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统计学概论
第九章 动态趋势分析
第九章 动态趋势分析
【学习目标】
★知识点
掌握时间数列的修匀方法及其特点,掌握二次曲线趋势的测定方法,掌握季节变动的概念,掌握季节变动的测定与分析方法。
★能力点
能够用时距扩大法、移动平均法、半数平均法、最小平方法测定和分析现象变动的长期趋势,能运用二次曲线法测定和分析现象变动的长期趋势,能用按月(季)平均季节指数法、移动平均趋势剔除法测定季节变动。
第九章 动态趋势分析
01
第一节 动态趋势分析概述
02
第二节 时间数列的修匀方法
04
第三节 季节变动的测定与分析
03
第三节 曲线趋势的测定与分析
第九章 动态趋势分析
一、动态趋势分析的意义
第一节 动态趋势分析概述
编制动态数列的目的，就是要通过对动态数列的分析研究，认识现象发展变化
及其规律。
第九章 动态趋势分析
二、时间数列影响因素分解
第一节 动态趋势分析概述
时间数列的影响因素归纳有四类：
（一）长期趋势T
（二）季节变动S
（三）循环变动C
（四）不规则变动I
假定：四种变动相互独立
用加法模型表达
Y=T+S+C+I
假定：四种变动相互影响，互不独立
用乘法模型表达：
Y=T*S*C*I
第九章 动态趋势分析
一、时距扩大法
第二节 时间数列的修匀方法
时距扩大法：将原数列时距扩大，形成一个新的时间数列，通过新时间数列可以看出长期趋势。
例1：某企业2020年各月产量资料如下表 P200
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
产量（台） 80 85 82 86 84 88 86 85 92 94 92 98
月扩大到季-----产量-----可以看出呈上升趋势
季度 一 二 三 四
产量（台） 247 258 263 284
第九章 动态趋势分析
一、时距扩大法
第二节 时间数列的修匀方法
月扩大到季-----月平均产量-----可以看出呈上升趋势
季度 一 二 三 四
月平均产量（台） 82.3 86 87.7 94.7
第九章 动态趋势分析
二、移动平均法
第二节 时间数列的修匀方法
移动平均法就是从时间数列第一项开始,按一定项数求序时平均数,逐项向后移动计算系列序时平均数,从而形成一个新的序时平均数的时间数列。
通过移动平均修匀,消除了偶然因素的影响,长期趋势更明显。
例2：某商业企业2017--2020年各季衬衣销售量资料如下表 P201
年份 季度 一 二 三 四
2017 1.8 8.0 6.0 3.0
2018 2.0 11.0 7.0 3.5
2019 2.5 14.0 8.0 4.2
2020 3.0 15.2 9.5 5.0
第九章 动态趋势分析
二、移动平均法
第二节 时间数列的修匀方法
先进行四项移动平均，再进行两项移动平均----对准时间 P202
季度 销售量 四项移动平均 两项移动平均对准--时间
1 1.8
2 8.0
4.70
3 6.0 4.73
4.75
第九章 动态趋势分析
二、移动平均法
第二节 时间数列的修匀方法
季度 销售量 四项移动平均 两项移动平均对准--时间
4 3.0 5.13
5.50
5 2.0 5.63
5.75
6 11.0 5.82
5.88
7 7.0 5.94
6.00
第九章 动态趋势分析
二、移动平均法
第二节 时间数列的修匀方法
季度 销售量 四项移动平均 两项移动平均对准--时间
8 3.5 6.38
6.75
9 2.5 6.88
7.00
10 14.0 7.09
7.18
11 8.0 7.24
7.30
第九章 动态趋势分析
二、移动平均法
第二节 时间数列的修匀方法
季度 销售量 四项移动平均 两项移动平均对准--时间
12 4.2 7.45
7.60
13 3.0 7.79
7.98
14 15.2 8.08
8.18
15 9.5
16 5.0
第九章 动态趋势分析
三、半数平均法
第二节 时间数列的修匀方法
半数平均法是将呈直线趋势的时间数列分为项数相等的前后两部分(若为奇数项,可弃掉数列的首项),分别求其平均数,得到两个点,在坐标中绘出两个点,连接这两点,便得到一条趋势直线,将这两点坐标值,代入直线方程求解即可。。
半数平均法的数学根据:
实际观察值与计算的趋势值之间的离差之和等于零。
即Σ(yー)=0
已知资料，画散点图，呈直线形状，配合直线方程：
以代入上式，得：
两端同除以n得：
第九章 动态趋势分析
三、半数平均法
第二节 时间数列的修匀方法
将已知资料，分成两段，得：两点（
上述两点代入公式：
得：
解此联立方程组，可得a,b
可得方程 ：
将各t代入方程，可以计算得出各期趋势值。
第九章 动态趋势分析
三、半数平均法
第二节 时间数列的修匀方法
例3：某公司纯绒产量资料如下表： P205
画散点图呈直线形状，配合一个直线方程，用半数平均法测定 长期趋势。
