资源简介

专题3.6 抛物线的标准方程和性质【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 动点的轨迹问题】 2
【题型2 利用抛物线的定义解题】 2
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 3
【题型4 求抛物线的标准方程】 3
【题型5 根据抛物线的方程求参数】 4
【题型6 抛物线的对称性的应用】 5
【题型7 与抛物线有关的最值问题】 6
【题型8 与抛物线有关的实际应用问题】 6
【知识点1 抛物线的标准方程】
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
【题型1 动点的轨迹问题】
【例1】（2023春·陕西安康·高二校联考期末）动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是（ ）.
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
【变式1-1】（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）动点满足方程，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 利用抛物线的定义解题】
【例2】（2023春·四川资阳·高二统考期末）抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【变式2-1】（2023春·江苏盐城·高二统考期末）若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【变式2-2】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-3】（2023春·河南信阳·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为的平分线，则等于（ ）
A． B．8 C．10 D．
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2023春·陕西西安·高一校考期末）已知为抛物线上一点，则的焦点坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知点在圆上，其横坐标为，抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 求抛物线的标准方程】
【例4】（2023·全国·高二专题练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式4-1】（2023春·四川眉山·高二校考开学考试）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 根据抛物线的方程求参数】
【例5】（2023秋·高二单元测试）抛物线的准线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
【变式5-2】（2023春·北京·高三校考阶段练习）为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则（ ）
A．2 B．4 C．或 D．或
【变式5-3】（2022·江西·校联考二模）已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若，，则p＝（ ）
A．2 B．4
C．2或 D．2或
【知识点2 抛物线的简单几何性质】
1．抛物线的几何性质
抛物线的简单几何性质：
标准
方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
顶点 (0,0) (0,0)
轴 对称轴y=0 对称轴x=0
焦点
准线
离心率 e =1 e=1
开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下
焦半径
范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是01，抛物线的离心率是
e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
3．与抛物线有关的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.
【题型6 抛物线的对称性的应用】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式6-2】（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2020·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 与抛物线有关的最值问题】
【例7】（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．2 D．3
【变式7-1】（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
【变式7-2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【变式7-3】（2023·河北沧州·统考三模）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 与抛物线有关的实际应用问题】
【例8】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；
(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）．
【变式8-1】（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.
(1)求航天器变轨时点的坐标；
(2)求航天器降落点与观测点A之间的距离.
【变式8-2】（2023秋·河南周口·高二统考期末）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m．
（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少 （精确到0.1m）
【变式8-3】（2023春·上海浦东新·高二校考期中）如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
专题3.6 抛物线的标准方程和性质【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 动点的轨迹问题】 2
【题型2 利用抛物线的定义解题】 3
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 5
【题型4 求抛物线的标准方程】 6
【题型5 根据抛物线的方程求参数】 8
【题型6 抛物线的对称性的应用】 11
【题型7 与抛物线有关的最值问题】 13
【题型8 与抛物线有关的实际应用问题】 16
【知识点1 抛物线的标准方程】
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
【题型1 动点的轨迹问题】
【例1】（2023春·陕西安康·高二校联考期末）动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是（ ）.
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
【解题思路】根据抛物线的定义即可判断.
【解答过程】解：∵动点到点的距离比它到直线的距离大1，
∴动点到点的距离等于它到直线的距离，
∴由抛物线的定义知：该动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线.
故选：D.
【变式1-1】（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）动点满足方程，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【解题思路】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.
【解答过程】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.
故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.
【解答过程】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【解答过程】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A.
【题型2 利用抛物线的定义解题】
【例2】（2023春·四川资阳·高二统考期末）抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【解题思路】根据条件求出的值，从而得出抛物线的方程，进而可求出结果.
【解答过程】因为抛物线：过点，所以，故抛物线：，
所以的焦点到准线的距离为.
故选：B.
【变式2-1】（2023春·江苏盐城·高二统考期末）若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【解题思路】求得点的坐标，将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可．
【解答过程】设点，，
，
或（舍去），
，
到抛物线的准线的距离，
点到该抛物线焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离，
点到该抛物线焦点的距离为．
故选：C.
【变式2-2】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】根据题意转化为点到准线的距离为，结合抛物线的定义，即可求解.
【解答过程】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，
因为点在上，且到直线的距离为，
可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，
所以.
故选：B.
【变式2-3】（2023春·河南信阳·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为的平分线，则等于（ ）
A． B．8 C．10 D．
【解题思路】由题意可得，，从而可求．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则．根据抛物线的定义，结合角平分线的性质及相似三角形的性质即可求解.
【解答过程】，，所以．
过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则．
因为FB为的平分线．则，又，∴，又，∴．
∴．
故选：D．
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2023春·陕西西安·高一校考期末）已知为抛物线上一点，则的焦点坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，进而可求得抛物线的焦点坐标.
【解答过程】将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得，
所以，抛物线的方程为，其焦点坐标为.
故选：D.
【变式3-1】（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据抛物线的标准方程和几何性质，即可求解.
【解答过程】由抛物线，可得，所以，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为
所以该抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C.
【变式3-2】（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据两个抛物线的对称性，即可求抛物线的准线方程.
【解答过程】抛物线的准线方程为，因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以两个抛物线的准线也关于轴对称，所以的准线方程是.
故选：D.
【变式3-3】（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知点在圆上，其横坐标为，抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合圆的方程可求得点坐标，代入抛物线方程可确定的值，进而确定准线方程.
【解答过程】将代入圆方程得：，解得：，或，
在抛物线上，或，
解得：（舍）或，抛物线方程为，
抛物线的准线方程为：.
故选：D.
【题型4 求抛物线的标准方程】
【例4】（2023·全国·高二专题练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）
A． B． C．或 D．或
【解题思路】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.
【解答过程】依题意设抛物线方程为．
因为焦点到准线的距离为4，
所以，所以，
所以抛物线方程为或．
故选：C．
【变式4-1】（2023春·四川眉山·高二校考开学考试）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程.
【解答过程】由题意知，则准线为，
点到焦点的距离等于其到准线的距离，
即，∴，则
故选：B.
【变式4-2】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案．
【解答过程】如图，连接，设准线与轴交点为

