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(共46张PPT)
（第二版）
统计原理与实务
抽样推断的基本概念
01
计算抽样误差
02
抽样估计
03
项目五 抽样推断
教学目标
【知识目标】
1.了解抽样推断的概念、特点，适用范围及工作步骤；
2.了解抽样平均误差的概念及影响因素；掌握抽样平均误差的计算方法；
3.了解抽样估计的概念和特点；掌握抽样估计的计算方法及其应用；
4.了解样本容量的影响因素；掌握样本容量的计算方法。
【能力目标】
1.能熟练运用抽样推断来分析经济现象；
2.能熟练运用样本容量的确定来选择样本。
项目案例
2012年重庆市1%人口抽样调查主要数据公报
具体见教材99-101页。
5-1 抽样推断的基本概念
一、抽样推断的概念和特点
抽样推断的概念可以有广义和狭义两种理解。
按照广义的理解，凡是抽取一部分单位进行观察，并根据观察结果来推断全体的都是抽样推断，其中又可分为非随机抽样和随机抽样两种。
非随机抽样就是由调查者根据自己的认识和判断，选取若干个有代表性的单位，根据这些单位进行观察的结果来推断全体。
随机抽样则是根据大数定律的要求，在抽取调查单位时，应保证总体中各个单位都有同样的机会被抽中，即狭义的抽样推断。
严格意义上的抽样推断是按照随机原则从总体中抽取一部分单位进行观察，并运用数理统计的原理，以被抽取的那部分单位的数量特征为代表，对总体做出数量上的推断分析。
抽样推断的特点：
和全面调查相比较，抽样推断能节省人力、费用和时间，而且比较灵活。
有些情况下，抽样推断的结果比全面调查要准确。
抽选部分单位时要遵循随机原则。
3
2
1
一、抽样推断的概念和特点
抽样调查会产生抽样误差，抽样误差可以计算，并且可以加以控制。
4
二、抽样推断的工作步骤
01
02
确定抽样框。
03
样本设计。
04
评估样本质量。
界定总体。
三、抽样推断的基本概念
全及总体：简称总体，是指所要认识对象的全体，总体是由具有某种共同性质的许多单位组成的，因此，总体也就是具有同一性质的许多单位的集合体。
只能用一定的文字加以描述。
属性总体
构成变量总体的各个单位可以用一定的数量标志加以计量。
可分为无限总体和有限总体两类。
变量总体
（一）全及总体和抽样总体
三、抽样推断的基本概念
抽样总体：简称样本，是从全及总体中随机抽取出来，代表全及总体部分单位的集合体。
一般说来，样本单位数达到或超过30个称为大样本，而在30个以下称为小样本。
（一）全及总体和抽样总体
三、抽样推断的基本概念
全及指标：根据全及总体各个单位的标志值或标志特征计算的、反映总体某种属性的综合指标。
（二）全及指标和抽样指标
A
变量总体可以计算总体平均数：
B
属性总体可以计算总体成数：
C
总体方差：
D
Q=
总体标准差：
三、抽样推断的基本概念
抽样指标：由抽样总体各个标志值或标志特征计算的综合指标称为抽样指标。
（二）全及指标和抽样指标
A
抽样平均数：
B
抽样成数：
C
样本方差：
D
样本标准差：
三、抽样推断的基本概念
（三）重置抽样与不重置抽样
重置抽样，又称重复抽样，有放回的抽样，是指从全及总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本，每次抽中的单位经登录其有关标志表现后又放回总体中重新参加下一次的抽选。
不重置抽样，又称不重复抽样，无放回的抽样，是指从全及总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本，每次抽中的单位登录其有关标志表现后不再放回总体中参加下一次的抽选。
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02
三、抽样推断的基本概念
（四）抽样框与样本数
抽样框，又称抽样结构，是指对可以选择作为样本的总体单位列出名册或排序编号，以确定总体的抽样范围和结构。
样本数，又称样本的可能数目，是指从总体N个单位中随机抽选n个单位构成样本。
01
02
5-2 计算抽样误差
一、抽样误差的概念及影响因素
抽样误差：抽样指标与所要估计的总体指标之间的差值。
常见的抽样误差有：抽样平均数与总体平均数之差 ），抽样成数与总体成数之差(p- P)。
1.抽样单位数的多少。
2.总体各单位标志值的差异程度。
3.抽样方法。
4.抽样的组织形式。
影响抽样误差的因素
以 表示样本平均数的平均误差， 表示总体的标准差。则：
二、抽样平均误差的计算——（一）样本平均数的平均误差
1、当抽样方式为重复抽样时：
背景资料：有5个工人的日产量分别为（单位：件）：6，8，10，12，14，用重复抽样的方法，从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5个工人的总体水平。则抽样平均误差为多少？
分析过程：
根据题意可得：
总体标准差：
