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2024 年高考数学仿真模拟卷(一)（新高考专用）
解析
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．答案 C
解析 ∵A＝{x|x2－4<0}＝{x|－22.答案 B
解析 ∵iz＝1＋5i，∴z＝－i(1＋5i)＝5－i， z ＝5＋i，∴z＋ z ＝10 .
3.答案 B
解析 由(a＋b)·(a－b)＝0，得 a2－b2＝0，则|a|＝|b|，
由 a⊥(a－2b)，得 a·(a－2b)＝0，即 a2－2a·b＝0，整理得 a·b 1＝ a2，
2
1 2
cos a b a·b
a
因此 〈 ， 〉＝ ＝2 1＝ ，而 0≤〈a，b〉≤π，解得〈a π，b〉＝ ，
|a||b| a2 2 3
π
所以向量 a，b 的夹角为 .
3
4.答案 B
E 3解析 因为 r＝ EP×10－7，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为 75 km2，
S
E
所以 r
3 10－7 3＝ ＝ － －× ×10 7＝4×10 9，
EP S 75
则Γ＝10lg(4 10－× 9)＝10lg 4－90≈10×0.602－90＝－83.98(dB)．
5.答案 A
1 56
解析 由题意得，S 正方形 EFHG＝EF2，S 正方形 ABCD＝4EF2，则方亭的体积为 ·EF·(EF2＋4EF2＋ EF2·4EF2)＝ ，3 3
解得 EF＝2 6，则 S 正方形 EFHG＝4，S 正方形 ABCD＝16，画出 ABFE的平面图，作 EM⊥AB于 M，如图，AE＝BF＝ EF＝2
6 AM 4－2， ＝ ＝1，
2
则 EM＝ 6－1＝ 5，S 1梯形 ABFE＝ ×(2＋4)× 5＝3 5，2
则该方亭的表面积为 S 正方形 EFHG＋S 正方形 ABCD＋4S 梯形 ABFE＝20＋12 5.
6.答案 D
解析 因为展开式中只有第 11项的二项式系数最大，所以 n＝20.
1 20 k 20 4 k
二项式展开式的通项为 Tk＋1＝C2k0( 3x)20－k
3 x k＝C2k03 2 x 3 ，由题得 20 4－ k为整数，
3
所以 k＝0,3,6,9,12,15,18，故共 7项符合要求．
7.答案 A
解析 函数 f(x)的图象关于直线 x＝3对称，则必有 f(3－x)＝f(x＋3)，
所以 f(0)＝f(6)，f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)，
又因为 f(x)满足 f(2－x)＝2－f(x)，取 x＝1，
所以 f(1)＝2－f(1)，即 f(1)＝1，则 f(1)＝f(5)＝1，取 x＝5，
则 f(－3)＝2－f(5)＝1，A正确．
8.答案 C
p
解析 抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线方程为 x＝－ ，
2
M M( 1,0) p圆 的圆心为 － ，半径为 1，直线 x＝－ 与圆 M相切，
2
|－1 p＋则 2|＝1，
因为 p≠0，解得 p＝4，所以抛物线 C的方程为 y2＝8x，
故抛物线 C：y2＝8x的准线与圆 M：(x＋1)2＋y2＝1相切于点 A(－2,0)，
若直线 AB与 x轴重合，则直线 AB与抛物线 C不相切，不符合题意，
x＝my－2，
设直线 AB的方程为 x＝my－2，联立 可得 y2－8my＋16＝0，则Δ＝64m2－64＝0，解得 m＝±1，
y2＝8x
不妨设点 B在第一象限，则 m＝1，则有 y2－8y＋16＝0，解得 y＝4，
此时 x＝y－2＝2，即点 B(2,4) →，所以AB＝(4,4)，
因为点 N在圆 M上，设点 N(－1＋cos θ，sin θ) →，则AN＝(1＋cos θ，sin θ)，
π
A→
θ＋
所以 B·A→N＝4＋4cos θ＋4sin θ＝4 2sin 4 ＋4∈[4－4 2，4＋4 2]．
