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第七章 时间序列分析
第一节 时间序列概述
第二节 时间序列的基本分析指标
第三节 时间序列变动趋势分析
主要内容
第七章 时间序列分析
第一节 时间序列概述
一、时间序列的含义及其作用
时间序列
时间序列是指某一统计指标数值按时间先后顺序排列而形成的数列。
例如：
国内生产总值（GDP）按年度顺序排列起来的数列；
某种商品销售量按季度或月度排列起来的数列等等都是时间序列。
时间序列一般用y1,y2, …，yt, …表示，t为时间。
时间序列的作用
在社会经济统计中，编制和分析时间序列具有重要的作用：
它为分析研究社会经济现象的发展速度、发展趋势及变化规律，提供基本统计数据。
通过计算分析指标，研究社会经济现象的变化方向、速度及结果。
将不同的时间序列同时进行分析研究，可以揭示现象之间的联系程度及动态演变关系。
建立数学模型，揭示现象的变化规律并对未来进行预测。
第一节 时间序列概述
第一节 时间序列概述
二、时间序列的种类
时间序列按其所排列指标的表现形式不同，可分为绝对指标时间序列、相对指标时间序列和平均指标时间序列。
（一）绝对指标的时间序列
按时间顺序将一系列绝对指标排列起来所形成的序列称为绝对指标时间序列。用来反映被研究现象在各个时期（时点）达到的绝对水平及其发展变化情况。绝对指标时间序列按其所反映资料的性质不同，又可分为时点序列和时期序列。
二、时间序列的种类
时期序列
当绝对指标时间序列中每一指标数值反映的是某种现象在一段时期内发展过程的结果或总量时，这种序列称为时期序列。
其主要特点是：
时期序列的各指标具有可加性；
时期序列中各指标数值大小与其所属时期长短有直接联系 ；
时期序列中的各指标是连续登记取得的 。
如一国每年的国内生产总值是一年内所有常住单位的增加值之和。全年的国内生产总值由各月国内生产总值相加而得。
二、时间序列的种类
时点序列
当绝对指标时间序列中每一指标数值反映的是某种现象在某一时点达到的水平时，这种序列称为时点序列。如人口数、土地面积、商品库存在某一时点的数值组成的序列等皆为时点序列。
其主要特点是：
时点序列的各个指标不具有可加性；
时点序列中各指标数值大小与时间间隔长短没有直接联系 ；
时点序列中各指标是采用间隔登记方式取得的。
二、时间序列的种类
（三）平均指标时间序列
平均指标时间序列是按时间顺序，把各个时期的平均指标排列起来所形成的序列。它反映社会经济现象一般水平的发展过程和发展趋势。平均指标时间序列中各个指标数值也不具有可加性。
（二）相对指标时间序列
相对指标时间序列是按时间顺序，把不同时期的相对指标排列起来所形成的序列。它反映社会现象之间相互关系的发展过程。在相对指标时间序列中，由于各个指标数值的基数不同，因此不具有可加性。
编制时间序列的目的就是要通过对序列中的各个指标值进行分析，来研究社会经济现象的发展变化及其规律。因此保证时间序列中各个不同时间上的统计指标具有可比性，是编制时间序列的基本原则。可比性原则具体体现在以下几个方面：
时间序列中各指标所属时间长短应前后一致；
时间序列中各指标所反映现象的总体范围应一致 ；
时间序列中各指标的经济内容应一致；
时间序列中各指标的计算方法应相同；
时间序列中各指标的计算价格和计量单位要一致
三、时间序列的编制原则
第二节 时间序列的基本分析指标
一、时间序列的水平分析指标
（一）发展水平
发展水平即时间序列中每一具体指标数值，反映的是经济现象在各个时期内实际达到的规模或水平。发展水平可以是绝对数、相对数或平均数。
通常时间序列用 表示。我们把 称为最初水平， 称为最末水平，处于二者之间的各时期的指标值称为中间水平。
一、时间序列的水平分析指标
(二）平均发展水平
平均发展水平又称为时序平均数或动态平均数，是将时间序列中不同时期的发展水平加以平均，从动态上说明现象在某一时期内发展的一般水平 。
1. 绝对数时间序列时序平均数的计算
绝对数时间序列又分为时期序列和时点序列，二者计算时序平均数的方法有所不同。
一、时间序列的水平分析指标
时期序列时序平均数的计算
时点序列时序平均数的计算
① 连续时点序列时序平均数的计算
第一种情况：对逐日登记排列的时点序列资料（连续时点序列），可视为时期序列，其时序平均数的计算采用简单算术平均法。即
