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(共36张PPT)
第五章 方差分析
第一节 单因素试验的方差分析
第二节 双因素试验的方差分析
本章小结
主要内容
例5.1.3 某灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了4批灯炮，在每批灯泡中随机抽取若干只进行寿命试验。我们关心的问题是这4种灯丝生产的灯泡其使用寿命有无显著差异？这里要分析的因素是配料方案。
第一节 单因素试验的方差分析
例5.1.1 设有m台机器生产同一种产品，记录每台的日产量。可以看到，不但不同机器的日产量可能各不相同，就是同一台机器在不同的生产日中其产量也未必相同。我们关心的是，这种日产量的差异是由于不同机器造成的，还是由于随机波动造成的。这里考虑的因素是不同机器的生产能力。
第一节 单因素试验的方差分析
我们把要考察的指标称为试验指标。如果在一个问题中有几项试验指标，我们将分别对每一项试验指标进行分析。影响试验指标的条件称为因素，一般用大写字母等表示。如果一项试验中只有一个因素在改变我们就称为单因素试验；因素所处的状态称为水平。
第一节 单因素试验的方差分析
例5.1.4 采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成—萘酚，测定所得产品的熔点如表5.1.1所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点？
设因素A有t个水平，在第i个水平下进行了ni次相互独立的试验，结果如下：
第一节 单因素试验的方差分析
方差分析的基本任务就是要检验假设
（1）
（2） 参数 的检验
方差分析的基本思想：构造一个适当的统计量，来描述数据的波动程度。将这个统计量分解为两部分，一部分是纯随机误差造成的影响，另一部分是除随机误差的影响外来自于因素效应的影响。然后将这两部分进行比较，如果后者明显比前者大，就说明因素的效应是显著的。
单因素试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F比
因素A
误差
总和
由此得到检验问题的拒绝域的形式：
该检验法的直观意义是：当组间差异相对于组内差异较大时就拒绝原假设 。
例1 采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成—萘酚，测定所得产品的熔点如下表所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点
产地1 产地2 产地3 产地4
124.0
123.0
123.5
123.0
123.0
123.0 121.5
121.0
123.0
123.5
121.0
解: 经过计算得到下列方差分析表
由上表可知，接受原假设，即原料萘的产地对萘酚熔点无显著影响 。
方差来源 平方和 自由度 均方 F比 F临界值
原料产地
误差
总和
4.6572
5.9792
10.6364
3
7
10
1.5524
0.8542
1.8174 3.07
第二节 双因素试验的方差分析
一、双因素等重复试验的方差分析
在实际中，影响一事物的因素有两个或更多。下面我们讨论双因素的方差分析问题。
双因素方差分析的基本思路：若某一因素的几个水平会引起事物很不同的结果，则这个因素就是重要的；若某一因素的几个水平仅是导致事物相近的结果，则这个因素就是不重要的。
设因素A有r个水平，因素 B有s个水平。
试验结果
因素B
因素A
B1
B2
Bs
A1
A2
Ar
此假设检验问题为
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F比
因素A
因素B
交互作用
误差
总和
此假设检验的拒绝域分别为:
在显著性水平 下，
假设 的拒绝域的形式为：
假设 的拒绝域的形式为：
假设 的拒绝域的形式为：
例2 某种火箭使用4种燃料（A），3种推进器（B）进行射程试验。在每种燃料与每种推进器的组合下火箭各发射两次，射程数据见下表。
试在显著性水平 下，检验不同燃料（因素A）、不同推进器（因素B）下射程是否有显著差异？交互作用是否显著？
B1 B2 B3
A1
A2
A3
A4 58.2，52.6
49.1，42.8
60.1，58.3
75.8，71.5
56.2，41.2
54.1，50.5
70.9，73.2
58.2，51.0
65.3，60.8
51.6，48.4
39.2，40.7
48.7，41.4
解 经过计算得到方差分析表
由于3个假设检验中的F值都大于其临界值，故可以认为燃料和推进器这两个因素对射程的影响是显著的，且交互作用是显著的。
方差来源 平方和 自由度 均方 F比 F临界值
因素A
因素B
交互作用A× B
误差
总和
261.675
370.981
1768.693
236.950
2638.298
3
2
6
12
23
87.225
185.490
294.782
19.746
FA=4.42
FB=9.39
FA×B=14.9 3.49
3.89
3.00
二、双因素无重复试验的方差分析
在上面的分析中，我们考虑了双因素间有交互作用的情况。 为了检验因素之间的交互作用是否显著，对于两个因素水平的每一组合至少要试验两次。如在实际中已知因素之间无交互作用，或交互作用对试验指标的影响很弱，则可以忽略交互作用。 此时我们上面讨论的模型得到了简化，同时试验的次数（对因素水平的每一组合）也可以是一次。
双因素方差分析的类型
无交互作用的
双因素方差分析
有交互作用的
双因素方差分析
假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系
假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应
双因素方差分析的类型
试验结果
因素B
因素A B1 B2 Bs
A1 X11 X12 X1s
A2 X21 X22 X2s
Ar Xr1 Xr2 Xrs
此假设检验问题为
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F比
因素A
因素B
误差
总和
此假设检验问题的拒绝域的形式为：
在显著性水平 下，检验问题的拒绝域分别为
假设 的拒绝域为
假设 的拒绝域为
例3 为了研究4种水稻品种对产量有无显著影响，分别在5块面积相同的试验地上种上同一品种的水稻，总共种了20块地。虽然每块地的面积是相同的，但各块地的土质可能有较大的差异。为获得试验结果的正确性，把20个试验单位按土质分为5类，每个组内有4个试验单位，它们的基本条件认为是相同的。在每一个组中，4种品种的水稻种子随机地播种在其中的一个试验单位上。下表是将4个品种的水稻播种在5个组上测得收获量的数据（单位：公斤）。在每一试验单位上水稻的播种量及其它条件可以认为都相同。设品种和地块的各水平搭配下收获量的总体都服从正态分布且方差相同。问在水平α=0.05下，品种对水稻收成有无显著影响。
试验数据
B1 B2 B3 B4 B5
A1
A2
A3
A4 32.3
33.2
30.8
29.5
34.0
33.6
34.4
26.2
34.7
36.8
32.3
28.1
36.0
34.3
35.8
28.5
35.5
36.1
32.8
29.4
解 经过计算得到方差分析表
由此可知，不同的水稻品种对水稻收成有显著的影响，不同的地块对水稻的收成无显著影响 。
方差来源 平方和 自由度 均方 F比 F临界值
品种A
块地B
误差
总和
3
4
12
19
3.49
3.26
本章小结
单因素方差的基本思想是，通过将观察数据的总偏差平方和进行分解，利用假设检验理论和方法，检验因素的各个水平所对应的试验结果有无显著差异，从而拒绝或接受因素各水平对应的正态总体的均值相等这一原假设。
双因素方差分析的基本思想与单因素方差的基本思想类似。只是双因素方差分析更为复杂一些.特别是因素之间有交互作用时的方差分析。
方差分析事实上非真正的对方差的分析，而是分析用偏差平方和度量数据的变异。

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