二、选择题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部
选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分)
9．答案 ACD
解析 对于 A，中位数是把数据从小到大依次排列后，排在中间位置的数或中间位置的两个数的平均数，因为是对
称的，同时去掉最小值和最大值，故中间位置的数相对位置保持不变，故新数据的中位数保持不变，故 A正确；
对于 B，平均数受样本中每个数据的影响，故去掉最小值和最大值后，余下数据的平均数可能会改变，故 B不一定
正确；
对于 C，方差反映数据的离散程度，当去掉数据中的最小值和最大值后，数据的离散程度减小，故方差减小，故 C
正确；
对于 D，极差为最大值与最小值之差，是原来数据里面任意两个数据差值的最大值，故去掉最小值和最大值后，新
数据的极差必然小于原数据的极差，故 D正确．
10.答案 ABD
π
解析 因为 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，所以φ＝ ，
2
因为函数 f(x)的图象与直线 y＝2的其中两个交点的横坐标分别为 x1，x2，|x1－x2|的最小值为π，
所以 f(x)的最小正周期为 T π 2π 2π＝ ，所以ω＝ ＝ ＝2，
T π
2x π π π＋ x－ 2x－
即 f(x)＝2sin 2 ＝2cos 2x，所以 g(x)＝2cos 2 6 ＝2cos 3 ，故 A正确；
π 2π π 2π
， ，
当 x∈ 6 3 π时，t＝2x－ ∈(0，π)，此时函数 y＝2cos t单调递减，故函数 g(x)在 6 3 上单调递减，故 B正确；
3
4π
x 5π t 2x π 4π
，0
当 ＝ 时， ＝ － ＝ ，此时 3 不是函数 y＝2cos t的对称中心，故 C错误；
6 3 3
0 π π 2π π， － ， － ，0 0 2π，
当 x π∈ 2 时，t＝2x－ ∈ 3 3 ，此时函数 y＝2cos t在 3 上单调递增，在 3 上单调递减，
3
0 π π π π π， ，
所以函数 g(x)在 6 上单调递增，在 6 2 上单调递减，g(0)＝1，g 6 ＝2，g 2 ＝－1，
0 π π，
所以当方程 g(x)＝m在 2 上有两个不相等的实根时，g(0)≤m11.答案 AC
解析 对于 A，因为 f(x)为奇函数且在定义域 R 上可导，即 f(－x)＝－f(x)，
所以两边对 x求导可得(－x)′f′(－x)＝－f′(x)，即 f′(－x)＝f′(x)，所以 f′(x)为偶函数，故 A正确；
对于 B，令 f(x)＝sin πx，显然 f(x) 2π为奇函数，且最小正周期 T＝ ＝2，即满足 f(x＋2)＝f(x)，则 f′(x)＝πcos πx，
π
则 f′(0)＝π，故 B错误；
对于 C，因为 f(x＋2)＝f(x)且 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，
即 f(x＋2)＝－f(－x)，所以 f(x－1＋2)＝f(x＋1)＝－f(1－x)，即 f(x＋1)＋f(1－x)＝0，
所以 f(x)的图象关于点(1,0)对称，故 C正确；
对于 D，易知函数 F(x)定义域为 R，因为 F(x)＝f(x)＋xf′(x)，则 F(－x)＝f(－x)－xf′(－x)＝－f(x)－xf′(x)＝－F(x)，
即 F(x)为奇函数，由 A可知 F′(x)为偶函数，故 D错误．
12.答案 ABD
解析 如图，设 E，F分别为 AB，CD的中点，连接 ME，EN，NF，MF，EF，AN，DN，
则 EM∥BD，NF∥BD，EM 1BD NF 1＝ ， ＝ BD，故 EM∥NF，EM＝NF，则四边形 MENF为平行四边形．
2 2
故 EF，MN交于一点，且互相平分，即 O点也为 EF的中点，
又由题意知 AB＝AC，DB＝DC，故 AN⊥BC，DN⊥BC.
