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6.2.3　向量的数乘运算
[学习目标]　
1.了解向量数乘的概念.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.
3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法．
一、向量的数乘运算
问题1　如图，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？
　
知识梳理　
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的______，记作________，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝________.
2 λa a≠0 的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝________.
当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
例1　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是(　　)
A．当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反
B．当λ＝0时，λa与a是共线向量
C．|λa|＝λ|a|
D．当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同
反思感悟　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模．
跟踪训练1　已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　)
A．|a|＝|b|
B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同
D．a与b的方向相反
二、向量的线性运算
知识梳理　
1．数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝________.
(2)(λ＋μ)a＝________.
(3)λ(a＋b)＝________.
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2．向量的线性运算
向量的________、________、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝________.
例2　(1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　)
A．－a B．－b C．－c D．c
(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
反思感悟　向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
跟踪训练2　计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
三、用已知向量表示其他向量
例3　如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a－b B.a＋b
C．a＋b D．a－b
跟踪训练3　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　)
A.＋ B.－
C.－ D.＋
四、向量共线定理
问题2　如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)
知识梳理　
向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________．
例4　设a，b是不共线的两个向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，
求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
延伸探究　若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y，求证：x＋y＝1.
跟踪训练4　已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．
1．知识清单：
(1)向量的数乘及运算律．
(2)向量共线定理．
(3)三点共线的常用结论．
2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法．
3．常见误区：忽视零向量这一个特殊向量．
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c等于(　　)
A．10d B．－10d C．20d D．－20d
2．(多选)下列运算正确的是(　　)
A．(－3)·2a＝－6a
B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D．2(3a－b)＝6a－2b
3.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，那么向量＋等于(　　)
A. B. C. D.
4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝______.
6.2.3　向量的数乘运算
问题1　＝＋＋
＝a＋a＋a＝3a.
＝＋＋
＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍；－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍.
知识梳理
向量　数乘　λa　(1)|λ||a|
(2)λ>0　λ<0　0
例1　ABD　跟踪训练1　C
知识梳理
1.(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb
2.加　减　数乘　λμ1a±λμ2b
例2　(1)C　(2)4b－3a
跟踪训练2　解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
例3　D　[因为E是BC的中点，
所以＝＝－
＝－b，
所以＝＋＝＋
＝a－b.]
跟踪训练3　D
问题2　共线，存在.
知识梳理
b＝λa
例4　(1)证明　∵＝－
＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
∴与共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线.
(2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，
使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线，∴
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
延伸探究　证明　∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ，
即－＝λ(－)，
∴＝(1＋λ)－λ，
又＝x＋y，
则x＝1＋λ，y＝－λ，
∴x＋y＝1.
跟踪训练4　A，B，D
随堂演练
1.B　2.ABD　3.A　4.－

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