数列资料为奇数项，去掉第一项，将数列分成两段，计算两点（
年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
产量 2.1 2.3 2.5 2.6 2.4 2.3 2.6 2.8 3.0 3.2 3.1
例3：P206
年份t y
1 2.3
2 2.5
3 2.6
4 2.4
5 2.3
6 2.6
7 2.8
8 3.0
9 3.2
10 3.1
55 26.8
第九章 动态趋势分析
三、半数平均法
第二节 时间数列的修匀方法
第九章 动态趋势分析
三、半数平均法
第二节 时间数列的修匀方法
得：两点（
两点代入方程：
得：
解得：a=2.108,b=0.104
可得方程 ：
将各t代入方程，可以计算得出各期趋势值。
第九章 动态趋势分析
四、最小平方法
第二节 时间数列的修匀方法
最小平方法：对于同一个表现为直线趋势的时间数列,可以配合许多个方程,画出不同的直线,但总有条最接近原理趋势线,该趋势线可配合一个最佳方程式,使实际观察值(y)与用该方程计算出的趋势值()之间的离差平方和最小。这种确定最佳方程式的方法就是最小平方法,也称最小二乘法。
公式表示如下：
已知资料，画散点图，呈直线形状，配合直线方程：
以代入上式，得：
第九章 动态趋势分析
四、最小平方法
第二节 时间数列的修匀方法
求函数极值得联立方程：
可求得参数
化简如下：
例5：根据下表资料，用最小平方法测定趋势值 P208
第九章 动态趋势分析
年份 t y ty
2010 0 2.1 0 0 2.142
2011 1 2.3 2.3 1 2.239
2012 2 2.5 5.0 4 2.336
2013 3 2.6 7.8 9 2.433
2014 4 2.4 9.6 16 2.530
2015 5 2.3 11.5 25 2.627
2016 6 2.6 15.6 36 2.724
2017 7 2.8 19.6 49 2.821
2018 8 3.0 24.0 64 2.918
2019 9 3.2 28.8 81 3.015
2020 10 3.1 31.0 100 3.112
合计 55 28.9 155.2 385 -----
第九章 动态趋势分析
四、最小平方法
第二节 时间数列的修匀方法
数据代入公式
得方程：
各个t值代入上述方程，可得各期趋势值。
如以2015年为原点，计算时数据更为简单一点。 P209
方程为：
t值代入方程就可以得到各个时期的趋势值。
第九章 动态趋势分析
一、二次曲线测定与分析
第三节 曲线趋势的测定与分析
（一）判定曲线形状的方法
1.画散点图：图形呈先升后降，或先降后升，有一明显转弯---拟合二次曲线方程
2.根据动态分析指标判断：
逐期增长量近似常量-----拟合直线方程
时间数列中二级增长量大体相同-----拟合抛物线方程
时间数列中各期环比增长速度大体相等-----拟合指数曲线
(二）计算公式
已知资料，画散点图，呈二次曲线形状，配合二次曲线方程：
以代入，得：
第九章 动态趋势分析
一、二次曲线
第三节 曲线趋势的测定与分析
求偏导数得联立方程：
可求得参数,c
以中间年份作为原点，上述联立方程还可再简化：
例6：某产品历年销售量资料如下表，用最小平方法测定趋势值 P210
第九章 动态趋势分析
年份 t y ty
2012 -4 5 -20 16 80 256 4.02
2013 -3 7 -21 9 63 81 7.93
2014 -2 10 -20 4 40 16 10.96
2015 -1 13 -13 1 13 1 13.11
2016 0 15 0 0 0 0 14.38
2017 1 16 16 1 16 1 14.77
2018 2 14 28 4 56 16 14.28
2019 3 12 36 9 108 81 12.91
2020 4 11 44 16 176 256 10.66
合计 0 103 50 60 552 708 -------
第九章 动态趋势分析
一、二次曲线测定与分析
第三节 曲线趋势的测定与分析
解：据已知资料，画散点图，呈二次曲线形状，配合二次曲线方程：
以中间年份为原点。
表中计算数列代入联立方程
+60c
解得：
第九章 动态趋势分析
一、二次曲线测定与分析
第三节 曲线趋势的测定与分析
二次曲线方程：
将t值代入方程，可得各期趋势值，见上表最后一栏。
第九章 动态趋势分析
二、指数曲线测定与分析
第三节 曲线趋势的测定与分析
（一）判定指数曲线形状的方法
1.画散点图：图形呈几何增长的狐形---拟合指数曲线方程
2.根据动态分析指标判断：
时间数列中各期环比增长速度大体相等-----拟合指数曲线
(二）计算公式
已知资料，计算环比增长速度，配合指数曲线方程：
两边取对数： b
第九章 动态趋势分析
二、指数曲线测定与分析
第三节 曲线趋势的测定与分析
设：
b
指数曲线方程化成：
可以用最小平方法计算A、B两个参数，再转化为a , b
