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6.2.4　向量的数量积(二)
[学习目标]　
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
一、向量数量积的运算律
知识梳理　
1．对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
2.
多项式乘法 向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝__________
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝__________
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b) ＝________
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝________
例1　(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
(2)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则·等于(　　)
A. B．－ C. D．－
反思感悟　(1)运用a·b＝|a||b|cos θ计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，求解时要灵活运用数量积的运算律．
(2)若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算．
跟踪训练1　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们两两不共线，给出下列结论，正确的是(　　)
A. a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)a－(c·a)b不与c垂直
C．|a|－|b|<|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
二、利用数量积求向量的模和向量的夹角
例2　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|；
②当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
反思感悟　(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．
(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解．
跟踪训练2　已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，求a与b的夹角．
三、与垂直有关的问题
例3　已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4 B．－4 C. D．－
反思感悟　解决有关垂直问题时利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)．
跟踪训练3　已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求a与b的夹角．
1．知识清单：
(1)向量数量积的运算律．
(2)利用数量积求向量的模和夹角．
(3)向量垂直的应用．
2．方法归纳：类比法．
3．常见误区：忽略向量数量积不满足结合律．
1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　)
A．2 B．2 C．6 D．12
3．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值为(　　)
A. B. C. D.
4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________．
6.2.4　向量的数量积(二)
知识梳理
2.a2＋2a·b＋b2　a2－2a·b＋b2　a2－b2　a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
例1　(1)B
(2)D　[∵E，F是菱形ABCD中边BC，CD的中点，
∴＝＋，
＝＝(－)，
又||＝||＝2，且∠BAD＝60°，
∴·＝·(－)
＝·＋||2－||2
＝||||cos 60°＋×22－×22＝－.]
跟踪训练1　ACD　[根据数量积的分配律知A正确；
∵[(b·c)a－(c·a)b]·c
＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，
∴(b·c)a－(c·a)b与c垂直，B错误；
∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确.]
例2　(1)2
(2)解　①因为(a－b)·(a＋b)＝，
即a2－b2＝，
即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，
故|b|＝.
②因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，
故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b
＝1－＝，
所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
跟踪训练2　解　设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，
∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.
又θ∈[0，π]，
∴θ＝，即a与b的夹角为.
例3　B　[由题意知，
＝＝，
所以m·n＝|n|2＝n2，
因为n⊥(tm＋n)，
所以n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝0，
即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.]
跟踪训练3　解　设a与b的夹角为θ，
由已知得(a＋2b)·(3a－b)
＝3a2＋5a·b－2b2
＝3＋10cos θ－8＝0，
所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，
所以θ＝60°，
即a与b的夹角为60°.
随堂演练
1.B　2.B　3.C　4.

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