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6.2.4　向量的数量积(一)
[学习目标]　
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会计算平面向量的数量积．
一、两向量的夹角
问题　在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是谁与谁的夹角？
知识梳理　
1.夹角：已知两个________________a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则__________叫做向量a与b的夹角，也可以记作〈a，b〉．当θ＝0时，a与b________；当θ＝π时，a与b________.
2．垂直：如果a与b的夹角是________，我们说a与b垂直，记作________．
例1　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
反思感悟　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
跟踪训练1　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
二、两向量的数量积
知识梳理　
1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作__________，即________________．
规定：零向量与任一向量的数量积为________．
2．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b ____________.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|________|a||b|.
(5)cos θ＝.
例2　已知正△ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
反思感悟　定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
跟踪训练2　(1)在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝______，·＝________.
(2)设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________．
三、投影向量
知识梳理　
1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b______，叫做向量a在向量b上的________向量．
2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe.
例3　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量．
反思感悟　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量)．
跟踪训练3　(1)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是________．
(2)已知a·b＝16，e为与b方向相同的单位向量．若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝________.
1．知识清单：
(1)向量的夹角．
(2)向量数量积的定义．
(3)投影向量．
(4)向量数量积的性质．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：向量夹角共起点；a·b>0 两向量夹角为锐角，a·b<0 两向量夹角为钝角．
1．已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　)
A．3 B．－3
C．－3 D．3
3．已知正方形ABCD的边长为2，则·的值等于(　　)
A．4 B．－4
C．－2 D．2
4．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，所以与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为____________．
6.2.4　向量的数量积(一)
问题　θ是向量F与向量s的夹角.
知识梳理
1.非零向量　∠AOB＝θ(0≤θ≤π)　同向　反向
2.　a⊥b
例1　解　
如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
跟踪训练1　C
[如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.
]
知识梳理
1.|a||b|cos θ　a·b
a·b＝|a||b|cos θ　0
2.(2)a·b＝0　(4)≤
例2　解　(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
跟踪训练2　(1)0　－16　－16
(2)
知识梳理
1.投影　投影
例3　解　(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4×cos 120°＝－10.
(2)a在b上的投影向量为
|a|cos θe＝e＝－e＝－e.
跟踪训练3　(1)1　(2)4
随堂演练
1.C　2.B　3.A　4.e

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