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衡阳市2022级高二期末试题
数学
命题人： 审题人：
请注意：时量120分钟 满分150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知为虚数单位，且，则（ ）
A. B. C. D.
3.在等差数列中，若，则（ ）
A．12 B．18 C．6 D．9
4.在的展开式中，的系数为（ ）
A．8 B．10 C．80 D．160
5．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
6．有七名同学排成一排, 其中甲, 乙两人不能在一起, 丙, 丁两人要排在一起的排法数是( )
A．960 B．720 C．480 D．240
7．如图，已知是双曲线的左 右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．
8．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.给出如下四个命题正确的是（ ）
A. 方程表示的图形是圆
B. 椭圆的离心率
C. 抛物线的准线方程是
D. 双曲线的渐近线方程是
10.在等比数列{an}中，公比q为整数，Sn是数列{an}的前n项和.若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　)
A.q＝2
B.数列{Sn＋2}是等比数列
C.S8＝510
D.数列{lg an}是公差为2的等差数列
11.如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. B. 当时，点到平面的距离为1
C. 是定值 D. 与所成的角可能是
12．已知函数，则（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，单调递增
C．当时，有两个极值点
D．若有三个不相等的实根，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡的横线上）
13.已知，则 ．
14．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 .
15．某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为0.7，两人都答对的概率为0.5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是 ．(用分数表示)
16.在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为 . .
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。）
17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，则△ABC的面积为，求b，c．
18．已知等差数列和正项等比数列满足：，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求．
19.如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
20.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会 经济 生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为.
(1)求的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；
(2)试求两人答对的题数之和为3的概率.
21．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.
22.已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数的取值范围.
(2)在（1）的条件下，求证：.
衡阳市八中2022级高二期末试题
数学
命题人：李瑶 刘容 审题人：刘慧英
请注意：时量120分钟 满分150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求出集合，然后利用集合的交集运算即可求解.
【详解】由题意得，因为，
所以，故D项正确.
故选:D
2. 已知为虚数单位，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按复数的除法进行运算即可.
【详解】由题意：.
故选：B.
3.在等差数列中，若，则（ ）
A．12 B．18 C．6 D．9
【答案】D
【解析】因为等差数列中，
所以，所以.
故选：D.
4.在的展开式中，的系数为（ ）
A．8 B．10 C．80 D．160
【答案】C
5．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值.
【详解】∵，，，
∴（当且仅当即，时取“=”）.
故选：C
6．有七名同学排成一排, 其中甲, 乙两人不能在一起, 丙, 丁两人要排在一起的排法数是
A．960 B．720 C．480 D．240
【答案】A
【解析】先把丙, 丁两人绑定，与没有要求的另外三人，进行全排列，有5个空，甲, 乙两人插空，由分步计算原理计算出结果．
【详解】第一步，先把丙, 丁两人绑定，有种方法；
第二步，把绑定的二人与无要求的三人全排列，有种方法，这时形成5个空；
第三步，把甲, 乙两人，插入5个空中，有种方法，
由分步计算原理可知：有七名同学排成一排, 其中甲, 乙两人不能在一起, 丙, 丁两人要排在一起的排法数是，故本题选A．
【点睛】本题考查了分步计算原理、排列有关知识．本题涉及到绑定法、插空法．
7．如图，已知是双曲线的左 右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解.
【详解】延长与双曲线交于点，
因为，根据对称性可知，
设，则，
可得，即，
所以，则，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故选：D.