抛物线的焦点为，准线：
又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形，
所以，
所以在中，，则，所以抛物线的方程为.
故选：C.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用圆和抛物线的定义得到是等边三角形，再面积得到的长度，进而建立关于的等式即可求解.
【解答过程】解：∵以为圆心，为半径的圆交于，两点，，结合抛物线的定义可得：
是等边三角形，
．
的面积为：，
．
又点到准线的距离为，则该抛物线的方程为．
故选：B．
【题型5 根据抛物线的方程求参数】
【例5】（2023秋·高二单元测试）抛物线的准线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将抛物线方程标准化后写出抛物线准线方程即可求得结果.
【解答过程】抛物线化为标准方程，
所以准线方程是，
所以，
解得.
故选：B.
【变式5-1】（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
【解题思路】根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从轴负半轴旋转到轴正半轴，即可得.
【解答过程】根据题意可得抛物线的焦点坐标为，
抛物线的标准方程为，可得其焦点坐标为，
易知绕原点顺时针旋转之后得到，即可得，
解得.
故选：A.
【变式5-2】（2023春·北京·高三校考阶段练习）为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则（ ）
A．2 B．4 C．或 D．或
【解题思路】由抛物线可得准线的方程为：，设点，再由点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，可得，，再与抛物线方程，联立解方程组，即可求解.
【解答过程】解：由题意可得：抛物线的准线的方程为：
设点，又因点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，
所以有，解得或，
即的值分别为或.
故选：D.
【变式5-3】（2022·江西·校联考二模）已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若，，则p＝（ ）
A．2 B．4
C．2或 D．2或
【解题思路】由抛物线的定义设点坐标，由题意列方程求解
【解答过程】依题意，设，则，
，解得或，
故选：D.
【知识点2 抛物线的简单几何性质】
1．抛物线的几何性质
抛物线的简单几何性质：
标准
方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
顶点 (0,0) (0,0)
轴 对称轴y=0 对称轴x=0
焦点
准线
离心率 e =1 e=1
开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下
焦半径
范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是01，抛物线的离心率是
e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
3．与抛物线有关的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.
【题型6 抛物线的对称性的应用】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解题思路】由题知为等腰直角三角形，进而得，再代入方程求解即可.
【解答过程】解：∵，∴，∴，
∵，且轴，
∴由抛物线的对称性为等腰直角三角形，
设与轴的交点为，
∴，即，
∴将代入得，解得．
故选：D．
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.
【解答过程】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或．
故选：C．
【变式6-2】（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，结合抛物线的对称性，得到关于轴对称，设直线的方程为，由的垂心恰好是抛物线的焦点，得到，根据，列出方程，即可求解.
【解答过程】由点是抛物线上的两点，且，
根据抛物线的对称性，可得关于轴对称，
设直线的方程为，则，
因为的垂心恰好是抛物线的焦点，
所以，可得，即，
解得，即直线的方程为.
故选：C.
【变式6-3】（2020·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】解法一：先根据焦半径公式求出的坐标，再求出的垂直平分线的方程，从而可求的坐标，故可求的面积.
解法二：先根据焦半径公式求出的坐标，过点作的垂线，垂足为，利用抛物线的定义可得重合，从而可求的面积.
【解答过程】解法一：抛物线：的焦点为，准线为：，
设，由点到准线的距离为6，得，得，
代入抛物线的方程得，所以．
由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为，
又的中点坐标为，故的垂直平分线的方程为，
令，得，即．
所以的面积为．
故选：B.
解法二：抛物线：的焦点为，准线为：，
设，由到准线的距离为6，得，得，
代入抛物线的方程得，所以．
由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为，
所以．过点作的垂线，垂足为，则，连接，
则，而，所以是等边三角形，于是边的垂直平分线过点，即点与点重合，所以的面积为．
故选：B.
【题型7 与抛物线有关的最值问题】
【例7】（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．2 D．3
【解题思路】先利用配方法求得到圆心的最小距离，从而求得到的最小距离.
【解答过程】由题意知，，设，则，
所以，

