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第一章　集合与常用逻辑用语
§1.1 集合的概念与运算
一、知识导学
1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.
2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称
集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.
4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.
5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记
为 .
6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常
记作U.
7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，
记作AB.
8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并
集，记作AB.
9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.
10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.
11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.
12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.
13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.
二、疑难知识导析
1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.
2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.
3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.
5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.
6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.
7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.
8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.
9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1
三、经典例题导讲
[例1] 已知集合M={y|y =x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}
C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
错解：求M∩N及解方程组 得 或 ∴选B
错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,
M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D．
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．
错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．
当x=1时，a=2， 当x=2时，a=1．
错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.
当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
正解：∵A∪B=A ∴BA 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}
∴B=或 ∴C={0，1，2}
[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有： （ ）
A．m+nA B. m+nB C.m+nC D. m+n不属于A，B，C中任意一个
错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ, ∴m+n=4a+1,故选C
错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.
正解：∵mA, ∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.
[例4］ 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．
错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使BA，只须
∴ p的取值范围是－3≤p≤3.
错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．
正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.
由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.
由－3≤p≤3.
∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.
由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．
分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，
∵a≠0，∴2c2－c－1=0，
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1(A.
⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.
⑵A能否为单元素集合？请说明理由.
⑶若a∈A，证明：1－∈A.
⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.
解：⑴2∈A ( －1∈A ( ∈A ( 2∈A
∴ A中至少还有两个元素：－1和
⑵如果A为单元素集合，则a＝
即＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集
⑶a∈A ( ∈A ( ∈A(A，即1－∈A
⑷由⑶知a∈A时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠
②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－
③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.
综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.
[例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．
证明：任设∈A，
则==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N+),
∵ n∈N*，∴ n＋2∈N*
∴ a∈B故　　　　 ①
显然，1，而由
B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B　　　　 ②
由①、② 得AB．
点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．
（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．
四、典型习题导练
1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，?x∈?Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（　　）
A．16????? ????B．14 C．15?????????D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（　　）　A．{2，-2?}????B．{－2，－?} C．{±2，±?}?????D．{，－}3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P　　　B．Q C． 　　D．不知道
4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q=　　 B．P Q C．P=Q 　　　　D．P Q
5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝ （ ）
　　A．　　　　　　　 B．
　　C．　　　　　　　 D．
6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．
7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。
8.已知集合A=和B=满足
A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.
§1.2．常用逻辑用语
一、知识导学
1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“”“”“”表示.
2．命题：能够判断真假的陈述句．
3．简单命题：不含逻辑联结词的命题
4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p
5．四种命题的构成：原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.
6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ” .
7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真 .
8．充分条件与必要条件 ：
①pq ：p是q的充分条件；q是p的必要条件；
②pq ：p是q的充要条件 .
9．常用的全称量词：“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”等；并用符号“” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.
10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”； 并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.
二、疑难知识导析
1．基本题型及其方法
（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；
（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；
（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.
（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；
方法：利用定义
（5）证明的充要条件是；
方法：分别证明充分性和必要性
（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.
注：常见关键词的否定：
关键词
是
都是（全是）
（）
至少有一个
至多有一个
任意
存在
否定
不是
不都是（全是）
（）
一个也没有
至少有两个
存在
任意
2．全称命题与特称命题的关系：
全称命题p:,它的否定:；特称命题p:,它的否定:；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.
三、经典例题导讲
[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.
错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.
逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.
否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.
逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.
错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.
正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.
逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.
[例2] 将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出否命题.a>o时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加.
