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专题3.7 直线与抛物线的位置关系【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 1
【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】 2
【题型3 抛物线的弦长问题】 3
【题型4 抛物线的焦点弦问题】 3
【题型5 抛物线中的切线问题】 4
【题型6 抛物线中的面积问题】 5
【题型7 抛物线中的定点、定值、定直线问题】 6
【题型8 抛物线中的最值问题】 8
【知识点1 直线与抛物线的位置关系】
1．直线与抛物线的位置关系
(1)直线与抛物线的三种位置关系：
(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程
.
①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当<0时，直线与抛物线相离，无交点.
②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与抛物线的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【变式1-1】（2022·高二课时练习）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2023春·上海虹口·高二校考期中）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1＝0与抛物线C3的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上都有可能
【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】
【例2】（2022·高二课时练习）若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为（ ）
A． B．0
C．或0 D．8或0
【变式2-1】（2023·高二课时练习）直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ）
A． B．，
C．， D．或
【变式2-2】（2022秋·高二课时练习）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023·山东·统考二模）已知抛物线，若过点作直线与抛物线交，两个不同点，且直线的斜率为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题】
1．弦长问题
设直线与抛物线交于A,B两点，则
|AB|==或
|AB|== (k为直线的斜率，k≠0).
2．抛物线的焦点弦问题
抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
标准方程 弦长公式
y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2)
【题型3 抛物线的弦长问题】
【例3】（2023·河南安阳·统考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于、两点，且点到的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-3】（2023·辽宁朝阳·朝阳市校考模拟预测）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C．18 D．20
【题型4 抛物线的焦点弦问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（ ）
A．32 B． C． D．8
【变式4-1】（2023秋·高二单元测试）过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，若，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为，过过直线交抛物线于两点，若与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A．16 B． C．8 D．
【变式4-3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【知识点3 抛物线的切线】
1．抛物线的切线
过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是.
抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0).
【题型5 抛物线中的切线问题】
【例5】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于，两点，
(1)当的纵坐标为4时，求抛物线在点处的切线方程；
(2)四边形面积的最小值.
【变式5-2】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，设切点分别为，，求点到直线的距离的最大值.
【变式5-3】（2023春·云南曲靖·高一校考期末）已知、是抛物线上的两点，是线段的中点，过点和分别作的切线、，交于点
(1)证明：轴：
(2)若点的坐标为，求的面积.
注：抛物线在点处的切线方程为.
【题型6 抛物线中的面积问题】
【例6】（2023秋·湖北荆州·高二校考期末）已知抛物线，
(1)经过点作直线，若与抛物线有且仅有一个公共点，求的方程；
(2)设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点 ，且与抛物线交于两点，的中点为，若，求的面积．
【变式6-1】（2023春·贵州黔南·高二统考期末）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求的值；
(2)设为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，求面积的最小值．
【变式6-2】（2023春·河南南阳·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且.
(1)求点的坐标；
(2)设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值.
【变式6-3】（2023春·江西上饶·高二校联考阶段练习）已知坐标原点为，抛物线为与双曲线在第一象限的交点为，为双曲线的上焦点，且的面积为3．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，，求与的面积之比．
【题型7 抛物线中的定点、定值、定直线问题】
【例7】（2023春·江西赣州·高二校考期末）在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.
(1)求的方程；
(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.
【变式7-1】（2023·湖北襄阳·校考模拟预测）过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程；
(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.
【变式7-2】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【变式7-3】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型8 抛物线中的最值问题】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．
【变式8-1】（2023春·山西太原·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
(1)求抛物线C的方程；
(2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点作互相垂直的直线，，交抛物线于，两点（在轴上方），交抛物线于，两点，交其准线于点．
（1）求四边形的面积的最小值；
（2）若直线与轴的交点为，求面积的最小值．
专题3.7 直线与抛物线的位置关系【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 1
【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】 3
【题型3 抛物线的弦长问题】 5
【题型4 抛物线的焦点弦问题】 7
【题型5 抛物线中的切线问题】 9
【题型6 抛物线中的面积问题】 13
【题型7 抛物线中的定点、定值、定直线问题】 18
【题型8 抛物线中的最值问题】 24
【知识点1 直线与抛物线的位置关系】
1．直线与抛物线的位置关系
(1)直线与抛物线的三种位置关系：
(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程
.
①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当<0时，直线与抛物线相离，无交点.