一、时间序列的水平分析指标
第二种情况：当资料不是逐日登记，而只在数值发生变动时才登记的时点序列资料（连续时点序列）时，其时序平均数的计算以变量值的持续时间为权数进行加权平均，即
一、时间序列的水平分析指标
例7.2.1 某企业人事部门对职工人数的记录如表7.2.1所示，计算该月份日平均职工人数。
表7.2.1 某企业8月份职工人数资料
一、时间序列的水平分析指标
② 间断时点序列时序平均数的计算
例7.2.2 某企业人事部门对上半年职工人数的记录如表7.2.2所示，计算该企业上半年的月平均职工人数。
一、时间序列的水平分析指标
当间断登记时点序列资料，且间隔不等，其时序平均数的计算是以间隔为权数，对各间隔的平均水平进行加权平均。
一、时间序列的水平分析指标
例7.2.3 某企业某年库存钢材如表7.2.3所示，求该企业年平均钢材库存量。
一、时间序列的水平分析指标
2．相对数或平均数时间序列时序平均数的计算
计算公式表示为
一、时间序列的水平分析指标
例7.2.4　某企业2018年各季度产值计划完成情况如表7.2.4所示，计算该企业2018年产值平均计划完成程度。
一、时间序列的水平分析指标
(三) 增长量
　　增长量是时间序列中两个不同时期发展水平之差，又称为增长水平。表明现象在一定时期内增长的绝对数量。
增长量＝报告期水平－基期水平
　　增长量由于基期水平选择不同，可分为累积增长量和逐期增长量。逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差，用公式表示为
　　累积增长量是报告期水平与某一固定期水平之差，用公式表示为
一、时间序列的水平分析指标
（四）平均增长量
　　平均增长量是时间序列中各逐期增长量的时序平均数，也称为平均增长水平，表明现象在一定时期内平均每期增长的绝对数量，也属于时序（动态）平均数范畴，可以用简单算术平均法计算。
一、时间序列的水平分析指标
　例7.2.5 我国2008～2014年普通高校各年的在校学生人数如表7.2.5所示，计算逐年增长量、累计增长量和年平均增长量。
二、时间序列的速度分析指标
　　反映现象发展变化的速度指标主要有发展速度、增长速度、平均发展速度和平均增长速度四种，它们之间具有密切的关系，其中发展速度是最基本的速度指标。
1．发展速度
　环比发展速度和定基发展速度的关系
2．增长速度
增长速度是增长量与基期水平之比，用公式可以表示为
　　
二、时间序列的速度分析指标
　增长速度按基期水平选择的不同分为定基增长速度和环比增长速度。
环比增长速度（环比增长率）是逐期增长量与其基期水平之比
二、时间序列的速度分析指标
定基增长速度（定基增长率）是累积增长量与其基期水平之比
增长1%的绝对值
　　它是逐期增长量除以环比增长速度，也可以表示为
　　
　　增长1%的绝对值=基期水平(或前一期水平)×1%
二、时间序列的速度分析指标
例7.2.6 我国2008～2014年R&D支出如表7.2.6所示，根据这些资料计算发展速度、增长速度及增长1％的绝对值。
二、时间序列的速度分析指标
3．平均发展速度与平均增长速度
平均发展速度与平均增长速度通称为平均速度。
平均增长速度＝平均发展速度－1
几何平均法（水平法）
二、时间序列的速度分析指标
方程法（总和法）
　
　若关心末期发展水平时，宜采用几何平均法计算平均发展速度，例如产量、产值、人口数等流量指标；
　若关心各期累计水平时，宜采用方程法计算平均发展速度，例如基本建设投资、植树造林面积等存量指标。
一、时间序列的影响因素及分析模型
（一）时间序列的影响因素
时间序列分析是一种动态的数列分析，其目的在于掌握统计数据随时间变化的规律。时间序列中每一时期的数值都是由许多不同的因素同时发生作用后的综合结果。
在进行时间序列分析时，人们通常将各种可能发生影响的因素按其性质不同分成四大类：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。
第三节 时间序列变动趋势分析
（一）时间序列的影响因素
时间序列的
四种独立成分
长期趋势
循环
季节
不规则
1．长期趋势
长期趋势是指由于某种根本性因素的影响，时间序列在较长时间内朝着一定的方向持续上升或下降，以及停留在某一水平上的倾向。它反映了事物的主要变化趋势。
