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第六章　平面向量及其应用 章末复习课
一、向量的线性运算
1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题.
2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养.
例1　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b等于(　　)
A.(7，－2) B.(1，－2)
C.(1，－3) D.(7,2)
(2)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
反思感悟　向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
跟踪训练1　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.2
二、向量的数量积运算
1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等.
2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养.
例2　(1)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
(2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝______.
反思感悟　(1)向量数量积的两种计算方法
①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ；
②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)利用向量数量积可以解决以下问题
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)；
②求向量的夹角和模的问题
设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)
cos θ＝＝ .
跟踪训练2　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为______.
三、余弦定理、正弦定理
1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用.
2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养.
例3　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A).
(1)求角C；
(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.
条件①：△ABC的面积S＝4且B>A；
条件②：cos B＝.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
反思感悟　(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行求解时，注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换.
跟踪训练3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，b＝.
(1)求a的值；
(2)求cos C的值；
(3)求sin的值.
四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用
1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养.
例4　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
反思感悟　正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题
(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图.
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等.
(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形.
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.
跟踪训练4　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？
章末复习课
例1　(1)A　(2)A
跟踪训练1　B
例2　(1)
(2)9
解析　因为＝＋
＝＋，
＝－＝－A，
所以·＝(4＋3)·(4－3)
＝(162－92)
＝×(16×62－9×42)＝9.
跟踪训练2　
解析　由⊥，知·＝0，
即·
＝(λ＋)·(－)
＝(λ－1)·－λ2＋2
＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，
解得λ＝.
例3　解　(1)由题意及余弦定理，得2b2＝2bccos A·(1－tan A).
∴b＝c(cos A－sin A)，
由正弦定理可得
sin B＝sin C(cos A－sin A)，
∴sin(A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A，
∴sin Acos C＝－sin Csin A，
又sin A≠0，
∴tan C＝－1，又0解得C＝.
(2)若选择条件①，S＝4且B>A，
∵S＝4＝absin C＝absin ，
∴ab＝8.
由余弦定理，得c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos ，
∴a2＋b2＋ab＝40.
由
解得或
∵B>A，∴b>a，∴
∴CD＝.
在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CDcos C＝16＋2－2×4×cos ＝26，
∴AD＝.
若选择条件②，cos B＝，
∴sin B＝.
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，
由正弦定理可得a＝＝2.
在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB BDcos B，
解得AD＝.
跟踪训练3　解　(1)∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶，
又b＝，∴a＝2，c＝2.
(2)由余弦定理的推论可得
cos C＝＝＝.
(3)由(2)得cos C＝，
∴sin C＝＝，
∴sin 2C＝2sin Ccos C
＝2××＝，
cos 2C＝2cos2C－1
＝2×－1＝，
∴sin＝sin 2Ccos－cos 2Csin＝×－×＝.
例4　解　①需要测量的数据有：A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示).
②方法一　第一步：计算AM.
在△ABM中，由正弦定理得，
AM＝；
第二步：计算AN.在△ABN中，
由正弦定理得，
AN＝；
第三步：计算MN.在△AMN中，
由余弦定理得，
MN＝.
方法二　第一步：计算BM.
在△ABM中，由正弦定理得，
BM＝；
第二步：计算BN.在△ABN中，
由正弦定理得，
BN＝；
第三步：计算MN.在△BMN中，
由余弦定理得，
MN＝.
跟踪训练4　解　由题意知
AB＝5(3＋)n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
＝，
∴DB＝
＝
＝
＝＝10(n mile)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC
＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20 n mile，
∴在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(n mile).∴t＝＝1(h).
∴救援船到达D点需要1 h.

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