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第三章 抽样分布
第一节 随机样本
第二节 抽样分布
本章小节
主要内容
第一节 随机样本
在统计学中，我们研究的问题一般集中在研究对象的某一数量指标。 比如某型号的电子元器件的寿命、一批某种产品的合格率等。因而，需要考虑通过与这一数量指标相联系的随机试验，来对这一数量指标进行试验或观测。
我们将试验的全部可能的观测值称为总体，每一个观测值称为个体，总体中所包含的个体数称为总体的容量。容量为有限的称为有限总体，否则称为无限总体。
3.1 关于抽样的基本概念
为什么要抽样
为了收集必要的资料，对所研究对象（总体）的全部元素逐一进行观测，往往不很现实。
抽
样
原因
元素多，搜集数据费
时、费用大，不及时而
使所得的数据无意义
总体庞大,难以对总体的全部元素进行研究
检查具有破坏性
炮弹、灯管、砖等
第一节 随机样本
简单随机抽样（x1, x2,……, xn）:
简单随机抽样是指从总体中抽取样本容量为n 的样本时，x1, x2,……, xn这n个随机变量必须具备以下两个条件：
这n个随机变量与总体X具有相同的概率分布；
它们之间相互独立。
第一节 随机样本
甲乙丙丁四个生产商，其产品质量如下表所示：
如果仅从AB两个生产商的产品中进行抽样，抽样质量就偏高；如果仅从CD两个生产商的产品中进行抽样，抽样质量就偏低；
因此采用简单随机抽样保证随机样本与总体具有相同的概率分布。
A B C D
质量 高 高 低 低
样本统计量与抽样分布:
在简单随机抽样中，样本具有随机性，样本的参数 ,s2等也会随着样本不同而不同，故它们是样本的函数，记为g（x1, x2,……, xn），称为样本统计量。
统计量的概率分布称为抽样分布（Sample
distribution）
3.1 关于抽样的基本概念
第一节 随机样本
3.1 关于抽样的基本概念
第二节 抽样分布
一、 统计量
定义
不含有任何未知参数的样本的函数，称为统计量 。显然，统计量为随机变量。
几个常用统计量
样本矩（样本均值；样本方差；原点矩，中心矩等）
几个常用统计量
二、几个常用的抽样分布
抽样分布的定义
统计量的分布称为抽样分布。
来自正态总体的几个常用统计量的分布，已有一些重要的结果（人们已经获得这些统计量的具体的分布密度函数）。下面介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布。
第二节 抽样分布
几
种
概
率
分
布
正态分布
分布
F分布
t分布
几种与正态分布有关的概率分布
若随机变量X的概率密度函数
则称X为服从正态分布的随机变量，记为
1. 正态分布
图4-1
一般正态分布
1. 正态分布
标准正态分布:
当 时，
记为U∽N（0，1）
图3-1
标准正态分布
1. 正态分布
非标准正态分布向标准正态分布的转化
若
标准化公式
则U∽N（0，1）
1. 正态分布
查表
当u大于零时，可查正态分布表
但如果u<0时，则可由式φ（-u）=1-φ(u)求出
1. 正态分布
线性性质：
如果 , 且相互独立。对于常数 ，有下式成立：
1. 正态分布
2. 分布
设 是来自总体 的样本，则称统计量
为服从自由度为 的 分布，记为
的一个重要性质：可加性
图3-2
χ2分布图
2. 分布
查表：
对于给定的α，0<α<1，可在 分布表中查得，即
例如
即指
2. 分布
设 ， ，且设 与 独立，则称统计量
为服从自由度为 的 分布，记为 。
可以证明，当 充分大时， 分布趋向于标准正态分布。
3. 分布
图3-3
n=∞正态分布
n=10
n=1
t分布图
3. t分布（Students 分布）
查表
或
性质:
当n很大时，
此时，tα/2≈uα/2，t分布近似标准正态分布。
3. t分布（Students 分布）
4. 分布
设 ,且设 独立，则称随机变量
为服从自由度为 的分布，记为
分布的上 分位点满足下列关系：
图3-4
F分布图
F
4. F 分布
有限总体
有限总体若采取有放回抽样，则与无限总体等价。有限总体容量为N而采取无放回抽样，且n/N≤0.1，仍可视为无限总体，而当n/N>0.1时则
称式 为有限总体的修正系数 。
4.3 样本平均数的抽样分布
5. 基于正态总体样本的均值与方差的分布
从总体中抽取样本容量为n的简单随机样本，当样本容量 n ≥ 30时，样本均值 的抽样分布可用正态概率分布近似。
中心极限定理
5. 基于正态总体样本的均值与方差的分布
（四）基于正态总体样本的均值与方差的分布
设 来自正态总体 的样本，
分别为样本的均值和方差。则
设 为来自正态总体 的样本，
为来自正态总体 的样本 ，
分别为两个样本的均值和方差。则
当 时，则
三、 样本比例的抽样分布
（一）重复抽样下样本比例的抽样分布
可以证明，
（二）不重复抽样下样本比例的抽样分布
可以证明，
本章小结
统计量是统计推断的基本变量。统计量是不含有任何未知参数的样本的函数。
统计量的分布称为抽样分布。
对于正态总体，我们给出了几个常用的统计量的分布。
对于实际应用中的比率问题，给出了大样本下的抽样分布。
思考题
思考题
思考题
案例讨论题
在1936年的美国总统选举中有两位候选人，即民主党候选人罗斯福（F.D.Roosevelt）和共和党候选人兰登（G.A.London）。 有一家文摘杂志通过从电话号码簿和一些俱乐部成员的名单中选取1000万人，以发出询问信的方式进行民意调查，共有240万人作出了回答。据此资料，此文摘杂志预测兰登将以获得57%的选票获胜，而罗斯福的得票率将是43%。而选举结果罗斯福的得票率则是62%，兰登仅得到38%的选票。 为此，这家杂志社很快就倒闭了。
自1916年以来，此家杂志每次所作的预测都是正确的，因而影响很大。 这次它的预测基于巨大数字的240万的答卷作出的，却预测错误。
当时有电话的家庭有1100万户，失业者有900万人。
有一个叫乔治.盖洛普（George Gallup）的人建立的一个调查组织从1000万人中随机选取了3000人，就提前知道了文摘将要得出的结论：兰登将以56%的选票获胜，这与文摘公布结果的仅差1%，而这个结论来自于3000人而非204万人。 盖洛普从更大的范围内随机选取了5000人，据此预测罗斯福将以56%得票率获胜，而兰登的得票率为44%。 与实际结果差6%。
讨论题：
（1）此文摘杂志社此次预测错误的根本原因？
（2）为什么盖洛普预测成功？
（3）预测的误差是否随着抽样数量的增加而减少？
（4）从这个案例分析中得到什么启发？

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