2．季节变动
季节变动是指由于受自然条件和社会条件的影响，时间序列在一年内随着季节的转变而引起的周期性变动。经济现象的季节变动是季节性的固有规律作用于经济活动的结果。
（一）时间序列的影响因素
3．循环变动
循环变动一般是指周期不固定的波动变化，有时是以数年为周期变动，有时是以几个月为周期变化，并且每次周期一般不完全相同。循环变动与长期趋势不同，它不是朝单一方向持续发展，而是涨落相间的波浪式起伏变动。与季节变动也不同，它的波动时间较长，变动周期长短不一，
4．不规则变动
不规则变动是指由各种偶然性因素引起的无周期变动。不规则变动又可分为突然变动和随机变动。所谓突然变动，是指诸如战争、自然灾害、地震、意外事故、方针、政策的改变所引起的变动；随机变动是指由于大量的随机因素所产生的影响。不规则变动的变动规律不易掌握，很难预测。
（一）时间序列的影响因素
时
间
序
列
不
规
则
成
分
分离出趋势成分
分离出循环成分
分离出季节成分
时间序列分析
时间序列由长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四类因素组成。四类因素的组合形式，常见的有以下几种类型：
1．加法型　 yt = Tt + St + Ct + It
2．乘法型 　yt = Tt·St·Ct·It
3．混合型 　yt = Tt·St + Ct + It
　yt = St + Tt·Ct·It
　　　其中：yt 为时间序列的全变动；Tt为长期趋势；St为季节变动；Ct为循环变动；It为不规则变动。
二、长期趋势分析
二、长期趋势分析
（一）移动平均法
　　　移动平均法也称为时间序列修匀。移动平均法是根据时间序列资料逐项推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。
　移动平均项数为偶数时，需要进行两次移动平均。第2次移动平均的项数为2项。二项移正动平均数就是时间序列某些时期的长期趋势值。
二、长期趋势分析
时期 指标值 三项移动平均 四项移动平均 二项移动平均
t1 y1
t2 y2 (y1+y2+y3)/3
=(y1+y2+y3+y4)/4
t3 y3 (y2+y3+y4)/3
=(y2+y3+y4+ y5)/4
t4 y4 (y3+y4+y5)/3 =
=(y3+y4+y5+ y6)/4
t5 y5 (y4+y5+y6)/3

… … … …
tn yn
表7.3.1 移动平均公式（N=3,N=4）
二、长期趋势分析
例7.3.1　用移动平均法测算我国粮食产量的变化趋势，数据如表7.3.2所示。
表7.3.2 移动平均法趋势模拟值计算表
年度 代号 粮食产量
（万吨） 三项移动平均 四项移动平均 二项移动平均
2009 y1 53940.9
2010 y2 55911.3 56233.8
y23=57481.0
2011 y3 58849.3 58661.1 58619.4
y34=59757.8
2012 y4 61222.6 61040.0 60734.5
y45=61711.2
2013 y5 63048.2 62745.2 62642.6
y56=63574.0
2014 y6 63964.8 64357.8 64176.6
y67=64779.2
2015 y7 66060.3 65356.2 65168.3
y78=65557.3
2016 y8 66043.5 66088.2 65785.3
y89=66013.4
2017 y9 66160.7 65997.7

2018 y10 65789.0
二、长期趋势分析
（二）趋势方程
　　趋势方程法也称为数学模型法或时间序列的回归分析法。根据长期趋势是直线还是曲线（二次抛物线、指数曲线等），建立的长期趋势方程分别为：
　　　直线：
　　二次抛物线：
指数曲线：
三、季节因素（the seasonal factors）分析
三、季节因素（the seasonal factors）分析
1．简单平均法
　　简单平均法也称为同期平均法，就是根据多年的月（季）资料，算出该月（季）平均数，然后将各月（季）平均数与总月（季）平均数对比，从而得到季节比率，用它来说明季节变动情况。
三、季节因素（the seasonal factors）分析