错解：原命题改为：若a>o时，x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.
错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x的值增加而增加，其否命题为若ao时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.
正解：原命题改为： a>o时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.
否命题为： a>o时，若x的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.
原命题也可改为：当x的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加.
否命题为： 当x增加时，若ao，则函数y=ax+b的值不增加.
[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足，命题乙为：两个实数a、b满足且，那么
A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
错解：,
故本题应选C.
错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；
（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.
正解：因为 所以
两式相减得
故
即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.
由于
同理也可得
因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.
[例4] 已知命题甲：a+b4, 命题乙:a且b，则命题甲是命题乙的 .
错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.
错因 ：对命题的否定不正确.a且b的否定是a=1或b=3.
正解：当a+b4时,可选取a=1,b=5，故此时a且b不成立(a=1).
同样，a,且b时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.
因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.
注：a且b为真时，必须a,b同时成立.
[例5] 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
分析：本题考查简易逻辑知识.
因为prsq但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以选A
解：选A
[例6] 已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)
① mx2－4x＋4＝0 ② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0
求方程①和②都有整数解的充要条件.
解：方程①有实根的充要条件是解得m1.
方程②有实根的充要条件是，解得
故m=－1或m=0或m=1.
当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；
当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.
∴①②都有整数解的充要条件是m=1.
[例7] 用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0
证明： 假设、、均小于0，即：
----① ；
----② ；
----③；
①+②+③得，
这与矛盾，
则假设不成立，
∴、、中至少有一个不小于0
[例8] 已知命题p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
分析：“p或q”为真，则命题p、q至少有一个为真，“p且q”为假，则命题p、q至少有一为假，因此，两命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.
解： 若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2，
即命题p：m＞2
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0
解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.
因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，
又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，
因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.
∴
解得：m≥3或1＜m≤2.
四、典型习题导练
1．方程至少有一个负根，则（ ）
A. 或 B. C. D.
2．“”是“或”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．三个数不全为0的充要条件是 （ ）
A.都不是0. B.中至多一个是0.
C.中只有一个是0. D.中至少一个不是0.
4．由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _.
5．若，试从
A. B. C. D. E. F. 中，选出适合下列条件者，用代号填空：
（1）使都为0的充分条件是 ；
（2）使都不为0的充分条件是 ；
（3）使中至少有一个为0的充要条件是 ；
（4）使中至少有一个不为0的充要条件是 ．
6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．
（1）p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．
（2）p: 1是方程的解；q：3是方程的解．
（3）p: 不等式解集为R；q: 不等式解集为．
7．命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0 有非空解集，则a2－ 4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
8．用反证法证明：若a、b、c、d均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x、y、z、t四个数中，至少有一个不大于1．
　第二章　函数概念与基本初等函数
§2.1　映射、函数、反函数
一、知识导学
1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)　　2.函数： 设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函数，记作 .
其中所有的输入值组成的集合A称为函数定义域.
对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域.
　　3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数
叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
二、疑难知识导析
1.对映射概念的认识
(1) 与 是不同的，即 与 上有序的.或者说：映射是有方向的，
(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.
(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.
2.对函数概念的认识
（1）对函数符号 的理解知道 y=与 的含义是一样的，它们都表示 是 的函数，其中 是自变量，是函数值，连接的纽带是法则 .是单值对应.
(2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；
（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.
3.对反函数概念的认识
　（1）函数y=只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；
　（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.
　（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.
三、经典例题导讲
[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；
　　　（2）从M到N的映射满足 (a)>(b)≥f(c),试确定这样的映射的种数.
错解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
，共6个映射
(2)由（1）得满足条件的映射仅有一种情况
错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清
正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
一共有27个映射
（2）符合条件的映射共有4个
[例2]已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域
错解：由于函数的定义域为[0，1]，即，
∴的定义域是[1，2]
错因：对函数定义域理解不透，不明白与定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了.
正解：由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足
，∴的定义域是[－1，0]
[例3]已知：，求.
错解：∵ ，∴
故，∴＝3－3＝0.
错因：没有理解分段函数的意义，的自变量是3，应代入中去，而不是代入－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.
正解：∵ ，
∴＝＝＝7-5＝2　
[例4]已知的反函数是，如果与的图像有交点，那么交点必在直线上，判断此命题是否正确？
错解：正确
错因：对互为反函数的图像关于直线对称这一性质理解不深，比如函数
的图像的交点中，点不在直线上，由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线上”是不正确的.
[例5]求函数，的值域.
错解：
　　　又，的值域是
错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.
正解：配方，得
∵，对称轴是∴当时，函数取最小值为2，
的值域是
[例6]已知，求函数的解析式.
错解：由已知得
即，∴
错因：将函数错误地认为是的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上与并不是互为反函数，一般地应该由先求，再去得到.
正解：因为的反函数为＝，
所以＝＝
[例7]根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知是二次函数，若，求.
（2）已知，求
（3）若满足求
解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解
设＝由于得，
又由，∴
即　
　　因此：＝
(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解
设
∴＝　　（）
（3）由于为抽象函数，可以用消参法求解
　用代可得：
与　　　　　
　联列可消去得：＝.
点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.
[例8] 已知，试求的最大值.
分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值.
解 由 得
又
当时，有最大值，最大值为
点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：
由 得
当时，取最大值，最大值为
这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..
[例9]设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有
，求的表达式.
解法一：由，设，
得，所以＝
解法二：令，得
即
又将用代换到上式中得＝
点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.
四、典型习题导练
1. 已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是（　　　 ）
A.0 B.1 C.0或1 D.1或2
2.对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是( ) A. B.
C.g(t)=(t－1)2 D.g(t)=cost
3.方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ( )