②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与抛物线的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【解题思路】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论．
【解答过程】直线过定点，
∵，
∴在抛物线内部，
∴直线与抛物线相交，
故选：A．
【变式1-1】（2022·高二课时练习）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据直线与抛物线的位置关系可得答案.
【解答过程】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，
“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，
故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-2】（2023春·上海虹口·高二校考期中）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【解题思路】考虑直线斜率存在，和不存在三种情况，设直线方程为，联立方程，根据得到答案.
【解答过程】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足；
当直线斜率时，易知满足条件；
当直线斜率存在且时，设直线方程为，即，
，整理得到，，
，解得，直线方程为.
综上所述：满足条件的直线有2条.
故选：C.
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1＝0与抛物线C3的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上都有可能
【解题思路】先求出抛物线C1的方程，再利用平移变换得出抛物线C3，联立直线方程与抛物线方程，根据根的判别式即可得出结论．
【解答过程】解：圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心坐标为（﹣2，1），
代入抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，
∴a＝4，
∴抛物线C1：y＝4（x+1）2﹣3．
将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，
得到抛物线C3：y＝4x2，
联立，消整理得，
，
所以直线l与抛物线C3相交，
故选：A．
【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】
【例2】（2022·高二课时练习）若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为（ ）
A． B．0
C．或0 D．8或0
【解题思路】由直线方程与抛物线方程联立，方程组只有一解，注意k=0的情形．
【解答过程】解：由得ky2－y＋2＝0，
若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y＝2；
若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝.
综上可知k＝0或.
故选：C．
【变式2-1】（2023·高二课时练习）直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ）
A． B．，
C．， D．或
【解题思路】当时，直线符合题意；当时，联立直线与抛物线方程消去，得关于的一元二次方程，由即可得 ，的关系，进而可得正确答案.
【解答过程】当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；
当时，由可得：，
若直线与抛物线有且只有一个公共点，
则，整理可得：，所以，
综上所述：或，
故选：D.
【变式2-2】（2022秋·高二课时练习）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围.
【解答过程】当时，直线，与抛物线有交点，所以，
设直线的方程为，
联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，
由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.
故选：A.
【变式2-3】（2023·山东·统考二模）已知抛物线，若过点作直线与抛物线交，两个不同点，且直线的斜率为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】假设直线的方程为，然后分和两种情况进行讨论，即可得到答案
【解答过程】易得直线的斜率存在，故设直线的方程为，
当时，直线与抛物线只有一个交点，不适合题意；
当时，将直线代入抛物线得到，
因为直线与抛物线有两个交点，
所以即，解得，
此时或，
综上，的取值范围是，
故选：A.
【知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题】
1．弦长问题
设直线与抛物线交于A,B两点，则
|AB|==或
|AB|== (k为直线的斜率，k≠0).
2．抛物线的焦点弦问题
抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
标准方程 弦长公式
y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2)
【题型3 抛物线的弦长问题】
【例3】（2023·河南安阳·统考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于、两点，且点到的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件求出的值，可求得的值，进而可求得、的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可求得的值.
【解答过程】抛物线的焦点为，准线为，设点、，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，，所以，
点到直线的距离为，则，所以，，
因此，，
故选：C.
【变式3-1】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用抛物线焦点弦长公式直接求解即可.
【解答过程】由抛物线方程知：为抛物线的焦点；
设，
线段中点的横坐标为，，
直线过抛物线的焦点，.
故选：B.
【变式3-2】（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】如图所示，由题得，利用抛物线的定义化简即得解.
【解答过程】如图所示，由题得，抛物线的准线方程为.
所以.
故选：C.
【变式3-3】（2023·辽宁朝阳·朝阳市校考模拟预测）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C．18 D．20
【解题思路】依题意抛物线的准线为，即可求出，从而求出抛物线方程，再由，求出，从而求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再根据焦半径公式计算可得.
【解答过程】依题意抛物线的准线为，即，解得，
所以抛物线方程为，则焦点为，又，所以，解得，
所以，
所以，所以直线的方程为，
由，消去整理得，解得、，
即，
所以.
故选：B.
【题型4 抛物线的焦点弦问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（ ）
A．32 B． C． D．8
【解题思路】由题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，由韦达定理可得，再根据抛线的定义即可得答案.
【解答过程】解：因为抛物线，
所以，，
所以直线的方程为，
由，得，
显然，
设
则有，
所以，
由抛物线定义可知.
故选：A.