　简单平均法计算简单，但没有考虑长期趋势的影响，当时间数量存在明显上升趋势时，年末季节比率就会偏高；当时间数量存在明显下降趋势时，年末季节比率就会偏低。只有当时间序列没有明显的长期趋势时，这种方法才比较适宜。
三、季节因素（the seasonal factors）分析
　
例7.3.2 某商场某种商品的销售量资料如表7.3.3所示，用简单平均法求它的季节趋势变动。解：首先计算四年同季平均数。如第一季度四年的平均销售量为
三、季节因素（the seasonal factors）分析
2．趋势剔除法
　趋势剔除法适用于存在明显的长期趋势的时间序列。它的思路是：先测定时间序列的长期趋势，将趋势值从时间序列中剔除，然后再测定季节变动。
加法模型中季节因子的确定
　　由于季节因子是作为一年（季）中指标上下浮动的平均效果，因此它们的和应该为零。如果它们的和不等于零，就需要对季节因子进行修正。
三、季节因素（the seasonal factors）分析
乘法模型中季节因子的确定
y=T×S×R
S=y/T
其中，T可以由前面得出，设R=1，则
　由于季节因子是由算术平均求得的，因此它们的百分比数的和应该为400(按季度)，如果它们的和不等于400，就需要对季节因子作修正，因而对于乘法模型的因子修正为
四、时间序列的季节调整
　　根据长期数据计算出季节因子，然后从数据中剔除季节影响，以显示在没有季节变化条件下将来的趋势会如何变动。这称为时间序列的季节调整。
模型好坏取决于：
（1）季节因子S的精确识别——基本假定是由历史数据能识别出季节因子；
（2）在上式的右边还有循环因子和随机因子，基本假定是对它们的取值规律有较多的了解；
四、时间序列的季节调整
例7.3.3　对例7.3.2中的某商场某种商品销售量资料利用乘法模型确定季节变动趋势因子。
解：计算结果如表7.3.4和表7.3.5所示。
（1）四项移动平均法测长期趋势。由移动平均数形成的序列的主要成分为TC，就是说通过移动平均基本上消除了SR。
（2）剔除长期趋势。方法是用原时间序列Y去除测定出的长期趋势值TC，即Y/(TC)=SR，它包含了不规则变动影响的季节比率的估计值。
例7.3.3　
例7.3.3　
（3）消除不规则变动的影响，求季节比率。将剔除了长期趋势的四季各资料重新排列，用简单平均法计算季节比率。
　　如2016年至2018年第一季度的季节比率分别为80.65％，88.89％，84.71％，三者的差异主要是不规则变动引起的，经过简单算术平均得84.75％，将其与总季节平均数对比，得季节比率S。
（4）季节比率之和应等于400％或1200％，若不等，需要对季节比率进行修正。计算结果如表7.3.5所示。
例7.3.3　
　最后根据消除了季节变动的时间序列测定长期趋势值，然后利用季节比率调整原时间序列各期的预测值，计算结果如表7.3.6所示。
例7.3.3　
例7.3.3　
例7.3.3
2019年各季销售量预测值，如表7.3.7所示。
五、循环因子分析
循环因子分析的意义在于探索现象变化的规律性。分析现象之间循环因子的内在联系，为微观和宏观决策提供数据支持。
在社会生活中已知的一些循环有
Kuznet长波
各国的国民生产总值和人口迁移大体有20年的循环。
商业循环
在贸易等流通领域，通常有1—12年的循环。
剩余法
首先假定影响时间序列变动的各因素是乘积关系，即以乘法模型为基础，Y=T·S·C·R；
然后从时间序列中剔除长期趋势和季节变动，即Y/T·S=C·R；
最后在此基础上，通过移动平均剔除不规则变动R，剩余的即为循环因子值C。
六、随机因素和残差
加法模型中随机因子的计算
　　在不计循环因子的前提下，加法模型中随机因子（也称为残差）可由下式算出：
其中， 为修正后的加法模型季节因子。
乘法模型中随机因子的计算
残差为
其中
为修正后的乘法模型季节因子。
，
七、预测（predictions）
　　　在时间序列分析中，何时用加法模型？何时用乘法模型？常用的方法是看残差平方和或残差平方和的平均值，在加法模型中残差即为随机因子，在乘法模型中残差等于y-TS。残差平方和或残差平方和的平均值小的那种模型较好。　　
　　在识别出趋势和季节因子后，就可以进行预测。预测的准确性由趋势、季节因子和误差所决定。

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