4.（06年高考全国II）函数f(x)＝的最小值为
A．190 B.171 C.90 D.45
5. 若函数f(x)=(x≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于( )
A.3 B. C.－ D.－3
6.已知函数满足：，，则
.
7.已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式.
8.已知函数是函数（R）的反函数，函数的图像与函数的图像关于直线y＝x－1成轴对称图形，记＝+.
（1）求函数F（x）的解析式及定义域；
（2）试问在函数F（x）的图像上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.
§2.2函数的性质
一、知识导学
　　1.函数的单调性：
　（1）增函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)　（2）减函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
　（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.
　　2.函数的奇偶性：
　（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
　（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
　（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.
　　3.函数的图像：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像.
二、疑难知识导析
　　1. 对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.
2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.
　　3. 用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.
三、经典例题导讲
[例1]判断函数的单调性.
错解：是减函数
错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为，从而可判断出其单调性.
正解：　令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数，
∴　是增函数
[例2]判断函数的奇偶性.
错解：∵＝
　　∴
　　∴是偶函数
错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.
正解：有意义时必须满足
即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
[例3] 判断的奇偶性.
错解：∵
　　　∴且
　　　所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.
正解：方法一：∵
＝＝＝－
∴是奇函数
　　方法二：∵
＝
　　∴是奇函数
[例4]函数y=的单调增区间是_________.
错解：因为函数的对称轴是，图像是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是
错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.
正解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是
[例5] 已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.
错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=　f (3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0
解得x>2或x<－3
又 f(x)是定义在(－3，3)上的函数，
所以2＜x＜3
错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.
正解：由,故0又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2[例6] 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x＋1)；(2).
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，
当x＜2时，即x-2＜0时，
所以
这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)
点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.
[例7]若f(x)= 在区间（－2，＋）上是增函数，求a的取值范围
解：设
　　　
　　　由f(x)=在区间（－2，＋）上是增函数得
∴a＞
点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.
[例8] 已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减
解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.
令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由题意知f()<0，?
即f(x2)∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点.
四、典型习题导练
1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )
2. （05年高考重庆卷） 若函数 是定义在R上的偶函数，在 上是减函数，且 ，则使得的取值范围是 （ ）
A. 　B. C. 　D.（－2，2）
3. （05年高考江西卷）若函数是奇函数，则a= .
4. （05年高考辽宁卷）已知是定义在R上的单调函数，实数，
，若，则（ ）
A. B. C. D..
5.已知是定义在R上的奇函数，且当时，＝，求.
6. 已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,
当x>－时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.
7.已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.
(1)试求函数f(x)的解析式；
(2)问函数f(x)图像上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
§2.3　基本初等函数
一、知识导学
二次函数的概念、图像和性质.
（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式
二次函数的顶点式和
二次函数的坐标式
（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.
①，当时图像与x轴有两个交点.
M（x1,0）N(x2,0),|MN|=| x1- x2|=.
②　二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.
2.指数函数和对数函数的概念和性质.
（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：
①；②；③（这时m,n是有理数）
对数的概念及其运算性质、换底公式.
；　
（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.
①指数函数图像永远在x轴上方，当a＞1时，图像越接近y轴，底数a越大；当0②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a的讨论.
③当a>1时，图像越接近x轴，底数a越大; 当03.幂函数的概念、图像和性质.
结合函数y=x,y=x2 ,y=x3,y=,y=的图像，了解它们的变化情况.
①＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；
注意＞1与0<＜1的图像与性质的区别.
②＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y轴，向右无限接近x轴.
③当x>1时，指数大的图像在上方.
二、疑难知识导析
1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内　
2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：
（1）式子＝，
（2）
　3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.
　4.函数的研究方法一般是先研究的性质，再由的情况讨论的性质.
　5.对数函数与指数函数互为反函数，会将指数式与对数式相互转化.
　6.幂函数的性质，要注意的取值变化对函数性质的影响.
（1）当时，幂函数是奇函数；（2）当时，幂函数是偶函数；（3）当时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、经典例题导讲
[例1]已知求
错解：∵∴
　∴
错因：因对性质不熟而导致题目没解完.
正解：∵∴
　∴
[例2]分析方程（）的两个根都大于1的充要条件.
错解：由于方程（）对应的二次函数为
的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可.
　故需满足，所以充要条件是
错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.
正解：充要条件是
[例3]求函数的单调区间.
错解：令，则＝
∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为
错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.
正解：令，则为增函数，
＝＝
　∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为
[例4]已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是　　　　　
错解：∵是由，复合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.
正解：∵是由，复合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
又由于 在[0，1]上时 有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可，　　∴＜2
综上可知所求的取值范围是1＜＜2
[例5]已知函数.
（1）当时恒有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在这样的实数使得函数在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.
分析：函数为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.
解：（1）由假设，＞0，对一切恒成立，
显然，函数g(x)= 在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝＞0得到＜
∴的取值范围是（0，1）∪（1，）
(2)假设存在这样的实数，由题设知，即＝1
∴＝此时
当时，没有意义，故这样的实数不存在.
点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.
[例6]已知函数f(x)=, 其中为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围.
分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.
解：>0, 且a2－a+1=(a－)2+>0,
∴ 1+2x+4x·a>0, a>,
当x∈(－∞, 1]时, y=与y=都是减函数，
∴ y=在(－∞, 1]上是增函数，max=－,
∴ a>－, 故a的取值范围是(－, +∞).
点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法.
[例7]若，试求的取值范围.
解：∵幂函数有两个单调区间，
∴根据和的正、负情况，有以下关系　
①　　　②　　　　　③
解三个不等式组：①得＜＜，②无解，③＜－1
∴的取值范围是（－∞，－1）∪（，）
点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为，从而导致解题错误.
[例8] 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = (x － )
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；
(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m2 ) < 0 ,求m的集合M .
分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.
解：(1)令t=logax(t∈R)，则
f(x)在R上都是增函数.
点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会.
四、典型习题导练
1. 函数的图像如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A.　　　　B.
C. D.　　　　　　
　（05年高考福建试题）
2、已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,则的值为（ ）
A.1 B.4 C.1或4 D.4 或 8
3、方程 (0 A.0 B.1 C.2 D.3
4、函数f(x)与g(x)=()x的图像关于直线y=x对称,则f(4－x2)的单调递增区间是 ( ）
A. B. C. D.