抽样平均误差：
二、抽样平均误差的计算——（一）样本平均数的平均误差
2、当抽样方式为不重复抽样时：
当总体单位数N很大时，这个公式可近似表示为：
二、抽样平均误差的计算——（一）样本平均数的平均误差
背景资料：有5个工人的日产量分别为（单位：件）：6，8，10，12，14，用不重复抽样的方法，从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5个工人的总体水平。则抽样平均误差为多少？
分析过程：
二、抽样平均误差的计算——（一）样本平均数的平均误差
总体成数P可以表现为总体是非标志的平均数，即E（X）＝P，则：
二、抽样平均误差的计算——（二）抽样成数的平均误差
根据样本平均误差和总体标准差的关系，可以得到样本成数的平均误差的计算公式。
在重复抽样下：
在不重复抽样下：
当总体单位数N很大时，可近似地写成：
二、抽样平均误差的计算——（二）抽样成数的平均误差
背景资料：某企业生产的产品，按正常生产经验，合格率为90%，现从5000件产品中抽取50件进行检验，求合格率的抽样平均误差。
分析过程：
二、抽样平均误差的计算——（一）样本平均数的平均误差
在重复抽样下：
在不重复抽样下：
抽样极限误差，又称置信区间和抽样允许误差范围，是指在一定的把握程度（P）下保证样本指标与总体指标之间的抽样误差不超过某一给定的最大可能范围，记作Δ。
解决上述两个绝对值不等式便可得：
三、抽样极限误差的计算
背景资料：2019年5月某市某乡镇经管站要估计农作物秧苗的成活率，从一地块中随机抽取秧苗1 000棵，其中死苗60棵，确定抽样极限误差 为2%，计算秧苗成活率的误差范围。
解析过程：
三、抽样极限误差的计算
计算秧苗成活率：
=1 000-60/1 000=94%
则秧苗的成活率 为94%±2%,即在92%到96%之间。
5-3 抽样估计
所谓抽样估计，就是用样本统计量去估计总体的未知参数（或参数的函数）。
抽样估计是用样本统计量来估计总体参数的方法，即以计算的样本指标来估计相应的全及指标的方法。
总体指标是表明总体数量特征的参数，所以也称其为参数估计。
参数估计的方法有两种：点估计和区间估计。就方法来说，它是以概率论中的大数法则和中心极限定理为基础的。
一、抽样估计的概念
正态分布的特征：
第一，以总体平均数为中心，两边完全对称分布，即抽样平均数大于或小于总体平均数的概率完全相等，就是说抽样平均数的正误差和负误差的可能性完全一致；
第二，抽样平均数愈接近总体平均数，变量值出现的可能性就愈大；反之，抽样平均数愈远离总体平均数，变量值出现的可能性愈小。这个可能程度数学上称为概率 ，也就是可靠性。与概率对应的数值称为概率度，也即抽样误差扩大的倍数，用符号 表示。
一、抽样估计的概念
概率与概率度的对应关系为：
当t=1时， =0.6827
当t=2时， =0.9545
当t=3时， =0.9973
一、抽样估计的概念
点估计也称定值估计，它是以抽样得到的样本指标作为总体指标的估计量，并以样本指标的实际值直接作为总体未知参数的估计值的一种推断方法。
二、总体参数的点估计
背景资料：某工厂2019年7月对一批某型号的电子元件进行耐用性能检查，按随机重复抽样方法取100件做耐用测试，所得结果的分组资料见表5-2，要求对该批元件的耐用时数做出估计。
二、总体参数的点估计——（一）总体平均数的点估计
耐用时数 组中值（ ） 元件数（ ）
900以下 875 1
900-950 925 2
950-1 000 975 4
1 000-1050 1 025 33
1 050-1 100 1 075 43
1 100-1 150 1 125 9
1 150-1 200 1 175 5
1 200以上 1 225 3
总计 — 100
表5-2 某批电子元件抽样资料
解析过程：
样本平均数：
据此该批电子元件的平均耐用时数约为1 063.50小时。
背景资料：根据表5-2中的资料，假定该厂的质量标准规定，元件耐用时数达到1 000小时及以上者为合格品，要求估计该批电子元件的合格率。
二、总体参数的点估计——（二）总体成数的点估计值
耐用时数 组中值（ ） 元件数（ ）
900以下 875 1
900-950 925 2
950-1 000 975 4
1 000-1050 1 025 33
1 050-1 100 1 075 43
1 100-1 150 1 125 9
1 150-1 200 1 175 5
1 200以上 1 225 3
总计 — 100
表5-2 某批电子元件抽样资料
解析过程：
抽样合格率为：
所以可以认为该批元件的合格率约为93%。
背景资料：根据表5-2中的资料，估计该批电子元件的标准差。
二、总体参数的点估计——（三）总体方差的点估计值
耐用时数 组中值（ ） 元件数（ ）
900以下 875 1
900-950 925 2
950-1 000 975 4
1 000-1050 1 025 33
