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专题3.1 椭圆及其标准方程【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 椭圆的定义】 1
【题型2 曲线方程与椭圆】 2
【题型3 椭圆方程的求解】 3
【题型4 动点轨迹方程的求法】 3
【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 5
【题型6 椭圆中的最值问题】 5
【知识点1 椭圆的定义】
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫
作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.
【题型1 椭圆的定义】
【例1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末），为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则（ ）
A．9 B．4 C．2 D．1
【变式1-1】（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，分别是椭圆C的焦点，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1-3】（2023秋·河北邢台·高二校考期末）设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【知识点2 椭圆的标准方程】
1．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
2．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【题型2 曲线方程与椭圆】
【例2】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“”是方程“表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023秋·全国·高二期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式2-3】（2022·高二单元测试）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A． B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则
【题型3 椭圆方程的求解】
【例3】（2023春·河北承德·高二校考开学考试）焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023秋·江苏·高二统考期末）已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点为，．过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 动点轨迹方程的求法】
【例4】（2023秋·广东广州·高二校考期末）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023·高二课时练习）在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022秋·山西运城·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：（圆心为），点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【知识点3 椭圆的焦点三角形】
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦
点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】
【例5】（2023春·新疆阿勒泰·高二统考期末）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）已知△的顶点 在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）在椭圆上有一点P，是椭圆的左 右焦点，为直角三角形，这样的点P有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【题型6 椭圆中的最值问题】
【例6】（2023·高二课时练习）已知椭圆的左右焦点分别为 ，P是椭圆上的动点，求的最大值及最小值.
【变式6-1】（2023·高二课时练习）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．
【变式6-2】（2023·高二课时练习）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值；
（3）求使得的值最小时点M的坐标.
专题3.1 椭圆及其标准方程【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 椭圆的定义】 1
【题型2 曲线方程与椭圆】 3
【题型3 椭圆方程的求解】 5
【题型4 动点轨迹方程的求法】 6
【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 8
【题型6 椭圆中的最值问题】 10
【知识点1 椭圆的定义】
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫
作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.
【题型1 椭圆的定义】
【例1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末），为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则（ ）
A．9 B．4 C．2 D．1
【解题思路】由椭圆定义可得，进而求得结果．
【解答过程】椭圆中，，，为椭圆的两个焦点，
，又，
故选：A.
【变式1-1】（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】利用椭圆的定义有，结合已知即可求A到焦点的距离.
【解答过程】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有.
因为，
所以.
故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，分别是椭圆C的焦点，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解题思路】根据椭圆的定义可求，，结合条件可求.
【解答过程】设椭圆的长半轴为，则，
由椭圆定义可得，，
又，
所以.
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·河北邢台·高二校考期末）设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.
【解答过程】根据P为椭圆C：上一点，
则有，
又，所以，
故选：B.
【知识点2 椭圆的标准方程】
1．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
2．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【题型2 曲线方程与椭圆】
【例2】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“”是方程“表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条
【解题思路】根据椭圆的标准方程可得，解不等式组得出且，再利用必要不充分条件定义即可求解.
【解答过程】若方程表示椭圆，则有
因此且，
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B.
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将方程化为标准式，依题意求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】方程可变形为，表示焦点在轴上的椭圆，则有，解得.
易知当时，，当时未必有，
所以是的充分但不必要条件.
故选：B.
【变式2-2】（2023秋·全国·高二期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】根据椭圆焦点在轴上,可得,解出范围即可.
【解答过程】解:由题知表示焦点在轴上的椭圆,
则有: ,
解得:或.
故选:D.
【变式2-3】（2022·高二单元测试）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A． B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则
【解题思路】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.
【解答过程】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；
焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；
焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.
故选：C.
【题型3 椭圆方程的求解】
【例3】（2023春·河北承德·高二校考开学考试）焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程．
【解答过程】因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为．
故选：B．
【变式3-1】（2023秋·江苏·高二统考期末）已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据椭圆的性质可得，则椭圆方程可求.
【解答过程】由点在椭圆上得，
由椭圆的对称性可得，则，
故椭圆方程为.
故选：A.
【变式3-2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解.
【解答过程】由椭圆的几何性质，因为，可得，
所以，，则，所以椭圆的方程为.
故选：A.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点为，．过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.
【解答过程】依题意，解得，
由于椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
【题型4 动点轨迹方程的求法】
【例4】（2023秋·广东广州·高二校考期末）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由周长得AB+AC＝6，从而知A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，再根据已知条件可求得轨迹方程．注意范围．
【解答过程】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC＝2，AB+AC＝6，
∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝1，b＝2，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A.
【变式4-1】（2023·高二课时练习）在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先利用正弦定理化角为边，从而可得，再结合题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，即可得解.
【解答过程】解：在中，因为，
所以，
又，则，
所以，即，
由于，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，
由，
所以顶点的轨迹方程是.
故选：A.
【变式4-2】（2022秋·山西运城·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：（圆心为），点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据椭圆的定义求得正确答案.
【解答过程】圆：的圆心，半径.
由于，所以在圆内，
根据垂直平分线的性质可知，
所以，
所以点的轨迹是椭圆，且，
所以点的轨迹方程是.
故选：C.
【变式4-3】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由图形可知结果为定值，进而根据椭图的定义推断出点的轨迹方程.
【解答过程】，，点关于折痕的对称点在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，折痕与相交于点， 如图所示：
则有，可知，
所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距，所以点的轨迹方程为，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为.
故选：A.
【知识点3 椭圆的焦点三角形】
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦
点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】
【例5】（2023春·新疆阿勒泰·高二统考期末）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
【解题思路】利用椭圆的定义求解即可.
【解答过程】设椭圆的另外一个焦点为，如图，