5、图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n可取±2，±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为( )
A.－2，－，，2 B．2，，－，－2　　
C. －，－2,2， D. 2，，－2, －
6. 求函数y = log 2 (x2 －5x+6) 的定义域、值域、单调区间.
7. 若x满足 ,求f(x)=最大值和最小值.
8.已知定义在R上的函数为常数
（1）如果＝，求的值；
（2）当满足（1）时，用单调性定义讨论的单调性.
§2.4　函数与方程
一、知识导学
1.函数的零点与方程的根的关系：
　一般地，对于函数（）我们称方程的实数根也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数的零点.
2.函数的图像与方程的根的关系：
　　一般地，函数（）的图像与轴交点的横坐标就是的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程的图像与轴交点的横坐标.
　　3.判断一个函数是否有零点的方法：
　　如果函数在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数使得，这个c也就是方程的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助图像判断解的个数，或者把写成，然后借助、的图像的交点去判断函数的零点情况.
4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：
　　二次函数的零点，就是二次方程的根，也是二次函数的图像与x轴交点的横坐标.
5. 二分法：
　　对于区间[a,b]上的连续不断，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
二、疑难知识导析
1.关于函数的零点，就是方程的实数根，也就是与函数图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.
2.如果二次函数，在闭区间[m,n]上满足，那么方程在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.
3. 二次方程的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程＝的根都在区间时
应满足：
4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是
（1）取一个区间（）使
（2）取区间的中点，
（3）计算，①若，则就是的解，计算终止；②若，则解位于区间（）中，令；若则解位于区间（）令
（4）取区间是（）的中点，重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解总位于区间（）内
（5）当精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.
三、经典例题导讲
[例1]已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围.
错解：（一）恒成立，∴△＝≤0恒成立
　解得的取值范围为
错解：（二）∵若时，≥0恒成立
∴即
解得的取值范围为
错因：对二次函数＝当上≥0恒成立时，△≤0
片面理解为，≥0，恒成立时，△≤0 ；或者理解为
这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论.
正解：设的最小值为
（1）当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；
(2) 当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2
又－4≤≤4，故－4≤≤2；
（3）即＜－4时，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4
故－7≤＜－4
综上，得－7≤≤2
[例2]已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.
错解：设∵有且只有一根在区间（0,1）内
∴得＜－2
错因：对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.
　　　但方程＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.
由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是
正解：设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件.
（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内
又＝1＞0　
　∴有两种可能情形①得＜－2
或者②得不存在
综上所得，＜－2
[例3]已知一次函数与二次函数图像如图，其中
的交点与轴、轴的交点分别为A（2，0），B（0，2）；与二次函数的交点为P、Q，P、Q两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：
（1）错解：把 A（2，0），B（0，2）两点坐标分别代入一次函数解得
∴一次函数为
设P（1，1），Q（，2），则
1︰2＝1︰4
∴︰＝1︰4　　∴1︰2＝1︰2或1︰2＝（－1）︰2
当1︰2＝1︰2时，Q点坐标为（21，41），把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得
∴P（3，－1），Q（6，－4），抛物线方程为
当1︰2＝（－1）︰2时， Q点坐标为（－21，41）把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得
∴P（1， 1），Q（－2， 4），抛物线方程为
错因：在得到1︰2值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去，题中Q在第二象限，所以不合条件.
正解：（1）抛物线方程为
（2）方法一：由（1）得方程　即为　
解得1＝－2，2＝1.
　　方法二：方程的根即为二次函数与一次函数的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为P（1， 1），Q（－2， 4），　
∴方程的解为1＝－2，2＝1.
[例4]是否存在这样的实数k，使得关于x的方程
2+（2k－3）－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.
错解：令那么由条件得到
即此不等式无解
即不存在满足条件的k值.
错因：方程两根都在0与2之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内.
正解：令那么由条件得到
即即此不等式无解
即不存在满足条件的k值.
[例5]已知二次函数对于1、2R，且1＜2时
，求证：方程＝有不等实根，且必有一根属于区间（1，2）.
解：设F（）＝－，　　
则方程　　　　＝　　　　　　①
与方程　　　　F（）＝0　　　　　　　　　　　　②　等价
∵F（1）＝－＝
F（2）＝－＝
∴　F（1）·F（2）＝－，又
∴F（1）·F（2）＜0
故方程②必有一根在区间（1，2）内.由于抛物线y＝F（）在轴上、下方均有分布，所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（1，2）.
点评：本题由于方程是＝，其中因为有表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明的图像与轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（）＝－的图像与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.
[例6]试确定方程最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.
分析：只要构造函数＝，计算的自变量取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.
解：令＝
∵＝－54－9＋12＋2＝－49＜0　
＝－16－4＋8＋2＝－10＜0
＝－2－1＋4＋2＝3＞0
＝0－0－0＋2＝2＞0
＝2－1－4＋2＝－1＜0
＝16－4－8＋2＝6＞0
根据·＜0，·＜0，·＜0
可知的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.
因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.
点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.
所以＝0有三个根：
[例7]设二次函数方程的两个根，满足0.
（1）当时，证明；
（2）设函数的图像关于直线对称，证明：
.
分析：（1）用作差比较法证明不等式；
（2）函数图像关于直线对称，实际直线就是二次函数的对称轴，即，然后用已知条件证明不等式即可.
证明：（1）依题意，设
当时，由于，∴，又
∴>0即
∵0.∴
∴
综合得
（2）依题意知，又
∴
∵∴
点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即
[例8] 已知函数，且方程有实根.
(1)求证：-3(2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明
分析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.
及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号.
(1)证明：由，得1+2b+c=0,解得，又，
1
解得，
又由于方程有实根，即有实根，
故即解得或
∴，由，得≥0.
（2）=
∵，∴c∴c—4∴的符号为正.
点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.
四、典型习题导练
1. 方程的实根的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3.
2.已知抛物线与轴的两个交点在（1,0）两旁，则关于的方程的根的情况是（　　）
Ａ.有两个正数根 　　　 　B.有两个负数根
C.有一个正数根和一个负数根　　　　　　D.无实数根
3.若关于的方程在（0,1）内恰有一解，则的取值范围为（　　）
A. ＜－1　　　　　B. ＞1　　C. －1＜＜1　　　D.0＜＜1
4.已知函数的图像如图所示，则b的取值范围是（　　）
A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+∞)
5.已知函数对一切实数都有成立，且方程=0恰有6个不同的实根，则这6个根的和是 .
6. 已知在二次函数的解析式中，＝－3，＝－8，且它的两个零点间的距离等于2，求这个二次函数的解析式.
7. （06年高考浙江卷）设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(1)a＞0且-2＜＜-1；
(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0，证明：f(x)的图像与X轴相交；
(2)证明：若对x1、x2，且f(x1)f(x2),则方程必有一实根在区间（x1,x2）内；
(3)在（1）的条件下，是否存在实数m，使f(m) = －a成立时,f(m+3)>0.
§2.5　函数的综合运用
一、知识导学
1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程.这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展.
2.以数学知识为载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识.函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法.解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想.
3.要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养.函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识.但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的.推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的.本课题在例题安排上作了这方面的考虑.
4.函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题，要求各位同学有较宽的知识面，能读懂题意，然后对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立量与量的函数关系，把实际问题材转化为函数问题，通过对函数问题材的解决达到实际问题解决目的.
二、疑难知识导析
1.为了能较快地解决函数综合问题，要求各位学生
⑴在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力.
⑵掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养.
⑶初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力.
⑷树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题.
2.对数学应用题的学习，是提高分析问题、解决问题能力的好途径.不少人在数学应用题面前，束手无策；有的读不懂题意；有的不会归纳抽象、建模，因此要解好应用题，首先应加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转化为数学问题，再运用数学方法、数学思想去解决问题.
三、经典例题导讲
[例1] 不等式
错解：
错因： 当时，真数且在所求的范围内（因 ），说明解法错误.原因是没有弄清对数定义.此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性.
正解

