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第十一章 数系的扩充与复数
§11.1 数系的扩充与复数的概念
一、知识导学
复数：形如的数（），复数通常有小写字母表示，即,其中叫做复数的实部、叫做复数的虚部，称做虚数单位.
分类：复数()中，当时，就是实数；除了实数以外的数，即当b时，叫做虚数；当,b时，叫做纯虚数.
复数集：全体复数所构成的集合.
复数相等：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，记作：=.
复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.
复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.
(1)；
(2)=；
(3)；
7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.
二、疑难知识导析
1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小
2．则，而，则不一定成立，如时；
3．，而则不一定成立；
4．若不一定能推出；
5．若，则=，但若则上式不一定成立.
三、经典例题导讲
[例1]两个共扼复数的差是（ ）
.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数
错解:当得到时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.
正解：设互为共扼的两复数分别为及则 或
当时，，为纯虚数
当时，，，因此应选D.
注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记
忆有关概念性质.
[例2]判断下列命题是否正确
(1)若, 则
(2)若且，则
(3)若，则
错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正
确的
(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复
数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.
(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的
前提条件.
正解：(1)错，反例设则
(2)错，反例设，，满足，但
不能比较大小.
(3)错，，，故，都是虚数，不能比较大小.
[例3]实数分别取什么值时，复数是(1)实数；
(2)虚数;(3)纯虚数.
解：实部，虚部.
（1）当 时，是实数；
（2）当 ，且 时，是虚数；
（3） 当 或 时是纯虚数．
[例4] 设，当取何值时，
(1) ; (2).
分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．
解：(1)由可得：解之得，
　　即：当 时
　　(2)当 可得：
　　 或 ，即 时.
[例5]是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且，证明△OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数．
分析? 本题起步的关键在于对条件的处理．等式左边是关于的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．
解：由（，不为零），得
　　　　　　　
　　　　即向量与向量的夹角为，
　　　　在图中，，又，设，
　　　　在△OPQ中，由余弦定理
△OPQ为直角三角形，
．
四、典型习题导练
1. 设复数z满足关系，那么z等于（?? ）．
　　A．? B．? C．? D．
2.复数系方程有实数根，则这个实数是.
3.?实数m取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．
4.已知且求复数
5.设复数满足且在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，求的值
　　 §11.2 复数的运算
一、知识导学
1.复数加、减法的几何意义
(1)加法的几何意义
复数 是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.
2. 重要结论
对复数z 、、和自然数m、n，有
，，
(2) ，，，；
，，，.
(3) ，，.
(4)设，，，，，
二、疑难知识导析
1.对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.
2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.
当时，不总是成立的.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
三、经典例题导讲
[例1] 满足条件的点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
错解：选A或B.
错因：如果把看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数
动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.
正解：点（0，2）与（-1，0）间的距离为，
动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C
评注：加强对概念的理解加深，认真审题.
[例2] 求值：
错解：原式=


错因：上面的解答错在没有真正理解的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位整数幂的运算结果的周期性.
正解：原式=
=
=
评注：虚数单位整数幂的值具有以4为周期的特点，根据必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.
[例3]已知，求的值.
分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简.

原式=
评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.
[例4] （06年上海春卷）已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.
解法一： ，
.
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.
，
所求的一个一元二次方程可以是.
解法二：设
，
得
，
以下解法同解法一.
[例5]
解析