8．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围.
【详解】设，，
所以函数在上为增函数．
由的定义域为可知，得，
将不等式整理得，即，
可得在上恒成立，即在上恒成立；
令，其中，所以
，令，得．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以，即
故选：B．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.给出如下四个命题正确的是（ ）
A. 方程表示的图形是圆
B. 椭圆的离心率
C. 抛物线的准线方程是
D. 双曲线的渐近线方程是
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A选项，配方得其表示点，故错误；对于B选项，直接求解离心率，故错误；对于C选项，化标准形式，再求解即可判断；对于D选项，化为标准形式得，再求解即可判断；
【详解】解：对于A选项，，故，表示点，故错误；
对于B选项，由题知，所以，所以离心率，故错误；
对于C选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故正确；
对于D选项，，焦点在轴上，故渐近线方程是，故错误.
故选：BC
10.在等比数列{an}中，公比q为整数，Sn是数列{an}的前n项和.若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　)
A.q＝2
B.数列{Sn＋2}是等比数列
C.S8＝510
D.数列{lg an}是公差为2的等差数列
答案　ABC
解析　因为{an}为等比数列，且a1·a4＝32，所以a2·a3＝32.又a2＋a3＝12，
所以或又公比q为整数，所以即an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2.对于A，由上可得q＝2，故A正确；对于B，因为Sn＋2＝2n＋1，所以＝＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确；对于C，S8＝29－2＝510，故C正确；对于D，lg an＋1－lg an＝lg 2，即数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，故D错误.故选ABC.
11.如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. B. 当时，点到平面的距离为1
C. 是定值 D. 与所成的角可能是
【答案】ABC
【解析】
【分析】以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设 ，，计算，可判断A；假设与所成的角是，则，求解可判断B；计算，可判断C；当时，，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式可判断D.
【详解】以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，
设 ，，则，，
所以 ，则，故A正确；
因为，，
所以，
若与所成的角是，
则，即，
整理得，得，与矛盾，故D错误；
，，所以为定值，故C正确；
当时，，
，，，
设平面的法向量为，
由令，则，，，
点到平面的距离，故B正确.
故选：ABC.
12．已知函数，则（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，单调递增
C．当时，有两个极值点
D．若有三个不相等的实根，，，则
【答案】ABC
【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可判断A；当时，即可判断B选项；当时，有两个不同的零点，即可判断C选项；由得到是的一个根，当时，由得，然后根据的奇偶性可得，即可判断D选项.
【详解】，
当时，，，，所以切线方程为，故A正确；
令，可得，
令，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，上单调递增，则，
即当时，，单调递增，故B正确；
当时，，当时，，，
所以当时，与的图象有两个不同的交点，即有两个不同的变号零点，
所以时，有两个极值点，故C正确；
因为，所以是的一个实根，
当时，由，可得，则直线与函数的交点的横坐标为，，设，
又，所以为偶函数，图象关于轴对称，所以，所以，故D错.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：已知函数单调性求参数范围：
①若单调递增，则；
②若单调递减，则.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡的横线上）
13..已知，则 ．
【答案】3
【分析】根据条件，得到，再利用“齐次式”即可求出结果.
【详解】，所以，
故答案为：3
14．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 .
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的运算求解即可.
【详解】已知向量，的夹角的余弦值为，且，，
则，
.
故答案为：.
15．某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为0．7，两人都答对的概率为0．5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是________．(用分数表示)
记事件A：甲答对，事件B：乙答对，则有：P(A)＝P(B)＝0．7，
P(AB)＝0．5，所以P(B|A)＝＝＝．
16.在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据梯形的边长可求出，由几何体翻折过程中体积最大可得平面平面，由面面垂直性质可确定外接球的球心以及半径，即可求得其表面积.
【详解】过点作，垂足为，如图下图所示：
因为为等腰梯形，，，所以，
，可得，
由余弦定理得，即，
易知，所以，
易知，当平面平面时，三棱锥体积最大，如图所示：
此时，平面，易知，，
记为外接球球心，半径为，
由于平面，，因此到平面的距离，
又的外接圆半径，
因此外接球半径，
即可得球的表面积为.
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。）
17．17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，则△ABC的面积为，求b，c．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，可得.
即，
所以
整理得,即
由
故.
18．已知等差数列和正项等比数列满足：，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求．
【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
则，
消元得或（舍去），故，
故.
（2）由，
则①
②
①②得：
故.
19.如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见详解；
（2）.
【分析】（1）利用空间向量证明即可；
（2）利用空间向量求解即可.
【详解】（1）如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则
因为，分别是，的中点，所以，，所以，
平面的一个法向量为，
因为，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为.
所以点到平面的距离为，
故点到平面的距离为.
20.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会 经济 生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为.
(1)求的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；
(2)试求两人答对的题数之和为3的概率.
【答案】(1)，甲、乙同时答对的概率为
(2)
【分析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程可解得，再求解每题甲、乙两位同学同时答对的概率；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【详解】（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，
所以，
.
由题意可得，则 ，，所以，
每题甲、乙同时答对的概率为；
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
21．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)16
【分析】根据离心率的值和定义可以求出之间的关系式，待定系数法设出椭圆方程后把已知点代入求解即可.
设出直线方程后，联立直线和椭圆方程，消元化简后，可得，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，的面积可用直线斜率进行表达，通过换元转化为一元二次函数，求出最值即可.
【详解】（1）椭圆的离心率，
则，即，
所以，椭圆方程为.
将点代入方程得，
故所求方程为.
（2）点在椭圆内，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得.
设，则.
.
点到的距离.
令，则则.
因为，所以当时，是所求最大值.

22.已知函数.
(1)若有两个极值点.求实数的取值范围.
(2)在（1）的条件下，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）二次求导,根据单调性结合最值确定极值点个数求参即可;
（2）构造函数应用单调性求最值，把分解为分别证明不等式可得.
【详解】（1）因为，所以.
令，则.
因为有两个极值点，，所以有两个不等正实根.
①当时，，所以在上单调递增，
则在上至多有一个零点，舍去.
②当时，令得
当时，，则在上为增函数；
当时，，则在上为减函数；
所以时，取极大值，即为最大值为.
所以有两个不等正实根的必要条件是
，解得.
，f(x)；，f(x)所以时，有两个不等正实根.
综上，实数的取值范围是.
（2）由（1）知，且.所以
因为在上为增函数，及，
所以，又因为，所以.
因为，所以.
所以，所以，
所以.所以.
其中（其中）
构造函数，则.
因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式成立.
所以.

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