故当时，，
所以.
故选：B.
【变式7-1】（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
【解题思路】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.
【解答过程】，故,
记抛物线的准线为，则：，
记点到的距离为，点到的距离为，
则.
故选：A.
【变式7-2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【解题思路】由抛物线的焦点坐标求得，设在准线上的射影为，利用抛物线的定义进行转化后易得最小值．
【解答过程】由焦点到其准线的距离为得；
设在准线上的射影为如图,
则 ，
当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4．
故选：D．
【变式7-3】（2023·河北沧州·统考三模）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.
【解答过程】解：如图，

因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，
所以
.
当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.
故选：A.
【题型8 与抛物线有关的实际应用问题】
【例8】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；
(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）．
【解题思路】（1）先建立直角坐标系，得到A点坐标，然后设出抛物线方程进而求得的值，从而可以确定抛物线的方程和焦点的位置.
（2）根据盛水或食物的容器在焦点处，结合两点间距离公式可得每根铁筋的长度.
【解答过程】（1）如图，
在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，
使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是，
设抛物线方程为，则，解得，
则抛物线的标准方程是，
焦点坐标是.
（2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长，
所以每根铁筋长为，
所以架子所用钢筋总长度为.
【变式8-1】（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.
(1)求航天器变轨时点的坐标；
(2)求航天器降落点与观测点A之间的距离.
【解题思路】（1）设出点，利用的距离和椭圆方程可求出点的坐标；
（2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案.
【解答过程】（1）设，由题意，，即，
又，联立解得或（舍），当时， ，
故的坐标为.
（2）由题意设抛物线的方程为，
因为抛物线经过点，，
所以，，解得，即；
令可得或（舍），即；
所以，
所以航天器降落点与观测点A之间的距离为3.
【变式8-2】（2023秋·河南周口·高二统考期末）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m．
（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少 （精确到0.1m）
【解题思路】（1）根据图形建立直角坐标系，设出拱桥所在的抛物线方程，设拱桥与水面两交点分别为，，由坐标系可知A,B两点的坐标，将其中一个代入抛物线方程，即可得；（2）根据船顶宽6m，可知船顶距离拱桥最高点的极限高度h，再由，可知船身应降低高度。
【解答过程】解：（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，
设拱桥所在的抛物线方程为，
因点在抛物线上，代入解得，
故拱桥所在的抛物线方程是．
（2）因，故当时，，
故当水位暴涨1.54m后，船身至少应降低，
因精确到0.1m，故船身应降低0.6m．
答：船身应降低0.6m，才能安全通过桥洞．
【变式8-3】（2023春·上海浦东新·高二校考期中）如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
【解题思路】（1）由抛物线的定义，O为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C的方程；
（2）由抛物线的定义，公路总长，即可求公路总长最小值.
【解答过程】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意得，，则抛物线．
（2）如图，设抛物线C的焦点为F，则，
∵城镇P位于点O的北偏东30°处，，∴，
根据抛物线的定义知，公路总长．
当与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为．

展开更多......

收起↑