[例2]将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售0件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润.
错解：设每件售价提高x元，利润为y元，
则y=∴=1时，（元）
错因：没理解题意，每天销售0件是在定价10元时的情况下，所设的应理解为在定价目10元的基础上，再每件售价提高x元，故利润每件应为（2+x）元，此时的销售量为（0－20）元
正解：设每件售价提高x元，利润为y元，则y==
故当，即定价为14元时，每天可获得最大利润为720元.
[例3]某工厂改进了设备，在两年内生产的月增长率都是m，则这两年内第二年三月份的产值比第一年三月份的产值的增长率是多少？
错解：设第一年三月份的产值为a，则经过二年，三月份的产值是a(1+m)11,则所求增长率为
，或把第二年三月份的产值写为a(1+m)13.
错因：对增长率问题的公式未透彻理解而造成错解，或者是由于审题不细致而造成题意的理解错误.若某月的产值是a，则此后第月的产值为，指数是基数所在时间后所跨过的时间间隔数.
正解：设第一年三月份的产值为a，则第四个月的产值为a(1+m)，五月份的产值为a(1+m)2，
从此类推，则第二年的三月份是第一年三月份后的第12个月，故第二年的三月份的产值是
a(1+m)12，又由增长率的概念知，这两年的第二年的三月份的产值比第一年的三月份的产值的增长率为
[例4]在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/h）的平方和车身长（单位：m）的乘积与车距d成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为（单位：m）且当车速为50（km/h）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q最大？
(车流量=)
错解：，将，代入得
，∴，又将代入得，
由题意得（）
将Q==（）
∵
∴当且仅当时，
综上所知，（km/h）时，车流量Q取得最大值.
错因：上述解法中结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求，但在行驶过程中车速有可能低于25（km/h），所以解题材中应分两类情形求解，得分段函数.
正解：（1）依题意，
则
显然当时，Q是关于的增函数，∴当时，
当时，Q==
当且仅当时，上式等号成立.
综上所述，当且仅当时，车流量Q取得最大值.
[例5] 定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，.
（1）试求的值；
（2）判断的单调性并证明你的结论；
（3）设，若，试确定的取值范围.
（4）试举出一个满足条件的函数.
解：（1）在中，令.得：.
因为，所以，.
（2）要判断的单调性，可任取，且设.
在已知条件中，若取，则已知条件可化为：.
由于，所以.
为比较的大小，只需考虑的正负即可.
在中，令，，则得.
∵ 时，，
∴ 当时，.
又，所以，综上，可知，对于任意，均有.
∴ .
∴ 函数在R上单调递减.
（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子.
，
，即.
由，所以，直线与圆面无公共点.所以，
.
解得 .
（4）如.
点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决.
[例6]（02年高考）设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值.
解：（1）当时，函数
此时，为偶函数
当时，，，
，
此时既不是奇函数，也不是偶函数
（2）（i）当时，
当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为.
若，则函数在上的最小值为，且.
（ii）当时，函数
若，则函数在上的最小值为，且
若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为.
综上，当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为.
点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过代入有
，即
可得，当时，，函数函数为偶函数.
通过可得
化得 此式不管还是都不恒成立，
所以函数不可能是奇函数.
（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.
[例7]某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).
已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元.
（1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？
分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.
从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.
由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润.
解：（1）设该店的月利润为S元，有职工m名.则
.
又由图可知：.
所以，
由已知，当时，，即
，
解得.即此时该店有50名职工.
（2）若该店只安排40名职工，则月利润
.
当时，求得时，S取最大值7800元.
当时，求得时，S取最大值6900元.
综上，当时，S有最大值7800元.
设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有
.
解得.
所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.
点评：求解数学应用题必须突破三关：
（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.
（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题.
（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.
四、典型习题导练
1.对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是 ( ) A. B.
C.g(t)=(t－1)2 D.g(t)=cost
2.用铁管做一个形状为直角三角形的铁框架，要使直角三角形面积为1平方米，有下列四种长度的铁管，最合理（够用，浪费又最少）的是（ ）
A.4.1米 B.4.8米 C.5米 D.5.2米
3.（05年高考湖北卷）函数的图像大致是（ ）
4.设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________.
5.设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+).
(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.
(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.
6.（03年荆州质量检测）某影院共有1000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，每提高一元，将有30张票不能售出，为了获得更高的收益，需给影院定一个比较合理的价格，要求它符合以下三个基本条件：①为了方便找零与算账，票价为 1元的整数倍；②影院放一场电影成本费用支出为5750元；③票房收入必需大于成本支出.用x（元）表示每张票的价格，用y（元）表示该影院放映一场电影的净收入.
（1）求函数的解析式和它的定义域；
（2）试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少时，放映一场的净收益最大.
7.(05年高考浙江卷)已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(3)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围.
8.(05年高考江西卷）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式；.
9．（06年高考江苏卷）设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（1）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（2）求g(a)
（3）试求满足的所有实数a
第三章 基本初等函数Ⅱ（三角函数）
3.1任意角三角函数
一、知识导学
1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.
2．弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值，其中是以作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
3．弧度与角度的换算：；；1.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不可省略.
4．弧长公式、扇形面积公式：,其中为弧长，为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当时的情形.
5．任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距离是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是.这六个函数统称为三角函数.