又 AN∩DN＝N，AN，DN 平面 AND，故 BC⊥平面 AND，
由于 O∈MN，MN 平面 AND，则 AO 平面 AND，故 BC⊥AO，
结合 O点也为 EF的中点，同理可证 DC⊥AO，BC∩DC＝C，BC，DC 平面 BCD，
故 AO⊥平面 BCD，A正确；
由球 O的表面正好经过点 M，得球 O的半径为 OM，在棱长为 2的正四面体 ABCD中，
AN＝DN＝ 3，M为 AD的中点，则 MN⊥AD，故 MN＝ DN2－MD2＝ 3－1＝ 2，
2 4π 2π
又 O为线段 MN中点，则 OM＝ ，所以球 O的体积为 ×OM3＝ ，B正确；
2 3 3
由 BC⊥平面 AND，BC 平面 BCD，得平面 AND⊥平面 BCD，平面 AND∩平面 BCD＝DN，由于 AO⊥平面 BCD，
延长 AO交平面 BCD于 G点，
则 OG⊥平面 BCD，垂足 G落在 DN上，且 G为正△BCD的中心，
NG 1ND 3 OG ON2 NG2 6 6故 ＝ ＝ ，所以 ＝ － ＝ ，即球心 O到平面 BCD的距离为 OG＝ ，
3 3 6 6
2 6
故球 O被平面 BCD截得的截面圆的半径为 2 2－ 6 2 3＝ ，
3
3
则球 O被平面 BCD π截得的截面圆的面积为π× 3 2＝ ，C错误；
3
由 A的分析可知，O也为棱 AC，BD中点连线的中点，则球 O与每条棱都交于棱的中点，
3
结合 C的分析可知，球 O被正四面体 ABCD的每个面截得的截面都为圆，且圆的半径都为 ，
3
故球 O被正四面体 ABCD 3 8 3π表面截得的截面周长为 4×2π× ＝ ，D正确．
3 3
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
13 1．答案
5
π α π 2α π π－ － －α －α
cos2 4 3 sin 2α cos 2 cos 2 4 2cos2 4 1 2 3 1 1解析 因为 ＝ ，则 ＝ ＝ ＝ － ＝ × － ＝ .
5 5 5
14.答案 502
解析 由题意可得 an＝n－1，b ＝2n－n 1，ab －n＝bn－1＝2n 1－1.
9
所以 ab1＋ab
1× 1－2
2＋…＋ab9＝(1＋2＋…＋28)－9＝ －9＝502.
1－2
15. 5答案
9
1
p(n) Cn·C
15 5n 10n 10
解析 ＝ ＝ ＝ ＝ ，
C2n 5 n＋5 n＋4 ＋ n2＋9n＋20 n 20＋ ＋9
2 n
20
对勾函数 y＝x＋ 在(0， 20)上单调递减，在( 20，＋∞)上单调递增，
x
10
故当 n＝4 n 5 n 20 10 5 5或 ＝ 时， ＋ 有最小值为 9，故 p(n)＝
n n 20
≤ ＝ ，最大值为 .
＋ ＋9 9＋9 9 9
n
16.答案 5
5
解析 易知 MN关于 x轴对称，如图，令∠MF1F2＝α，则 cos 2α＝ ，
13
5
∴cos2 1
1＋
α 13 9＝ ＝ ，sin2α 4＝ ，∴tan2α 4＝ ，
2 13 13 9
0 π， 2
又α∈ 2 ，∴tan α＝ .
3
y b c0＝ x0， x0＝ ，
a 2
∵OM与 MF2交于点 M(x0，y0)，则 b y0＝－ x0－c y bc0＝ ，
a 2a
c bc bc b
，
即 M 2 2a 2 b c，tan α＝2a＝ ，∴ ＝2，∴e＝ ＝ 1＋ a 2＝ 5.
3 3 a ac
2
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解 (1)因为 bcos C＋ 3bsin C＝a＋c，所以 bcos C＋ 3bsin C－a－c＝0，
所以 sin Bcos C＋ 3sin Bsin C－sin A－sin C＝0，
因为 A＋B＋C＝π，所以 sin Bcos C＋ 3sin Bsin C－sin(B＋C)－sin C＝0，
所以 3sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0，
B π－
因为 C∈(0，π) 1，所以 sin C≠0，所以 sin 6 ＝ ，
2
因为 B∈(0 π) B π π π b， ，所以 － ＝ ，所以 B＝ ，所以外接圆直径 2R＝ ＝2.
6 6 3 sin B
所以 R＝1.
(2) B→A·B→C 6 (1) B π因为 ＝ ，又由 可知 ＝ ，所以 ac＝12，
3
又由 b2＝a2＋c2－2accos B，a＋c＝4 3，可得 b＝2 3，
1
因为△ABC的面积为 S＝ acsin B＝3 3.
2
设△ABC内切圆的半径为 r，
1 1
由△ABC的面积 S＝ (a＋b＋c)r＝ acsin B，得 r＝1.