1 050-1 100 1 075 43
1 100-1 150 1 125 9
1 150-1 200 1 175 5
1 200以上 1 225 3
总计 — 100
表5-2 某批电子元件抽样资料
解析过程：
由于样本容量n=100是大样本，所以，样本标准差计算如下：
=57.82小时
即可以认为该批电子元件的标准差为57.82小时。
二、总体参数的点估计——（四）总体总量的直接推算法
背景资料：从6 000名学生中，随机抽取1 000名学生，对其实施月消费支出调查，计算结果表明，该1 000名学生的月平均消费支出为360元，度推断全体学生的月消费支出额和这6 000名学生的月消费支出总额。
解析过程：
根据计算结果可以推断，全体学生月消费支出约为360元，6 000名学生月消费总支出约为：
360×6 000=216（万元）。
区间估计就是以一定的概率保证估计包含总体参数的一个值域，即根据样本指标和抽样平均误差推断总体指标的可能范围。
它包括两部分内容：一是这一可能范围的大小；二是总体指标落在这个可能范围内的概率。
区间估计必须同时具备三个要素：估计值、抽样极限误差和概率保证程度。
三、总体参数的区间估计
第一，样本抽取后，用简单算术平均或加权算术平均的方法计算样本平均数 ；
第二，搜集总体数量标志方差的经验数据或计算样本数量标志方差 ；
第三，计算抽样平均数平均误差：
（重复抽样） （不重复抽样）
第四，根据概率 确定t，计算平均数的极限误差 ；
第五，确定总体平均数 的置信区间（ - ， + ）。
三、总体参数的区间估计——（一）总体平均数的区间估计步骤
第一，样本抽取后，计算样本成数 ；
第二，用样本是非标志方差 或经验数据代替总体是非标志方差 ；
第三，计算抽样成数平均误差：
（重复抽样） （不重复抽样）
第四，根据概率 确定t，计算平均数的极限误差 ；
第五，确定总体平均数 的置信区间 。
三、总体参数的区间估计——（一）总体成数的区间估计步骤
背景资料：某企业对某批电子元件进行检验，随机抽取100只，测得平均耐用时间为1000小时，标准差为50小时，合格率为94%，求：
（1）以耐用时间的允许误差范围Δx＝10小时，估计该批产品平均耐用时间的区间及其概率保证程度。
（2）以合格率估计的误差范围不超过2.45%，估计该批产品合格率的区间及其概率保证程度。
（3）试以95%的概率保证程度，对该批产品的平均耐用时间做出区间估计。
（4）试以95%的概率保证程度，对该批产品的合格率做出区间估计。
三、总体参数的区间估计
三、总体参数的区间估计——（一）总体平均数的区间估计步骤
解析过程：
求（1）的计算步骤：
①求样本指标：
②根据给定的Δx ＝10小时，计算总体平均数的上、下限：
下限
上限
③根据t＝Δx/μx＝10/5＝2，查概率表得F（t）＝95.45%
由以上计算结果，估计该批产品的平均耐用时间在990～1010小时之间，有95.45%的概率保证程度。
三、总体参数的区间估计——（一）总体平均数的区间估计步骤
求（2）的计算步骤：
①求样本指标：p＝94%
②根据给定的Δp＝2.45%，求总体合格率的上、下限：
下限
上
③根据t＝Δp /μp＝2.45%/2.38%＝1.03，查概率表得F（t）＝69.70%
由以上计算结果，估计该批产品的合格率在91.55%～96.45%之间，有69.70%的概率保证程度。
三、总体参数的区间估计——（一）总体平均数的区间估计步骤
求（3）的计算步骤：
①求样本指标：
②根据给定的F（t）＝95%，查概率表得t＝1.96。
③根据Δx＝t×μx＝1.96×5＝9.8，计算总体平均耐用时间的上、下限：
下限
上限
所以，以95%的概率保证程度估计该批产品的平均耐用时间在990.2～1009.8小时之间。
三、总体参数的区间估计——（一）总体平均数的区间估计步骤
求（4）的计算步骤：
①求样本指标：p＝94%
②下限p－Δp＝94%－4.6%＝89.4%
上限p＋Δp＝94%＋4.6%＝98.6%。
所以，以95%的概率保证程度估计该批产品的合格率在89.4%～98.6%之间。
四、不同抽样组织方式下的区间估计
（四）整群抽样
是将总体先分为若干群，然后按随机原则，成群的抽取样本单位，对抽中的群内所有单位进行调查。
（二）分层抽样
（一）简单随机抽样
是运用统计分组法，把全及总体按主要标志划分为几个类型组，然后在各组中再按随机原则抽取样本单位的组织形式。
是指在进行抽样时，对全及总体不经过任何形式的整理和加工，完全凭借偶然的机会从总体中抽取样本单位的抽样方式。
（三）等距抽样
又称系统抽样，是在样本框中每隔一定距离抽选一个被调查者。
项目四小结
巩固练习
见教材：
1.项目案例：99页
2.案例拓展：122页
3.课后习题：124页
THANKS
2021年

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