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第八章 相关与回归
《基础统计》
第四节 多元线性回归分析
01
多元线性回归模型
02
复相关系数与显著性检验
03
多元线性回归分析的应用
04
回归分析中应注意的问题
第四节
一、多元线性回归模型
多元回归模型
又称多重回归模型，是把两个或两个以上自变量的影响估计在内而构建的模型。
多元回归分析
是以多元回归模型研究多个自变量与一个因变量的相互关系，从而推算或预测因变量的未来值。
二元线性回归模型
三元线性回归模型
n 元线性回归模型
两个自变量与一个因变量呈线性关系
三个自变量与一个因变量呈线性关系
n 个自变量与一个因变量呈线性关系
第四节
一、多元线性回归模型
二元线性回归模型
三元线性回归模型
解上述正规方程，可得模型中的各个参数，从而建立多元线性回归模型。
参数求解的正规方程组
参数求解的正规方程组
第四节
一、多元线性回归模型
例10 某地管理部门随机抽取10个零售贸易企业，对它们某月商品销售额、流通费用额和利润额进行了调查，其资料见下表。
多元线性回归模型的建立（举例）
序号 销售额 费用额 利润额 序号 销售额 费用额 利润额
1 2 3 4 5 40 43 48 42 41 4.34 4.68 4.99 4.47 4.60 1.8 2.0 2.1 1.9 1.9 6 7 8 9 10 45 47 50 52 56 5.00 5.25 5.41 5.49 5.54 2.1
2.2
2.4
2.5
2.6
首先，进行相关分析（1. 理论分析；2. 绘制相关图表）
表8.5 某地10个零售企业调查资料
单位：万元
第四节
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型的建立（举例—续 1）
原序号 销售额 x1 利润额 y 原序号 销售额 x1 利润额 y
1 5 4 2 6 40 41 42 43 45 1.8 1.9 1.9 2.0 2.1 7 3 8 9 10 47 48 50 52 56 2.2
2.1
2.4
2.5
2.6
表8.6 商品销售额与利润额相关表
单位：万元
相关分析表 1 显示：就该地10个零售企业的总体而言，伴随着商品销售额的增加，利润额也在增加。
相关分析表 1
第四节
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型的建立（举例—续 2）
原序号 费用额 x2 利润额 y 原序号 费用额 x2 利润额 y
1 4 5 2 3 4.34 4.47 4.60 4.68 4.99 1.8 1.9 1.9 2.0 2.1 6 7 8 9 10 5.00 5.25 5.41 5.49 5.54 2.1
2.2
2.4
2.5
2.6
表8.7 费用额与利润额相关表
单位：万元
相关分析表 2 显示：就该地10个零售企业的总体而言，伴随着费用额的增加，利润额也在增加。
相关分析表 2
第四节
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型的建立（举例—续 3）
图8.4 销售额与利润额相关散点图
相关分析图 1 显示：该地 10 个零售企业就总体而言，伴随着商品销售额的增加，利润额也在增加。
相关分析图 1
第四节
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型的建立（举例—续 4）
图8.5 费用额与利润额相关散点图
相关分析图 2 显示：该地 10 个零售企业就总体而言，伴随着费用额的增加，利润额也在增加。
相关分析图 2
第四节
一、多元线性回归模型
序号 销售额 x1 费用额 x2 利润额 y x1y x2y x1x2 y2
（甲） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 43 48 42 41 45 47 50 52 56 4.34 4.68 4.99 4.47 4.60 5.00 5.25 5.41 5.49 5.54 1.8 2.0 2.1 1.9 1.9 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 72.00 86.00 100.80 79.80 77.90 94.50 103.40 120.00 130.00 145.60 7.81 9.36 10.48 8.49 8.74 10.50 11.55 12.98 13.73 14.40 173.60 201.24 239.52 187.74 188.60 225.00 246.75 270.50 285.48 310.24 1600 1849 2304 1764 1681 2025 2209 2500 2704 3136 18.84 21.90 24.90 19.98 21.16 25.00 27.56 29.27 30.14 30.69 3.24 4.00 4.41 3.61 3.61 4.41 4.84 5.76 6.25 6.76