2 2
18. an解 (1)由 ＋1 1 an＝1＋ 得 ＋1 3 an. a＝ × 又 1＝1，
3an n n＋1 n 1
an
1 3 a
2
n 3n－1 a n 3n－1 n －7n n－7∴ n 是以 为首项， 为公比的等比数列，∴ ＝ ， n＝ × ，则 bn＝ ＝ .
n an 3n－1
当 n≤7时，bn<0；当 n>7时，设 bn是最大项，则 bn＋1≤bn，且 bn－1≤bn，
n－6 n－7 n－8 n－7 15 17
即 ≤ ，且 ≤ ，即 n－6≤3(n－7)且 3(n－8)≤n－7，解得 ≤n≤ .
3n 3n－1 3n－2 3n－1 2 2
又 n∈N*，∴n＝8，
{b } b 1 1∴ n 的最大项是 8＝ ＝ .
37 2 187
(2)S －n＝1×30＋2×31＋…＋n×3n 1，①
①×3得 3Sn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，②
1－3n n
①－②得－2Sn＝1＋31＋32
3 －1
＋…＋3n－1－n×3n＝ －n×3n＝ －n×3n,
1－3 2
n
∴S 2n－1 3 ＋1n＝ .
4
19.(1)证明 取 AD的中点 M，连接 PM，由于△PAD为正三角形，则 PM⊥AD，
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PM 平面 PAD，则 PM⊥平面 ABCD，
又 AB 平面 ABCD，故 PM⊥AB，又 AB⊥PD，PM，PD 平面 PAD，PM∩PD＝P，
所以 AB⊥平面 PAD，AD 平面 PAD，故 AB⊥AD，则平行四边形 ABCD为矩形．
(2)解 以 A为坐标原点，AB为 x轴，AD为 y轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB＝t>0，
0 3 3， ，
则 A(0,0,0)，B(t,0,0)，C(t,2,0)，P(0,1， 3)，E 2 2 ，
0 3 3→ ， ，
所以AC＝(t,2,0) →，AE＝ 2 2 →，AB (t,0,0) A→＝ ， P＝(0,1， 3)，
设平面 ACE的法向量为 n＝(x1，y1，z1)，
n·A→C＝tx1＋2y1＝0，
则 → 3 3 令 x1＝2，则 n＝(2，－t， 3t)，n·AE＝ y1＋ z1＝0，
2 2
设平面 ABP的法向量为 m＝(x2，y2，z2)，
m·A→B＝tx2＝0，
则 令 z2＝1，则 m＝(0，－ 3，1),
m·A→P＝y2＋ 3z2＝0，
|m·n| |2 3t| 6
由|cos〈m，n〉|＝ ＝ ＝ ，解得 t＝1，
|m||n| 2· 4＋4t2 4
则平面 ACE的法向量为 n＝(2，－1， 3)，A→B＝(1,0,0)，
|A→B·n| 2 2
所以点 B到平面 ACE的距离为 ＝ ＝ .
|n| 8 2
20.(1) 1解 由函数 f(x)＝aex－ x2－x，可得 f′(x)＝aex－x－1，
2
因为 f(x)是 R 上的增函数，可得 f′(x)≥0在 R 上恒成立，
即 aex－x－1≥0 R x＋1在 上恒成立，即 a≥ 在 R 上恒成立，
ex
令 h(x) x＋1＝ ，可得 h (x) 1－ x＋1 x′ ＝ ＝－ ，
ex ex ex
当 x>0时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当 x<0时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以当 x＝0时，函数 h(x)取得极大值，即为最大值 h(0)＝1，
所以 a≥1，即实数 a的取值范围为[1，＋∞)．
(2)证明 当 a＝1时，f(x) ex 1＝ － x2－x，可得 f(0)＝1，
2
当 x>0时，可得 f′(x)＝ex－x－1,
要使得 f(x)>sin x，只需 f(x)>1，
令 g(x)＝f′(x)＝ex－x－1，可得 g′(x)＝ex－1≥0，所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又由 g(0)＝0，所以 g(x)>g(0)＝0，所以 f(x)单调递增，所以 f(x)>f(0)＝1，即 f(x)>sin x；
当 x＝0时，sin 0＝0，所以 f(0)>sin 0，满足 f(x)>sin x；
当－20 1x2 x 1 1且－ － ＝－ (x＋1)2＋ >0，
2 2 2
所以 f(x)>0，所以 f(x)>sin x，
综上可得，对于 x∈(－2，＋∞)，都有 f(x)>sin x.
