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§6.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
[学习目标]　
1.理解并掌握向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．
一、向量加法的三角形法则
问题1　两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
问题2　如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
知识梳理　
已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.求两个向量和的运算，叫做向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的____________法则．
例1　如图所示，
(1)a＋b＝________；
(2)c＋d＝________；
(3)a＋b＋d＝________；
(4)c＋d＋e＝________.
反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量的起点到最后一个向量的终点，即＋＋…＋＝.
跟踪训练1　点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于(　　)
A. B. C. D．0
二、向量加法的平行四边形法则
问题3　如图，作AD綉BC，向量与是什么关系？
问题4　由向量加法的三角形法则可知，＋＝，则＋与相等吗？
问题5　四边形ABCD的形状如何？
知识梳理　
1.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的________________法则．
2．从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的．
3．对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.
例2　(1)如图①所示，求作向量a＋b；
(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.
跟踪训练2　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．
(1)＋＝_______________；
(2)＋＝___________；
(3)＋＝____________.
三、共线向量的加法与向量加法的运算律
问题6　请结合课本例1，探索一下|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？
问题7　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？
知识梳理　
1．一般地，我们有|a＋b|≤________，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立．
2．(加法交换律)a＋b＝________；
(加法结合律)a＋(b＋c)＝________.
例3　(1)已知a，b均为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法中正确的是(　　)
A．a∥b，且a与b的方向相同
B．a，b是方向相反的向量
C．|a|＝|b|，且a与b的方向相反
D．a，b无论什么关系均可
(2)化简：
①＋；
②＋＋；
③＋＋＋＋.
反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．
(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
跟踪训练3　已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
四、向量加法的实际应用
例4　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度．
延伸探究　在静水中船的速度的大小为20 m/min，水流的速度的大小为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
跟踪训练4　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
1．知识清单：
(1)向量加法的三角形法则．
(2)向量加法的平行四边形法则．
(3)向量三角不等式．
(4)向量加法的运算律．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点．
1．化简＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
2．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　)
A．1 B. C．3 D．2
3．(多选)下列等式不正确的是(　　)
A．a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b
B.＋＝0
C.＝＋＋
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
6.2.1　向量的加法运算
问题1　不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法.
问题2　这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同.因此，位移可以看作位移与合成的，即可以看作与的和.
知识梳理
三角形
例1　(1)c　(2)f　(3)f　(4)g
跟踪训练1　A
问题3　＝.
问题4　相等.
问题5　平行四边形.
知识梳理
1.平行四边形
例2　解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示.
(2)方法一　(三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c即为所求.
方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则＝＋＝a＋b＋c即为所求.
跟踪训练2　(1)　(2)　(3)0
解析　(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝.
(2)因为＝，
故＋与方向相同，
长度为的长度的2倍，
故＋＝.
(3)因为＝，
故＋＝＋＝0.
问题6　(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
问题7　如图1，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作 ABCD，容易发现＝b，＝a，故＝＋＝a＋b.又＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a.所以满足交换律.
如图2，不难证明满足结合律.
知识梳理
1.|a|＋|b|
2.b＋a　(a＋b)＋c
例3　(1)A　[因为|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当a与b方向相同时取等号).]
(2)解　①＋＝＋＝.
②＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
③＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
跟踪训练3　2
解析　|＋＋＋|
＝|＋＋＋|
＝|＋|＝2||＝2.
例4　解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度.
∴||＝＝20(km/h)，
∵tan∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝60°，
∴小船的实际航行速度的大小为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行.
延伸探究　解　作出图形，如图所示.船速v船与岸的方向成角α，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，
四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10，
||＝|v船|＝20，
所以cos α＝＝＝，
所以α＝60°，
从而船与水流方向成120°的角.
所以船是沿与水流的方向成120°角的方向行进.
跟踪训练4　解　如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，
则＋＝.
由题意可得
∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°
＝10×＝5(N).
∴A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N.
随堂演练
1.C　2.B　3.BD　4.B

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