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集合、命题、充要条件
基础知识自测题：
集合常用的表述方法有列举法或描述法。
2．一个集合里的各个对象叫做这个集合的元素；集合中的元素具有的特性是确定性、互异性、无序性。
写出课本中使用的数集的符号：自然数集 N ；整数集 Z ；有理数集 Q ；无理数集 Q ；实数集 R ；非负实数集。
若集合A＝{x| |x|≤1,x∈Z}, B＝{y| y2＝x, y∈R}，当x∈A时, 集合B用列举法表示是
。
非空集合P、Q、R满足关系P∪Q＝Q，Q∩R＝Q，则P与R的关系是（ B ）。
（A）P＝R （B） （C） （D）
如果B成立，那么A成立，或者如果A不成立，那么B不成立，就说条件A是B成立的必要条件。
已知A、B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件；是的充分条件。
设X、Y是两个非空集合，则元素a∈(X∪Y)是a∈(X∩Y)的（ B ）。
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）不充分不必要条件
二．基本要求：
理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义。
了解属于、包含、相等的关系，能掌握有关的基本术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合。
理解充分条件、必要条件、充要条件的意义能够初步判断给定的两个命题的充要关系。
集合{1, 2, 3, 4}的非空真子集的个数是 14 个。
解：由四个元素中分别取1个、2个或3个元素组成的集合种数是＝14。
评注：用组合数的思想解决集合子集的个数问题。若题目中没有“非空”与“真”
这样的限制条件，则子集的数目应是24＝16个。
若A＝{2, 4, a3－2a2－a＋7}, B＝{－4, a＋3, a2－2a＋2, a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B＝{2, 5},求实数a的值，并求出A∪B。
解：∵A∩B＝{2, 5}， ∴5∈A，则a3－2a2－a＋7＝5，解得a1＝－1, a2＝1, a3＝2.
当a＝－1时, B＝{－4, 2, 5, 4}, A∩B＝{2, 4, 5},不合题意，舍去；
当a＝1时, B＝{－4, 4, 1, 12}, A∩B＝{4}, 不合题意，舍去；
当a＝2时, B＝{－4, 5, 2, 25}, A∩B＝{2, 5}, A∪B＝{－4, 2, 4, 5, 25}。
评注：运用列举法，把a的各种可能都求出，逐一代入验证，找到正确答案。
例3．设全集I＝{x| x是不大于20的质数}，且A∩＝{3, 5}, ∩B＝{7, 19},∩＝
{2, 11}, 求集合A、B。
解：I＝{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19},∵∩B＝{7, 19}且∩＝{2, 11}, ∴集合A中不含有元素2，7，11，19，同理集合B中不含有元素2，3，5，11，∴A＝{3, 5, 13, 17},
B＝{7, 13, 17, 19}。
评注：根据原集合的补集中含有的元素一定不是原集合中
的元素可以画出文氏图表明集合关系。
例4．已知h>0，设命题甲为：两个实数a, b满足|a－b|<2h,
命题乙为：两个实数a, b满足条件|a－1| （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）不充分不必要条件
解：若B成立，即|a－1|∴甲是乙的必要条件；反之若甲成立，即|a－b|<2h，取a＝5, b＝4, h＝1，则乙不成立。
∴甲不是乙的充分条件。选B。
评注：构造反例是判断命题正确与否的重要方法。
三．基本技能训练题：
用列举法将1，2，3三个数字排成的无重复数字的三位数的集合表示出来是{123, 132,213, 231, 312, 321}
已知集合I＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A＝{3, 4, 5}, B＝{1, 3, 6},那么集合{2, 7, 8}是（ D ）。
（A）A∩B （B）A∪B （C）∪ （D）∩
已知集合I＝{2, 4, a2－a＋5}, A＝{a＋1, 2}, ＝{b}, 那么实数a, b分别为a＝ 3 ; b＝ 13 。
已知集合A＝{x| x－a<0}, B＝{x| x2―2x―8<0}, 若A∩B＝φ，则a∈ (－∞, －2] ,
