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第八章 相关与回归
《基础统计》
第三节 一元线性回归分析
01
回归分析的特点
02
一元线性回归模型
03
一元线性回归模型的建立
04
一元线性回归模型的预测应用
第三节
一、回归分析的特点
回归分析与
相关分析的关系
两者关系非常密切。其联系在于，两者都是对客观事物数量依存关系的分析，其中回归分析是在相关分析基础上的继续和拓展。其区别在于，相关分析只能说明现象之间是否相关及其相关方向和紧密程度，而回归分析则能说明一个现象发生一定量的变化，另一个现象会对应发生多大的量的变化。
回归分析的类型
回归分析可分为线性(直线)回归分析和非线性(曲线)回归分析；线性回归分析又可分为一元线性回归分析和多元线性回归分析。
回归分析
回归分析是在研究现象间相关关系的基础上，对自变量和因变量的变动趋势拟合数学模型进行量的推算的统计分析方法。
第三节
二、一元线性回归模型
一元线性回归模型的一般表达式：
上述回归方程式在平面坐标系中表现为一条直线即回归直线。当 b＞0时，y 随 x 的增加而增加，两变量之间为正相关关系；当 b＜0 时，y 随 x的增加而减少，两变量之间为负相关关系；当 b＝0 时，y 为一常量，不随 x 的变动而变动。
（1） 两个变量不是对等关系。在两个变量中，首先要区分自变量和因变量，究竟哪一个是自变量，哪一个是因变量，可以根据现象之间的因果关系或研究目的而定。
（2） 因变量是随机变量，自变量是确定性的量，可以事先给定或控制自变量。
运用一元线性回归模型
应注意的问题
式中：
第三节
三、一元线性回归模型的建立
（一）回归模型的建立程序
回归模型的
建立程序
搜集统计资料，估计模型参数，建立回归模型
分析变量之间
的相互关系，计算相关系数
根据具体研究目的确定自变量和因变量
检验相关系数的显著性，判断相关系数的客观性
1
2
3
4
第三节
（二）显著性检验
三、一元线性回归模型的建立
检验依据：相关系数 r，自由度 n-m，显著水平 α
查表求值：查相关系数临界值表，得 值
模型判断：如果 所建模型有意义；如果 所建模型不适宜。
例5 以例 4 中的统计资料为例，对居民购买商品支出与其货币收入的相关系数进行显著性检验。
相关系数： r = 0.9980
自由度： n-m=8-2=6（在一元线性回归模型中只有 a、b 两个参数，因此 m=2）
给定的显著水平 α＝0.05
查《相关系数检验表》（附表6）
由于 ，因此在 α＝0.05 显著水平上居民购买商品支出与其货币收入之间确实存在线性相关关系。
第三节
三、一元线性回归模型的建立
（三）变量定位
在相关分析中，两变量可以不区分自变量和因变量，因为它们之间是对称关系；但在回归分析中就不同，必须区分谁是自变量、谁是因变量，因为它们之间是非对称关系。
上例中的居民购买商品支出与其货币收入的相互关系是非常明确的，货币收入是自变量，购买商品支出是因变量。
有些现象是难以区分的，如购买商品支出和价格。当价格上涨时，购买商品支出可能会减少，这时价格可以看作是自变量，购买商品支出则是因变量；当购买商品支出增多时，价格下降，这时购买商品支出可以看作是自变量，价格则是因变量。究竟谁作自变量，谁为因变量，首先是考虑研究目的，其次是考虑环境因素，尽量使这两者保持一致。
第三节
三、一元线性回归模型的建立
（四）参数估计
一元线性回归模型 中有两个待定参数和 a，b 通常采用最小平方法求解，即使因变量的估计值与观察值的离差平方和为最小值。其 a、b 的计算公式为：
当 a、b 参数确定以后，即可建立一元线性回归模型。
第三节
三、一元线性回归模型的建立
例6 仍以例4表中资料为例，对某地居民购买商品支出与其货币收入建立回归模型。设
将前表相关数据代入参数模型计算如右所示：
式中：
（四）参数估计（举例）
所建回归模型
第三节
四、一元线性回归模型的预测应用
（一）分析自变量解释力
判定系数也称可决系数或决定系数，即相关系数的平方，是指因变量的总变差中可以被自变量解释部分的比重。它是衡量所建模型优劣的一个重要统计分析指标。
或
式中：
前例 r2 = 0.9960，
说明所建模型好。
第三节
四、一元线性回归模型的预测应用
（二）测算估计标准误
估计标准误也称估计标准误差或剩余标准差，是回归直线随机离差的均方根，反映以回归直线为中心的各观察值与其估计值之间的平均离差程度。它是回归模型的误差分析指标，从另一方面显示回归模型拟合的优劣状况。
式中：
估计标准误除了进一步判断模型拟合的优劣以外；还可以为确定预测值的置信区间提供依据。
估计标准误的计算公式：
第三节
四、一元线性回归模型的预测应用
（二）测算估计标准误（举例）
例7 以前例所建立的回归模型，列表进行误差分析如下：
年份 货币收入x 购买商品支出y y的估计值
（甲） （1） （2） （3） （4） （5）
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 35 37 38 40 42 44 47 50 30.0 31.0 32.0 33.2 34.8 36.5 39.0 41.6 29.570 31.137 31.921 33.489 35.056 36.624 38.975 41.327 0.430 -0.137 0.079 -0.289 -0.256 -0.124 0.025 0.273 0.1849
0.0188
0.0062
0.0835
0.0655
0.0154
0.0006
0.0745
∑ 333 278.1 278.100 － 0.4494
表8.4 一元线性回归模型误差分析计算表
第三节
四、一元线性回归模型的预测应用
（二）测算估计标准误（举例）
为了直接利用计算相关系数的有关数据，可采用简捷法计算估计标准误。
例8 仍以前例资料和所建立的某地区居民购买商品支出与其货币收入的回归模型，用简捷法计算其估计标准误如下：
两个公式计算的结果略有差别，是由于计算过程四舍五入的因素所致，不影响对问题的分析判断。
计算结果表明：估计标准误0.2756亿元，仅为居民购买商品支出的0.79%，可见所建模型是适宜的。
第三节
四、一元线性回归模型的预测应用
（三）运用模型预测
建立有效回归模型
测算估计标准误
确定置信水平
预测因变量置信区间
一般程序
第三节
四、一元线性回归模型的预测应用
（三）运用模型预测（举例）
例9 接前例，假定2023年该地区居民货币收入为68亿元，以95％的置信度预测2023年当地居民购买商品支出额。
（查附表3，t 检验临界值表）
预测2023年该地区居民购买商品支出额为：
只能用自变量去推测因变量，而不能用因变量推测自变量
注 意
谢 谢
同学们的聆听
8-03
一元线性回归分析
讲授完毕

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