从而确定指数曲线方程。
例7：某市家用空调销售量资料如下表。P212
第九章 动态趋势分析
年份 t y 环比增长速度（%）
2015 1 5.3 --- 0.7243 0.7243 1 5.33
2016 2 7.2 36 0.8573 1.7146 4 7.15
2017 3 9.6 33 0.9823 2.9469 9 9.59
2018 4 12.9 34 1.1106 4.4424 16 12.86
2019 5 17.1 33 1.2330 6.1650 25 17.25
2020 6 23.2 36 1.3655 8.1930 36 23.13
合计 21 75.3 --- 6.2730 24.1862 91 -------
第九章 动态趋势分析
二、指数曲线测定与分析
第三节 曲线趋势的测定与分析
解：设：
指数曲线方程化成：
A
=0.12747
A=0.59936
=1.341
a=3.975
第九章 动态趋势分析
二、指数曲线测定与分析
第三节 曲线趋势的测定与分析
指数曲线方程：
预测2021年（t=7)：
预测2022年（t=8)：
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第九章 动态趋势分析
一、季节变动及其意义
第四节 季节变动趋势的测定与分析
（一）季节变动的概念
指某些现象由于受自然因素和社会条件的影响，在一年之内，随着季节更换而有规律性变动 。
(二）分析季节变动的意义
1.有利于指导当前的社会生产和各种经济活动
2.规划未来行动
3.更好地研究长期趋势或循环变动
第九章 动态趋势分析
二、按月（或季）平均季节指数法
第四节 季节变动趋势的测定与分析
（一）按月（季）季节指数法的概念
如果时间数列不含长期趋势，不受长期趋势因素的影响，而公受季节变动因素的影响，对这样的时间数列进行季节变动测定所采用的方法称季节指数法。
(二）季节指数法步骤：
1.搜集历年各月（季）的资料
2.计算数年内同月（或同季）的平均数
3.计算总的月（或季）的平均数
4.计算各月（或各季）的季节指数。
5.预测
例8：某公司2016-2020各月T恤销售额资料如下表，并知2021年456月销售额50、85、91万元，并要求预测2021年7、8、9月销售额。 P209
第九章 动态趋势分析
二、按月（或季）平均季节指数法
第四节 季节变动趋势的测定与分析
年 月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计
2016 22 25 30 35 40 50 90 100 105 45 30 80 652
2017 33 35 45 40 45 55 100 120 115 60 40 30 718
2018 43 50 55 60 65 68 115 135 120 70 50 35 866
2019 48 52 60 65 72 78 120 140 130 80 62 45 952
2020 50 58 64 71 78 82 130 190 132 88 71 48 1062
合计 196 220 254 271 300 333 555 685 602 343 253 238 4250
分月平均数 39.2 44.0 50.8 54.2 60.0 66.6 111.0 137.0 120.4 68.6 50.6 47.6 850
/12
季节指数% 55.3 62.1 71.8 76.6 84.7 94.1 156.8 193.5 170.1 96.9 70.9 67.2 1200
第九章 动态趋势分析
二、按月（或季）平均季节指数法
第四节 季节变动趋势的测定与分析
解：计算季节指数如上表最后一行所示。
表中最后一行数据存在尾差，已在11月份调整（在此未采用校正系数调整）
第九章 动态趋势分析
二、按月（或季）平均季节指数法
第四节 季节变动趋势的测定与分析
预测2021年7月销售额
第九章 动态趋势分析
三、移动平均趋势剔除法
第四节 季节变动趋势的测定与分析
（一）移动平均趋势剔除法的概念
将时间数列中长期趋势因素、循环变动因素、不规则变动因素的影响通过移动平均等方法剔除，而计算的季节指数。
(二）移动平均趋势剔除法步骤：
1.进行两次偶数项移动平均，计算长期趋势值
2.将观察值除以长期趋势值-----剔除长期趋势影响
3.将几年同月（季）加总分别求出12个月（或四个季度）的平均数----剔除不规则变动影响
4.计算各月（或各季）的季节指数。
5.调校-----各月季节指数和应为1200%（或季400%），大或小须调整为1200%（或季400%）
例9：某公司2016-2020冷饮销售额资料如下表，并知2021年123月销售额16、22、52万元，并要求预测2021年6、7、8月销售额。 P217

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