则的周长为，
故选：C.
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）已知△的顶点 在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据椭圆定义得，结合椭圆方程，即可知△的周长.
【解答过程】由椭圆方程知：，又，，
∴△的周长为，
故选：D.
【变式5-2】（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）在椭圆上有一点P，是椭圆的左 右焦点，为直角三角形，这样的点P有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【解题思路】由为直角三角形，讨论直角顶点的位置，分三种情况，分别得出符合要求的点，可得选项.
【解答过程】当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；
当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；
当为直角时，因为椭圆中，所以这样的点有2个，如下图中的点，
所以符合条件为直角三角形的点有6个，
故选：C.
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【解题思路】设，先得到的值，再代入的余弦定理计算可得，再利用三角形的面积公式计算即可.
【解答过程】对于椭圆有，
设，
则根据椭圆的定义得，
又，
解得，
.
故选：D.
【题型6 椭圆中的最值问题】
【例6】（2023·高二课时练习）已知椭圆的左右焦点分别为 ，P是椭圆上的动点，求的最大值及最小值.
【解题思路】根据椭圆的定义，结合焦半径的取值范围，建立的函数关系，求函数的最值即可.
【解答过程】对椭圆，，不妨设
又，即，则，
，
对，其在单调递增，在单调递减.
故当时，，当或时，.
即的最大值和最小值分别为和.
【变式6-1】（2023·高二课时练习）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．
【解题思路】设点P的坐标为，则，由 ，利用二次函数的性质求解.
【解答过程】因为P是椭圆上一点，
所以，且椭圆焦点在y轴上，
点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为，
则，
所以，
，
，
因为，
当时，，
所以
当时， .
【变式6-2】（2023·高二课时练习）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
【解题思路】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值；
(2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．
【解答过程】（1）由椭圆可知，，，
则，，

则，当且仅当、、三点共线时成立，
所以，
所以的最大值与最小值分别为和；
（2），，，
设是椭圆上任一点，由，，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
由，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
故的最大值与最小值为．
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值；
（3）求使得的值最小时点M的坐标.
【解题思路】（1）利用数形结合，根据三点共线分析的最大值；（2）利用椭圆的定义转化，求的最小值；（3）利用椭圆的第二定义，转化，再利用数形结合分析得到最小值，以及取得最小值时的点的坐标.
【解答过程】（1），所以，即
当点三点不共线时，，如图当三点共线时，，即，所以的最大值是，

（2）设椭圆的左焦点，根据椭圆定义可知，
即，如图，当三点共线时，等号成立，
，所以的最大值是.

（3）椭圆的右准线，设椭圆上的点到右准线的距离为，因为，所以， ，如图，的最小值是点到直线的距离，即

所以的最小值是，此时点的纵坐标是1，代入椭圆方程可得，所以的值最小时点M的坐标 .

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