21.解 (1)X的所有可能取值为 3,4,5,6，
1 1
P(X 3) 3 3 1 P(X 4) C1 2 6＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ 3× × 3 2＝ ，
27 3 27
2 2
P(X 5) C2 3 2 1 12＝ ＝ 3× × ＝ ，P(X＝6)＝ 3 3
8
＝ ，
3 27 27
故 X的分布列为
X 3 4 5 6
1 6 12 8
P
27 27 27 27
E(X) 3 1 4 6 5 12＝ × ＋ × ＋ × ＋6 8× ＝5.
27 27 27 27
1 1
1
－
1 × 36
(2)总分恰为 m的概率 Am＝ 3 m 364，故 S 36＝ ＝ .
1 7291－
3
(3) 2已调查过的累计得分恰为 n 分的概率为 Bn，得不到 n分的情况只有先得 n－1分，再得 2分，概率为 Bn 1，
3 －
3
B 1 1 B 2B B 2 3 2
Bn－1－ 3 4
而 1＝ ，故 － n＝ n－1，即 n＝－ Bn－1＋1，可得 Bn－ ＝－ 5 ，又 B1－ ＝－ ，3 3 3 5 3 5 15
B 3n－
5 4 2所以 是以－ 为首项，－ 为公比的等比数列，
15 3
2 2
－ －
所以 B 3 4 3 2n－ ＝－ 3 n－× 1，可得 Bn＝ ＋ × 3 n.
5 15 5 5
22.(1)证明 设 P(x1，x21)，Q(x2，x22)，因为 y′＝2x，所以 l斜率 kl＝2x1，
2 2 2
所以直线 OQ k 1 x2－0 1 x1－x2 1斜率 OQ＝－ ，即 ＝x2＝－ ，所以 kPQ＝ ＝x1＋x2＝x1－ ，
x1 x2－0 x1 x1－x2 x1
x 1 1
PQ y x2 1
－ x －
所以 的方程为 － 1＝ x1 (x－x1)，即 y
1
＝ x1 x＋1，
所以直线 PQ过定点 D(0,1)．
x 1 1＋ x ＋
(2) 1①解 S＝ |OD||x x 1 1 1 11－ 2|＝ |OD|| x |1 ＝ | x |1 ，2 2 2
x1，0
l的方程为 y－x12＝2x1(x－x1)，令 y＝0，得 M 2 ，
x x1 0 11 － x 1 ，
所以直线 AB的方程为 y＝－ 2 ，即 y＝－ ＋ ，所以直线 AB过定点 N 4 .
2x1 2x1 4
2 1 1＋
y x 1 x y2 x 15将 ＝－ ＋ 与 ＋ ＝1联立，得 x2 x21 － － ＝0.2x1 4 4 x1 4
显然Δ>0，设 A(x3，y3)，B(x4，y4)，
2
则 x3＋x
x1
4＝ ，x3x
15x1
4＝－ .
x21＋1 4 x21＋1
x1 2
|x x | x 15x1 15x
41＋16x21
所以 3－ 4＝ 3＋x 2－4x 24 3x4＝ x1＋1 2＋ ＝ ，
x12＋1 x12＋1
T 1|ND|·|x x | 3 15x1
4＋16x12
＝ 3－ 4＝ ，
2 8 x21＋1
1 3 15x41＋16x21
×
T 2 4 x21＋1 3 15x18＋16x16
所以 ＝ ＝ ，
S2 11|x1＋x | 2 x1
2＋1 3
2
4 1
t x2 t>0 T 3 15t
4＋16t3 3 15t4＋16t3
令 ＝ 1，则 ， ＝ ＝ ，
S2 2 t＋1 3 2 t＋1 6
15t4＋16t3f(t) t>0 f (t) －6t
2 5t2－2t－8
设 ＝ ， ，则 ′ ＝ .