若AB，则a∈ [4, ＋∞)。
如图，I表示全集，则灰色部分表示的集合是。
集合{x| x∈N且x<7}的含有元素1，但不含有元素5的真子集的个数是（ A ）。
（A）16个 （B）15个 （C）32个 （D）31个
已知集合A＝{a| a＝5x＋3, x∈N}, B＝{b| b＝7y＋2, y∈N},则A∩B中最小的元素是 23 。
是(A∩C)(B∩C)成立的（ A ）。
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）不充分不必要条件
与命题“曲线C上的点的坐标都是方程f (x, y)＝0的解”等价的命题是（ B ）。
以方程f (x, y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
坐标不是方程f (x, y)＝0的解的点都不在曲线C上
不在曲线C上的点的坐标都不是方程f (x, y)＝0的解
以方程f (x, y)＝0的解为坐标的点不都在曲线C上
10．在空间四点中，无三点共线是四点共面的（ D ）。
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）不充分不必要条件
 四．试题精选
(一) 选择题：
1．设集合M＝{x| f (x)＝0}, N＝{x| g(x)＝0},那么方程f (x)·g(x)＝0的解是（ A ）。
（A）M∪N （B）M∩N （C）N （D）M
2．设I＝{(x, y)| x, y∈R}, 集合M＝{(x, y)| ＝1}, 集合N＝{(x, y)| y≠x＋1},则等于（ B ）。
（A）φ （B）（2，3） （C）(3, 2) （D）{(x, y)| y＝x＋1}
3．满足A∪B＝{a1 , a2}的集合A、B的组数是（ C ）。
（A）5组 （B）7组 （C）9组 （D）10组
4．已知A＝{x| |x－1|0}，B＝{x| |x－3|>4}，且A∩B＝φ，则C的取值范围是（ D ）。
（A）c>2 （B）c≤2 （C）0 5．如果，那么A是B的（ A ）。
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）不充分不必要条件
6． “在△ABC中，A＝60°，且 cosB＋cosC＝1”是“△ABC是等边三角形”的（ C ）。
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）不充分不必要条件
7．已知M＝{x| x＝a2＋2a＋4, a∈R}，N＝{y| y＝b2－4b＋6, b∈R}，则M、N之间的关系是（A）。
（A）MN （B）MN （C）M＝N （D）M与N无包含关系
8．已知f (x), g(x)为实数函数M＝{x| f (x)＝0}，N＝{x| g(x)＝0}，则方程[f (x)]2＋[g(x)]2＝0的解集是（C）。
（A）M （B）N （C）M∩N （D）M∪N
9．集合A＝{(x, y)| y＝a|x|}，B＝{(x, y)| y＝x＋a}，C＝A∩B，且集合C为单元素集合，则实数a的取值范围是（A）。
（A）|a|≤1 （B）a>1或0<|a|<1 （C）a>1 （D）a>1或a<0
10．非零集合P满足下列条件：① P{1, 2, 3, 4, 5}; ② 若元素a∈P,则6－a∈P，那么集合P的个数是（B）。
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
(二) 填空题：
11．已知x, y∈R，A＝{(x, y)| x2＋y2＝1}，B＝{(x, y)| ＝1, a>0, b>0}, 当A∩B只有一个元素时，a, b的关系是
12．集合M＝{x, xy, lg(xy)}，N＝{0, |x|, y}，且M＝N，则实数x＝ －1 , y＝ －1 。
13．设集合A＝{长方体}，B＝{正四棱柱}，则“x∈A”是“x∈B”的 必要不充分 条件。
14．设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 既不充分也不必要 条件。
15.设集合A＝{2, 3, a2＋1}，B＝{a2＋a－4, 2a＋1, －}，A∩B＝{2}，则实数a＝ －3 .
16．已知I＝{(x, y)| x∈R, y∈R}，A＝{(x, y)| ＝－1}, B＝＝{(x, y)| y＝kx＋b}, 若A∪B＝B，则实数k的值为 －1 ，实数b的值为 －4 .
17．若a, b是非零实数，m＝，则数m的集合是 {1, －3} .

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