6．三角函数的定义域
三角函数
定义域
R
R
7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）
可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.
二、疑难知识导析
1．在直角坐标系内讨论角
（1）角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.
（2）与角终边相同的角的集合表示.
，其中为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差整数倍.
2．值得注意的几种范围角的表示法
“0～间的角”指；“第一象限角”可表示为；“小于90的角”可表示为.
3．在弧度的定义中与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.
4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.
5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与的同名三角函数值相等；（2），故有，这是三角函数中最基本的一组不等关系.
6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？
三、经典例题导讲
[例1]　若A、B、C是的三个内角，且，则下列结论中正确的个数是（　　）
①.　　②.　　③.　　④.
A．1 B.2 C.3 D.4
错解： ∴ ，故选B
错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误
正解：法1在中，在大角对大边，
法2　考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A .
[例2]已知角的终边关于轴对称，则与的关系为　　　　　　　　　.
错解：∵角的终边关于轴对称，∴+，（
错因：把关于轴对称片认为关于轴的正半轴对称.
正解：∵角的终边关于轴对称
∴ 即
说明：（1）若角的终边关于轴对称，则与的关系为
（2）若角的终边关于原点轴对称，则与的关系为
（3）若角的终边在同一条直线上，则与的关系为
[例3]　已知 ，试确定的象限.
错解：∵，∴是第二象限角，即
从而
故是第三象限角或第四象限角或是终边在轴负半轴上的角.
错因：导出是第二象限角是正确的，由即可确定，
而题中不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定的大小，即可进一步缩小所在区间.
正解：∵，∴是第二象限角，
又由知
，故是第四象限角.
[例4]已知角的终边经过，求的值.
错解：
错因：在求得的过程中误认为0
正解：若，则，且角在第二象限
若，则，且角在第四象限
说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；
（2）本题由于所给字母的符号不确定，故要对的正负进行讨论.
[例5]　（1）已知为第三象限角，则是第　　　象限角，是第　　　象限角；
（2）若，则是第　　　象限角.
解：（1）是第三象限角，即
，
当为偶数时，为第二象限角
当为奇数时，为第四象限角
而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上.
（2）因为，所以为第二象限角.
点评：为第一、二象限角时，为第一、三象限角，为第三、四象限角时，为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.
[例6]一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的半径为，则扇形的弧长
扇形的面积
所以当时，即时.
点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.
[例7]已知是第三象限角，化简。
解：原式＝＝
又是第三象限角，
所以，原式＝。
点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能
使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.
[例8]　若角满足条件，则在第（　　）象限
A.一　　　　　　　　B.二　　　　　　　　　C.三　　　　　　　　　　D.四
解：角在第二象限.故选B.
[例9]　已知，且.
（1）试判断的符号；
（2）试判断的符号.
解：（1）由题意，，
，所以.
（2）由题意知为第二象限角，，所以.
四、典型习题导练
1．已知钝角的终边经过点，且，则的值为 ）
A． B． C． D．
2．角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则β为（ ）
A.-α B.л-α C.（2kл+1）л-α(k∈Z) D.kл-α（k∈Z）
3.若sinαtgα≥0,k∈Z，则角α的集合为（ ）
A．[2k－，2k +] B.( 2k－,2k+)
C.( 2k－，2k+)∪ D.以上都不对
4．当0＜x＜时,则方程cos (cosx)=0的解集为( )
A. B. C. D.
5．下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是( )
A.cos3＜tg3＜ctg3＜sine B.sin3＞cos3＞tg3＞ctg3
C.cot3＜tan3＜cos3＜sin3 D.sin3＞tan3＞cos3＞cot3
6．已知x∈(0, ),则下面四式: 中正确命题的序号是 .
①sinx＜x＜tgx ②sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx)
③sin3x+cos3x＜1 ④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx
7．有以下四组角：(1)k+；(2)k-；(3)2k±；(4)-k+(k∈z)其中终边相同的是（ ）
A.(1)和(2) B.(1)、(2)和(3)
C.(1)、(2)和(4) D.(1)、(2)、(3)和(4)
8．若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sinα等于（ ）
A.  B.－  C.－ D.－
9．函数y= 的定义域是______,值域是______.
10．若点P在第一象限，则在［０，2］内的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.2三角函数基本关系式与诱导公式
一、知识导学
1．同角三角函数的基本关系式
平方关系：；商数关系：；倒数关系：
同角三角函数的基本关系式可用图表示
（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方；
（2）对角为倒数关系；
（3）每个三角函数为相邻两函数的积.
2．诱导公式()
角 函数
正弦
余弦
记忆口诀
函数名不变
符号看象限
－
－
－
－
－
函数名不变
符号看象限
－
－
－
诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.
3．诱导公式解决常见题型
（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；
（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.
二、疑难知识导析
1．三角变换的常见技巧
“1”的代换；，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式）；
2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；
3．已知角的某个三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.
三、典型例题导讲
[例1]已知__________
错解：两边同时平方，由得
∴解得：
或解得：
错因：没有注意到条件时，由于
所以的值为正而导致错误.
正解：
两边同时平方，有
求出∴
[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值
错解：由得tan A=tan B
错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示
正解：由 ①2+②2得a2sin2B+b2cos2B=1
∴cos2B= ∴sin2B= ∴tan 2B=
∵B为锐角 ∴tan B=
得tan A=tan B=
[例3]（05年高考重庆卷）若函数的最大值为2，试确定常数a的值.
点评：本试题将三角函数“”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.
[例4] （05年高考北京卷）已知=2，求
（1）的值； （2）的值．
解：（1）∵ tan=2, ∴ ;
所以=；
（2）由(I), tanα=－, 所以==.
点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确.
[例5]化简：
错解：原式
错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.
正解：原式
（1）当，时
原式+
=0
（2）当，时
原式+
+=0
[例6]（05年高考江苏卷）若，则=（ ）
A． B． C． D．
错解：===1—2=
错因：诱导公式应用符号错.
正解：=
=—=—1+2=—.故选A.
[例7]．（05年高考福建卷）已知.
（1）求sinx－cosx的值；
（2）求的值.
解法一：（1）由
即
又 故
（2）