【变式4-1】（2023秋·高二单元测试）过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，若，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】由抛物线方程得焦点坐标和准线方程，设过焦点的直线斜率为，把直线方程代入抛物线方程，由韦达定理代入弦长公式算出直线斜率，得直线方程.
【解答过程】抛物线焦点，准线方程，
设直线的方程为，由，消去，则有，
设，，，，
则焦点弦长，解得，
所以直线的方程为，即或.
故选：D.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为，过过直线交抛物线于两点，若与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A．16 B． C．8 D．
【解题思路】现根据双曲线的离心率，求出渐近线的斜率，继而根据点斜式求得直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦公式，即可求解.
【解答过程】解：由题意得，
故双曲线的渐近线方程为，
又与双曲线的一条渐近线平行，不妨设直线的斜率为，又，
故的直线方程为：，联立直线方程和抛物线方程得：，
所以，所以.
故选：D.
【变式4-3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【解题思路】设出直线，的方程，联立抛物线，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，再根据四边形ADBE对角线垂直求出面积，利用均值不等式求最值即可.
【解答过程】由题意抛物线的焦点为，显然，斜率存在且不为0，
设直线方程为，设，，由，得，
则，即，
设直线的方程为，设，，
则，即，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
故选：A．
【知识点3 抛物线的切线】
1．抛物线的切线
过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是.
抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0).
【题型5 抛物线中的切线问题】
【例5】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据条件可得抛物线方程，然后求导可得过，两点的切线的斜率，写出切线方程，代入点，由两点确定一条直线，即得.
【解答过程】因为抛物线的准线为，
所以，，
故抛物线，，
设切点为，，又，
则切线PA的方程为：，即，
切线PB的方程为：，即，
由是PA、PB交点可知：，，由两点确定一条直线，
可得过A、B的直线方程为，即
故选：A.
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于，两点，
(1)当的纵坐标为4时，求抛物线在点处的切线方程；
(2)四边形面积的最小值.
【解题思路】（1）易知焦点，且，设出切线方程与抛物线方程联立即可得切线方程为；（2）由题意可得直线，的斜率均存在，设出，的方程并与抛物线联立，利用焦点弦公式可求得，，即可求得四边形面积表达式，再利用基本不等式即可求得其最小值为.
【解答过程】（1）根据题意可得焦点，当的纵坐标为4时可得，
设抛物线在点处的切线方程为，
联立整理得，
由题意知方程只有一解，所以，
解得；
所以切线方程为.
（2）如下图所示：
易知直线，的斜率均存在，
可设的方程为，同理可得
联立直线和抛物线并整理可得，
易知，设，
所以，由焦点弦公式可得，
同理设，
可得，，
所以四边形的面积，
当且仅当时，等号成立；
所以四边形面积的最小值为.
【变式5-2】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，设切点分别为，，求点到直线的距离的最大值.
【解题思路】（1）根据抛物线的定义和可求方程；
（2）联立方程，根据相切可求切线方程，进而得到的方程，利用点到直线的距离公式可求答案.
【解答过程】（1）抛物线的准线方程为：，
由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.
（2）记，，则可设直线，
由消去并整理得，
则由题意得，
又得，
所以直线的方程为，同理，直线的方程为，
若设，则，
所以直线的方程为，即，
所以点到直线的距离，即，
当，即时，；
当时，因为则
即，所以且；
综上，.
所以点到直线的距离的最大值为5.
【变式5-3】（2023春·云南曲靖·高一校考期末）已知、是抛物线上的两点，是线段的中点，过点和分别作的切线、，交于点
(1)证明：轴：
(2)若点的坐标为，求的面积.
注：抛物线在点处的切线方程为.
【解题思路】（1）设点、，写出直线、的方程，求出点的纵坐标，证明出点、的纵坐标相等，可证得结论成立；
（2）求出点的横坐标，根据点的坐标求出、的值，然后根据三角形的面积公式可求得的面积.
【解答过程】（1）证明：设、，若，则，即点、重合，不合乎题意，
所以，，且的中点为，
由题意可知，直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程得，可得，
所以，点、的纵坐标相等，故轴.
（2）解：因为点的坐标为，
由（1）可知，，可得，
，可得，
由于轴，则
，
即的面积为.