t＋1 6 t＋1 7
令 f′(t) 1＋ 41＝0，得 t＝ (负根舍去)，
5
0 1＋ 41 1＋ 41， ，＋∞
当 t∈ 5 时，f′(t)>0，f(t)单调递增；当 t∈ 5 时，f′(t)<0，f(t)单调递减，
t 1＋ 41所以当 ＝ 时，f(t)取得最大值，
5
T P y x2 1＋ 41即 2取得最大值，此时 的纵坐标为 P＝ 1＝ .S 5
0 1，
②证明 因为直线 AB过定点 N 4 ，DH平行于 l，如图，
因为 l⊥AB，
所以 DH⊥NH，
所以点 H在以 DN为直径的圆上．
0 5，
设 G为 DN中点，则 G 8 ，
1 3
且|GH|＝ |DN|＝ ，
2 8
0 5，
所以存在定点 G 8 ，使得|GH|为定值．项式系数最大，则展开式中 x的指数为整数的项的个数为( ) 则下列结论中正确的是( )
2024年高考数学仿真模拟卷(一)（新高考专用） A．3 B．5 C．6 D．7
7．定义在 R上的函数 f(x)满足 f(2－x)＝2－f(x)．若 f(x)的图象关于直线 x＝3对 A．AO⊥平面 BCD
(时间：120分钟 满分：150分) 称，则下列选项中一定成立的是( ) B 2π．球 O的体积为
一、选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选 3A．f(－3)＝1 B．f(0)＝0 C．f(3)＝2 D．f(5)＝－1
4π
项中，只有一项是符合题目要求的) 8．(2023·华南师范大学附中模拟)在平面直角坐标系中，若抛物线 C：y2＝2px(p>0) C．球 O被平面 BCD截得的截面面积为 3
1．(2023·南平质检)设集合 A＝{x|x2－4<0}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则 A∩B等 的准线与圆 M：(x＋1)2＋y2＝1相切于点 A，直线 AB与抛物线 C切于点 B，点
D．球 O被正四面体 ABCD 8 3π表面截得的截面周长为
于( ) 3
N → →在圆 M上，则AB·AN的取值范围为( )
A．{－2,2} B．{－1,0} C．{－1,0,1} D．{0,1} 三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
A．[0,8] B．[2－2 5，2＋2 5]
2．(2023·长春模拟)已知复数 iz＝1＋5i，则复数 z＋ z等于( ) 3
C．[4－4 2，4＋4 2] D．[4 2－4,4 2＋4] 13．(2023·济宁模拟)已知 cos
2
＝ ，则 sin 2α＝________.
4 5A．－10 B．10 C．－2 D．2
二、选择题(本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选
3 (2023· ) a b a (a 2b) (a b)·(a b) 0 14．(2023·石家庄模拟)已知数列{an}的通项公式为 an＝n－1，数列{bn}是以 1． 郴州模拟 已知向量 ， 满足 ⊥ － ， ＋ － ＝ ，则向量
项中，有多项符合题目要求的．全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的
a b ( ) 为首项，2为公比的等比数列，则 ab1＋ab2＋…＋ab9＝________.， 的夹角为
得 0分)
π π π 2π 15．(2023·南京模拟)一个袋子中有 n(n∈N
*)个红球和 5个白球，每次从袋子中
A. B. C. D.
6 3 2 3 9．(2023·张家口模拟)一组互不相等的样本数据 x1，x2，…，xn，其平均数为 x， 随机摸出 2个球．若记“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率为 p(n)，则 p(n)
4 (2023· ) 的最大值为________．． 江苏七市调研 星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已 方差为 s2，极差为 m，中位数为 n，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据 2 2
3 2 16．(2023·
x y
江苏统考)已知 F1，F2，分别为双曲线 C： － ＝1(a＞0，b＞0)的
－ 2 2
知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为 Er＝ EP×10 7，其 的平均数为 x ，方差为 s ，极差为 m′，中位数为 n′，则下列选项一定正确 a b
S
的有( ) 左、右焦点，过 F2作 C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于 M，N两点．若
中 EP是激光器输出的单脉冲能量，Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光
( km2 ) A．n＝n′ B. x＝ x C．s
2> s 2 D．m>m 5′ cos∠MF1N＝ ，则 C的离心率为________．
脉冲在潜艇接收平面的光斑面积 单位： ，光斑面积与卫星高度有关 ．若 13
E 10．已知 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，其图象与直线 y＝2的其中两
水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减Γ满足Γ＝10lg r(单位：dB)．当卫星 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演
EP 个交点的横坐标分别为 x1，x2，|x1－x2|的最小值为π，将 f(x) π的图象向右平移 个
6 算步骤)
达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为 75 km2，则此
g(x) ( ) 17．(10分)(2023·湖北十一校模拟)已知在△ABC中，其角 A，B，C所对的边分
时Γ的大小约为( 单位长度，得到函数 的图象，则下列选项正确的是参考数据：lg 2≈0.301)( )
别为 a，b，c，且满足 bcos C＋ 3bsin C＝a＋c.