解法二：（1）联立方程
由①得将其代入②，整理得
故
（2）
点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.
[例8] (1)化简： ＋+cos2αcsc2α
(2)设sin(α+)=－,且sin2α＞0
求sinα,tanα
解：原式=＋ +cos2αcsc2α
=cos2α+sin2α+cos2αcsc2α
=1+cot2α
=csc2α
(2)解：由sin(α+ )=- ∴cosα=- ∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+π
kπ＜α∵cosα=- ＜0 ∴α为第三角限角
sinα=-＝ tan α= = 
点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨.
[例9] 求函数的定义域.
解：由题意有

当时，；
当时，；
当时，
函数的定义域是
点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数.
[例10] （05年高考天津卷）
已知.
解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得
即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故 ②
由①式和②式得 .因此，，由两角和的正切公式
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
解得
由
由于，
故在第二象限，于是.
从而（以下同解法一）.
点评：，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式），在求值过程中要注意符号的讨论.
四、典型习题导练
1． 当0＜x＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( )
A. B. C. D.
2．（05年高考全国卷Ⅰ）在中，已知，给出以下四个论断：
① ②
③ ④
其中正确的是
A．①③ 　B.②④ C.①④ D.②③
3．（05年全国卷Ⅲ）设,且,则
A. B. C. D.
4．函数
A. 增函数 B. 减函数
C. 偶函数 D. 奇函数
5．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依
次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
6．
7．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x．
(1) 求f()的值； (2) 设∈(0，)，f()＝，求sin的值．
8．（05年高考湖南卷）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，
sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.
9．（06年高考安徽卷）已知
（1）求的值；
（2）求的值。
3.3三角函数的恒等变换
一、知识导学
1.两角和、差、倍、半公式
两角和与差的三角函数公式