【题型6 抛物线中的面积问题】
【例6】（2023秋·湖北荆州·高二校考期末）已知抛物线，
(1)经过点作直线，若与抛物线有且仅有一个公共点，求的方程；
(2)设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点 ，且与抛物线交于两点，的中点为，若，求的面积．
【解题思路】（1）判断当直线平行于抛物线的对称轴x时，符合题意，当直线与抛物线相切时，设出直线方程，联立抛物线方程，求得切线方程，综合可得答案；
（2）设，直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立可得根与系数关系式，结合可求得n的值，进而求得的面积．
【解答过程】（1）由题意知点在抛物线外部，直线不会垂直于轴（此时与无公共点）；
当直线平行于抛物线的对称轴x轴时，与抛物线有且仅有一个公共点，
此时直线的方程为；
当直线与抛物线相切时，斜率存在且不等于0，
可设的方程为，由， 得，
由，解得或1，
则的方程为与，
即与，
综上：的方程是或或.
（2）设，直线的方程为，
将直线的方程与抛物线方程联立， ，
得，,，,
所以，所以，
又抛物线的准线为, 所以，
则，整理得，
解得或（舍），
则
．
【变式6-1】（2023春·贵州黔南·高二统考期末）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求的值；
(2)设为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，求面积的最小值．
【解题思路】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【解答过程】（1）设，
由，可得，
由，则，
所以，
所以
，
化简得，
所以或，
因为，所以．
（2）因为，显然直线的斜率存在，
设直线：，，
由可得，，
所以，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
因为，
所以
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积

【变式6-2】（2023春·河南南阳·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且.
(1)求点的坐标；
(2)设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值.
【解题思路】（1）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合数量积的坐标表示，列式计算，即得答案.
（2）利用，结合求得，求得四边形面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
【解答过程】（1）设直线的方程为，联立，
可得，需满足，设，
则，由于，
由可得，
解得或（舍去），
则过轴正半轴上一点，
即点的坐标为.
（2）由题意知，结合（1）知，
不妨设，
则，
由于关于对称，故，
故，
当且仅当时，即时，等号成立，
故四边形面积的最小值为.
【变式6-3】（2023春·江西上饶·高二校联考阶段练习）已知坐标原点为，抛物线为与双曲线在第一象限的交点为，为双曲线的上焦点，且的面积为3．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，，求与的面积之比．
【解题思路】（1）首先求出双曲线的上焦点，设，，根据三角形面积求出，再代入双曲线方程求出，再根据点在抛物线上，即可求出，即可得解；
（2）设点，，利用导数表示出的方程，即可求出点坐标，同理可得，再将代入，即可得到的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，即可求出，再求出点到直线的距离，即可得到，再求出，即可得解.
【解答过程】（1）双曲线的上焦点为，设，，
由已知得：，则，
代入双曲线方程可得，解得或（舍去），所以，
又因为在抛物线上，所以，解得，故抛物线的方程为．
（2）设点，，对求导得，
则切线的方程为，
由整理得，
令，则，即，同理可求得．
将代入直线可得：，
同理可求得直线的方程：，
所以，的直线方程．
联立消去得，
则韦达定理：，
则弦长，
点到直线的距离，
所以，
又，
故．
【题型7 抛物线中的定点、定值、定直线问题】
【例7】（2023春·江西赣州·高二校考期末）在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.
(1)求的方程；
(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.
【解题思路】（1）分类讨论的焦点在或轴上，设出抛物线的方程，将点代入即可得出答案；
（2）设，分别求出直线，的方程，由题意可得，，再求出直线的方程，代入化简即可得出直线过的定点.
【解答过程】（1）若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为；
若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为，
综上，的方程为或.
（2）证明：由（1）知抛物线的方程为.
若直线不过点，如图，

设，
由题意可知直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
同理直线的方程分别为，
由直线过定点，可得，
由直线过焦点，可得，
直线的方程为，
由，得，
所以，
即，
又因为，所以.
令解得故直线恒过定点.
若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，显然直线过点.
综上，直线过定点.
【变式7-1】（2023·湖北襄阳·校考模拟预测）过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程；
(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.
【解题思路】（1）设直线，联立方程组求得，利用弦长公式，分别求得，得到，结合基本不等式，即可求解；
（2）由和共线，得到，，又由和共线，得到和，进而得到，即可求解.
【解答过程】（1）解：设，
设直线，联立方程组，整理得，
可得，
所以，
同理可得，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以抛物线的方程为.
（2）解：当为时，，
由共线，可得，可得 ①，
同理由共线 ②
又由共线，可得，所以 ③
同理由共线，可得 ④
由①③得，
即 ⑤
又由②④得，
即 ⑥
由⑤⑥得，
即，即，所以在上.
