
故，
又，故，
即.

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