A．－76.02 dB B．－83.98 dB A．g(x)＝2cos 2x


3 (1)若 b＝ 3，求△ABC的外接圆半径；
C．－93.01 dB D．－96.02 dB
2
5 (2023· ) → →． 沈阳模拟 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正 B．函数 g(x)在 , 上单调递减6 3 (2)若 a＋c＝4 3，且BA·BC＝6，求△ABC的内切圆半径．
四棱台形状的建筑物(棱台的上下底面均为正方形)称为方亭．如图，现有一方
5
亭 ABCD－EFHG C.，其中上底面与下底面的面积之比为 1∶4，方亭的高 h＝EF， ,0

是函数 g(x)图象的一个对称中心
6
BF 6EF 56＝ ，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为 ，则该
2 3 D．若方程 g(x)＝m在
0,
2
上有两个不相等的实根，则 1≤m<2

方亭的表面积为( )
11．(2023·唐山模拟)函数 f(x)及其导函数 f′(x)的定义域均为 R，若 f(x)为奇函
数，且 f(x＋2)＝f(x)，则( )
A．f′(x)为偶函数
B．f′(0)＝0
C．f(x)的图象关于(1,0)对称
A．20＋12 5 B．20＋6 5 C．5＋3 5 D．5＋6 5
D．若 F(x)＝f(x)＋xf′(x)，则 F′(x)为奇函数
n
1
6．(2023·苏州八校联盟模拟)二项式 3x 的展开式中只有第 11项的二 12．(2023·深圳中学模拟)如图，棱长为 2的正四面体 ABCD中，M，N分别为
3 x
棱 AD，BC的中点，O为线段 MN的中点，球 O的表面与线段 AD相切于点 M，
18 (12 )(2023· ) {a } a 1 an＋1 1 1. 20 (12 )(2023·
1
烟台模拟) f(x) aex x2 x. 22．(12分)(2023·烟台模拟)在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线 C：x
2＝y上
． 分 淮北模拟 数列 n 满足 1＝ ， ＝ ＋ ． 分 已知函数 ＝ － －
3an n 2 两点(异于点 O)，过点 P且与 C相切的直线 l交 x轴于点 M，且直线 OQ与 l
n2－7n (1)若 f(x)是 R上的增函数，求实数 a的取值范围；(1)设 bn＝ ，求{bn}的最大项； 的斜率乘积为－2.
an (2)当 a＝1时，证明： x∈(－2，＋∞)，f(x)>sin x.
(1)求证：直线 PQ过定点，并求此定点 D的坐标；
(2)求数列{an}的前 n项和 Sn.
2
(2)过 M作 l x的垂线交椭圆 ＋y2＝1于 A，B两点，过 D作 l的平行线交直线 AB
4
于 H，记△OPQ的面积为 S，△ABD的面积为 T.
T
①当 取最大值时，求点 P的纵坐标；
S2
②证明：存在定点 G，使|GH|为定值．
21．(12分)抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游
19．(12 分)(2023·杭州模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面 ABCD为平行 景点．每年来抚州旅游参观的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的
四边形，侧面 PAD是边长为 2的正三角形，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB⊥PD. 两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷
2
调查．若不去梦岛记 1分，若继续去梦岛记 2分．每位游客去梦岛的概率均为 ，
3
且游客之间的选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机抽取 3人，记总得分为随机变量 X，求 X的分布列与均值；
(1)求证：平行四边形 ABCD为矩形； (2)若从游客中随机抽取 m人，记总分恰为 m分的概率为 Am，求数列{Am}的前
(2) E PD 6若 为侧棱 的中点，且平面 ACE与平面 ABP所成角的余弦值为 ，求 6项和；
4
(3)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为 n分
点 B到平面 ACE的距离．
的概率为 Bn，探讨 Bn与 Bn－1之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．

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