∑ 464 49.77 21.5 1010.00 108.05 2328.67 21772 249.44 46.89
多元线性回归模型的建立（举例—续 5）
依据前述分析建立的回归模型：
参数求解列表计算如下：
第四节
一、多元线性回归模型
将前表计算的有关数据代入方程组中：
多元线性回归模型的建立（举例—续 6）
解方程组，求得参数为：
所建回归模型为：
这一模型表明：零售企业没有任何商品销售时，利润额为 -0.568万元，即要支付企业生存的固定费用；商品每销售１万元时，利润额增加0.030万元 ；在商品销售额和其它相关条件既定的情况下，费用每增加１万元，利润额增加0.270万元。
第四节
二、复相关系数与显著性检验
为了区别起见，通常把一元线性相关系数称为单相关系数，把二元及二元以上的线性相关系数称为复相关系数。
相关系数是说明现象之间线性相关方向和相关程度的统计分析指标，无论是两变量的相关系数还是多变量的相关系数，均为回归变差 与总变差 之比的平方根。
（一）复相关系数
或
第四节
二、复相关系数与显著性检验
序号 销售额 x1 费用额 x2 利润额 y 利润额估计值
（甲） （1） （2） （3） （4）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 43 48 42 41 45 47 50 52 56 4.34 4.68 4.99 4.47 4.60 5.00 5.25 5.41 5.49 5.54 1.8 2.0 2.1 1.9 1.9 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 1.79
1.97
2.20
1.88
1.89
2.11
2.24
2.37
2.45
2.58
∑ 464 49.77 21.5 21.48
（一）复相关系数（举例）
例11 以前例调查资料和模型参数，先计算利润额的估计值
第四节
二、复相关系数与显著性检验
序号 利润额 y 利润额估计值
（甲） （1） （2） （3） （4） （5） （6）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.8 2.0 2.1 1.9 1.9 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 1.80 1.97 2.20 1.89 1.89 2.11 2.24 2.38 2.46 2.59 －0.35 －0.15 －0.05 －0.25 －0.25 －0.05 0.05 0.25 0.35 0.45 0.1225 0.0225 0.0025 0.0625 0.0625 0.0025 0.0025 0.0625 0.1225 0.2025 0.01 0.03 -0.10 0.02 0.01 -0.01 -0.04 0.03 0.05 0.02 0.0002 0.0011 0.0097 0.0004 0.0002 0.0002 0.0015 0.0008 0.0023 0.0003
∑ 21.5 21.53 － 0.6650 － 0.0167
（一）复相关系数（举例—续）
例11 以前例调查资料和模型参数，再计算复相关系数
第四节
二、复相关系数与显著性检验
（二）显著性检验
因变量与自变量之间的复相关系数是否客观、可靠，仍可以采用前述显著性检验方法进行判断，以鉴别多元线性回归模型的有效性。其分析如下：
根据例10建立的二元线性回归模型，其有关数据为：
模型自由度：n-m=10-3=7
给定的显著水平：α=0.05
查《相关系数检验表》得：r0.05(7)=0.785
检验
结果
第四节
注意：与一元线性回归（也称单回归）分析一样，当建立了多元线性回归（也称复回归）模型以后，需要在分析自变量的解释力和测算估计标准误的基础上才能判断模型是否予以应用。
（二）测算估计标准误
以前例表中分析数据计算：
（一）分析自变量解释力
三、多元线性回归分析的应用
依据相关分析数据计算：
第四节
三、多元线性回归分析的应用
例13 接上例，仍以例10建立的二元线性回归模型为例，分析当地某一零售企业的利润成果与商品销售额、费用开支是否处于正常情况。假定其零售企业的商品销售额为55万元，费用支出额为6.8万元、利润额为2.6万元，现分析该企业利润指标的实现状况如下：
如果以95％的概率（在n-m=7时，即tα/2 = 2.365 ）推算利润指标的正常范围，则:
□ 测算结果说明：该企业的利润实现状况低于正常水平（2.6万元＜2.7964万元），有必要对其经营管理情况作进一步的分析。
（三）回归模型的实践应用
第四节
四、回归分析中应注意的问题
回归分析是对客观事物进行定量分析的一种科学方法，是在质的规定性的基础上进行的，除前述内容以外，还应注意以下几点：
（一）筛选影响因变量的主要自变量
（二）正确理解回归系数
（三）科学合理地内插外推
（四）充分发挥电子计算机的作用
注 意
谢 谢
同学们的聆听
8-04
多元线性回归分析
讲授完毕

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