【变式7-2】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【解题思路】（1）利用图中的几何关系以及抛物线的定义求解；
（2）直线的方程为以及点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立由韦达定理以及得到与的关系式，利用直线与抛物线相切求出直线的方程，用点到直线的距离公式即可求出点到直线与到直线的距离之比.
【解答过程】（1）如图所示，过点作，垂足为交轴于点，
由题得，所以，
因为，所以△是等边三角形，
因为是的中点，所以，
故，
所以，，所以，所以，即.

（2）由（1）可知抛物线的方程是，
设直线的方程为，，
因为，所以，
即，即.
又，所以，故.
联立，消去，得，其中，
则，
所以，所以.
设点到直线和直线的距离分别为，
则由得，
所以点到直线与到直线的距离之比是定值，定值为3.
【变式7-3】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）利用抛物线的定义结合两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出抛物线的标准方程；
（2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出、所满足的关系式，求出直线所过定点的坐标，利用直角三角形的几何性质可得出定点的坐标.
【解答过程】（1）解：抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得，
将点的坐标代入抛物线方程可得，
所以，，
所以，，因为，解得，
因此，抛物线的标准方程为.
（2）解：若直线轴，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，则，
由韦达定理可得，，
，，
因为以为直径的圆过点，则，
所以，，
显然且，所以，，
即，即，可得，
所以，直线的方程为，
由可得，，所以，直线过定点，
所以，，
因为，当点为线段的中点时，即当点的坐标为时，
为定值.
因此，存在定点，且当点的坐标为时，为定值.
【题型8 抛物线中的最值问题】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．
【解题思路】（1）设出，由焦半径得到方程，求出，进而求出抛物线方程；
（2）设出直线方程，表达出P，Q两点坐标，用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值.
【解答过程】（1）依题意，设．
由抛物线的定义得，解得：，
因为在抛物线上，
所以，所以，解得：．
故抛物线的方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在，且不为0．
设直线的方程为，，．
联立，整理得：，
则，从而．
因为是弦的中点，所以，
同理可得．
则
，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为8．
【变式8-1】（2023春·山西太原·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
【解题思路】（1）设，列方程组，求出，即可得到抛物线的方程；
（2）设点，利用是以为斜边的等腰直角三角形，表示出，用坐标表示出 利用基本不等式求出的最小值.
【解答过程】（1）设点，由已知，则，即.
因为，则，所以抛物线的方程是.
（2）设点，直线的斜率为，
因为，则直线的斜率为.
因为，则，得，①
因为，则，即，②
因为，则，即③
将②③代入①，得，即，则，
所以
因为，则，又，则，从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
(1)求抛物线C的方程；
(2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
【解题思路】（1）根据焦半径公式求出的值即可得抛物线方程；
（2）首先根据导数的几何意义，求出切线，进而求出直线的方程，根据焦半径公式，将转化成两点纵坐标的关系式，由韦达定理进行化简，从函数的角度运用换元法求其最大值.
【解答过程】（1）依题意得：
∴，∴，
所求抛物线的方程为；
（2）抛物线的方程为，即∴，
设，，则切线PA，PB的斜率分别为，.
所以切线PA：，
∴，又，，
同理可得切线PB的方程为，
因为切线PA，PB均过点，所以，，
所以，为方程的两组解.
所以直线AB的方程为.
联立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，
由抛物线定义可知，，
所以
∵
，
∴
令
∴原式，
即原式的最大值.
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点作互相垂直的直线，，交抛物线于，两点（在轴上方），交抛物线于，两点，交其准线于点．
（1）求四边形的面积的最小值；
（2）若直线与轴的交点为，求面积的最小值．
【解题思路】（1）设直线AB的方程为，联立抛物线方程得到韦达定理，利用抛物线的焦半径公式将AB，CD表示，再结合基本不等式可得四边形面积的最小值；
（2）求出，推出．结合韦达定理推出．然后求解的表达式，结合函数的导数求解函数的最小值即可．
【解答过程】（1）由已知可知直线的斜率必存在，
设直线的斜率为，抛物线的焦点，
则与抛物线相联立，
，
设，，则，
，
同理，，则四边形的面积为
，
当且仅当时，四边形的面积的最小值为32．
（2）解：由题意可得，
令，得.
由，，得，又，
所以
.
所以
.
记，
则，
解得，即，
所以在上递减，在上递增，
所以.

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