二倍角公式


半角公式
， ，

2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.
二、疑难知识导析
1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.
2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是“是任意角，的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.
3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例、、等.
4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如、、
，等，注意到倍角的相对性.
5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.
6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式
(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.
(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.

三、典型例题导讲
[例1] 在(ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则(C的大小应为( )
A． B． C．或 D．或
错解：C
错因：求角C有两解后未代入检验.
正解：A
[例2] 已知tan( tan(是方程x2+3x+4=0的两根，若(，(((-)，则(+(=（ ）
A． B．或- C．-或 D．-
错解：B.
错因：未能准确限制角的范围.
正解：D.
[例3] 若，则对任意实数的取值为（ ）
A. 1 B. 区间（0，1） C. D. 不能确定
错解：C
错因：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D.
正解：解法一　设点，则此点满足

解得或
即

选A
解法二：用赋值法，
令
同样有
选A
[例4] △ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（ ）
A. B. C.或 D.
错解：C
错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘.
正解：A
[例5] 已知，（），则（　　）
A、 B、 C、 D、
错解：A
错因：是忽略，而解不出
正解：C
[例6]求值：=_______________
解：答
解法一　
原式


解法二


[例7] 已知是第三象限的角，若等于（ ）
A. B. 　　　　C. D.
解：选A.
解析：




[例8]
分析：对三角函数式化简的目标是：
（1）次数尽可能低；
（2）角尽可能少；
（3）三角函数名称尽可能统一；
（4）项数尽可能少.
观察欲化简的式子发现：
（1）次数为2（有降次的可能）；
（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；
（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；
（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种.
解法一：（复角→单角，从“角”入手）
原式




解法二：　（从“名”入手，异名化同名）





解法三　（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）


解法四　（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）





点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.
四、典型习题导练
1.已知集合M=，N=则MUN等于（　　）
A．M B.N C.ф D.
2.若sinα+cosα=,则tanα+cotα=( 　 )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.已知＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为( )
A.或- B.- C. D.以上都不对
4.已知θ=,则= .
5.计算sinsin= .
6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（　　）
A． B． C． D．
7．求值：__________
8.函数的最小值为（ ）
A. B. C. 0 D. 1
9．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不确定
10.已知向量
（1）求的值；
（2）若的值.
3.4三角函数的图像与性质
一、知识导学
1.三角函数线.设角的终边与单位圆交于点，过点做轴于，过点做单位圆的切线，与角的终边或终边的反向延长线相交于点，则有向线段分别叫做角的正弦线，余弦线，正切线.
2.三角函数的图像
（1）四种图像
（2）函数的图像
①“五点作图法”
②图像变化规律
3.三角函数的定义域、值域及周期
4.三角函数的奇偶性和单调性
二、疑难知识导析
1.+中，及，对正弦函数图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.
如：向右平移个单位，应得，而不是
2.用“五点法”作图时，将看作整体，取，来求相应的值及对应的值，再描点作图.
3.的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中的各个参数.
4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.
5.求三角函数的值域是常见题型.一类是型，这要变形成；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.
6.单调性的确定，基本方法是将看作整体，如求增区间可由解出的范围.若的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.
7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.

三、典型例题导讲
[例1] 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D向左平移
错解：A
错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.
正解：B
[例2] 函数的最小正周期为( )
A B C D
错解：A
错因：将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.
正解：B
[例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以点(,0)为中心对称的三角函数有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
错解：B
错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握.
正解：D
[例4]函数为增函数的区间是 ( )
A. B. C. D.
错解：B
错因：不注意内函数的单调性.
正解： C
[例5]函数的最大值为__________.
解：

[例6] 函数的部分图像是（ ）
解：选D.
提示：显然

[例7] 当
A. 最大值为1，最小值为-1 B. 最大值为1，最小值为
C. 最大值为2，最小值为 D. 最大值为2，最小值为
解：选D
解析：，而


[例8]已知定义在区间上的函数的图像关于直线
对称，当时，函数，
其图像如图所示.
（1）求函数在的表达式；
（2）求方程的解.
解：（1）当时，函数，观察图像易得：，即时，函数，
由函数的图像关于直线对称得，时，
函数. ∴.
（2）当时，由得，
；
当时，由得，.
∴方程的解集为
四、典型习题导练
1.函数的图像的一条对称轴方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知点是函数上的两个不同点，且，
试根据图像特征判定下列四个不等式的正确性：①；②；③
；④.其中正确不等式的序号是 .
3.
4.若常数α满足＜1,求使函数f (x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数的α的值.
5．已知函数，
（1）当y取最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx，的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
6.
求函数的最小值.
7．（06年高考浙江卷）如图，函数y=2sin(πx＋φ),x∈R,(其中0≤φ≤)
的图象与y轴交于点（0，1）.
(1)求φ的值；
(2)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求
3.5解三角形及三角函数的应用
一、知识导学
1.解三角形的的常用定理:
内角和定理:结合诱导公式可减少角的个数.
(2) 正弦定理: （指△ABC外接圆的半径）

(3) 余弦定理: 及其变形.
(4) 勾股定理:
2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.
三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.他的显著特点是（1）意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.（2）函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.
二、疑难知识导析
1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可求出其他量.
2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用.
3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.
三、经典例题导讲
[例1]已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，
且、，则的值是_________________.
错解： 是方程的两个根
，
由===可得
错因：忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.
正解： ，
是方程的两个负根
又 即
由===可得
答案: -2 .
[例2]在中，已知，b，c是角A、B、C的对应边，则
①若，则在R上是增函数；
②若，则ABC是；
③的最小值为；
④若，则A=B；
⑤若，则，其中错误命题的序号是_____.
错解：③④⑤中未考虑.
错因：④中未检验.
正解：错误命题③⑤.
①
②.
③时最小值为.
显然.得不到最小值为.
④
或(舍) ，.
⑤
错误命题是③⑤.
[例3]函数f(x)=的值域为______________.
错解：
错因：令后忽视,从而
正解：
[例4] （06年高考江苏卷）＝　　
【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值
解：
＝
＝
【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.
[例5] 在锐角△ABC中，A＜B＜C,且B=60°,
=,求证：a+
解：∵B=60° ∴A+C=120° cos(A+C)=-
又由已知=　∵锐

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