四、典型习题导练
1．（06年四川卷）非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；
（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：
①
②
③
④
⑤
其中关于运算为“融洽集”__________;（写出所有“融洽集”的序号）
2.
3．计算
4.计算
5．解下列方程：
　　(1)；
　　(2).
第十二章 统计
12．1抽样方法
知识导学
1．抽签法：
（1）将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N）；
（2）将1到N这N个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）；
（3）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
（4）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；
（5）从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出.
2．随机数表法：
（1）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；
（2）在随机数表中任选一个数作为开始；
（3）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止；
根据选定的号码抽取样本.
3．系统抽样（等距抽样）：
（1）采用随机的方式将总体中的个体编号；
（2）将整个的编号按一定的间隔（设为k）分段，当（N为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N能被n整除，这时，并将剩下的总体重新编号；
（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；
（4）将编号为的个体抽出.
4．分层抽样：
（1）将总体按一定标准分层；
（2）计算各层的个体数与总体的个数的比；
（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
（4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）.
二．疑难知识导析
1．简单随机抽样是从总体中逐个不放回地抽取.
2．简单随机抽样和系统抽样都是一种等概率抽样，即每个个体被抽到的可能性都是相同的.
3．简单随机抽样适用于总体中个体较少的情况；系统抽样适用于总体中个体数较多的情形；分层抽样用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.
分层抽样时，在每一层内进行抽样时可根据具体情况，采用简单随机抽样或系统抽样.
在使用分层抽样时，在每一层内抽样的比例相同.
三．经典例题导讲
[例1]某工厂生产A,B,C,D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：1，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号有16件，那么此样本容量n是多少？
错解：样本容量16=2（件）
错因：混淆了A型号产品与样本容量的比例关系.
正解：在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的，所以，样本容量为
答：此样本容量为88件.
[例2]从1002名学生中选取100名进行抽样检查.请用系统抽样法设计一种方案，叙述其步骤.
解：（1）将1002名学生进行编号，号码分别为1，2，……，1002；
（2）用随机数表法剔除2个个体，并将剩下的学生重新编号，号码分别为1，2，……1000；
（3）将1000个号码平均分成100组，并在第一组1，2，……，10中用简单随机抽样法确定一个号码（如）；
将号码为的个体抽出.
[例3]某学校有2005名学生，从中选取20人参加学生代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数表法？如何具体实施？
分析：由于学生人数较大，制作号签比较麻烦，所以决定用随机数表法
解：采用随机数表法
实施步骤：
对2005名同学进行编号，0000-2004
在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如21行45列的数字9开始的4位：9706；依次向下读数，5595，4904,………，如到最后一行，转向左边的四位数字号码，并向上读，凡不在0000-2004范围内的，则跳过，遇到已读过的数也跳过，最后得到号码为：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842，0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1855的学生组成容量为20的样本.
[例4]某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3000件，4000件，8000件.若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本，应该如何抽样？
解：总体中的个体数N=3000+4000+8000=15000
样本容量n=150
抽样比例为
所以应该在第一条流水线生产的产品中随机抽取3000=30件产品
在第二条流水线生产的产品中随机抽取：4000=40件产品
在第三条流水线生产的产品中随机抽取：5000=50件产品
这里因为每条流水线所生产的产品数都较多，所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法
四．典型习题导练
1．为了解某班50名同学的会考及格率，从中抽取10名进行考查分析，则在这次考查中，考查的总体内个体总数为 样本容量为 .
2．采用系统抽样从含有2000个个体的总体（编号为0000，0001，……，1999）中抽取一个容量为100的样本，则第一段的编号为 若在第一段中用简单随机抽样得到起始个体编号为0013，则前6个入样编号为 .
3．某市为了了解职工的家庭生活状况，先将职工所在的国民经济行业分成13类，然后每个行业抽的职工家庭进行调查，这种抽样方法是 .
4．用分层抽样的方法在一个企业中抽取一个样本容量为50的样本，其中在管理营销部门抽了15人，技术部门10人，其余在生产工人中抽取，已知该企业有生产工人375人，那么这个企业共有多少职工？
5．采用简单随机抽样从含有5个人的身高的总体中抽取一个容量为2的样本，写出全部样本，并计算各个样本的平均值，各样本平均值的平均值.
12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图
一、知识导学
1．频率分布表：反映总体频率分布的表格.
2．一般地，编制频率分布表的步骤如下：（1）求全距，决定组数和组距，组距=；（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.
频率（分布）直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律.
一般地，作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.
频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.
制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出.
二、疑难知识导析
在编制频率分布表时，要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据的分布情况.
在编制频率分布表时，如果取全距时不利于分组（如不能被组数整除），可适当增大全距，如在左右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）.
频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线.
茎叶图对于分布在0~99的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地表示原始数据的信息.
在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图.
三、典型例题导讲
[例1]（06全国卷）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人用再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出 人.
解析:由直方图可得（元）月收入段共有人，
按分层抽样应抽出人.故答案 25
点评：频率分布直方图中，关健要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.
[例2]从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为：
甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512
乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514
画出上述数据的茎叶图
错解：
甲 乙
8 0 7
87632 1 024668
8764220 2 013468
43 3 02
4
错因：对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出，对于三位数字，应该把前两位数字作为茎，最后一位数字作为叶，然后从图中观察数据的分布情况，而不是仍考虑两位数，尽管此题的效果一样.
正解：用前两位数作为茎，茎叶图为
甲 乙
8 50 7
87632 51 024668
8764220 52 013468
43 53 02
54
从图中可以看出，甲机床生产的零件的指标分布大致对称，平均分在520左右，中位数和众数都是522，乙机床生产的零件的指标分布也大致对称，平均分也在520左右，中位数和众数分别是520和516，总的看，甲的指标略大一些.
[例3]在绘制频率分布直方图的第三个矩形时，矩形高度
与这个矩形的宽度（组距）有关；
与样本容量n无关；
与第三个分组的频数有关；
与直方图的起始点无关.
以上结论中正确的共有（）
A．0个 B.1个 C. 2个 D.3个
错解：D.
错因：起始点与组距均影响第三组的频数，所以矩形高度与以上各因素均有关，①③正确，正解：C.
[例4]根据中国银行的外汇牌价，2005年第一季度的60个工作日中，欧元的现汇买入价（100欧元的外汇可兑换的人民币）的分组与各组频数如下：〔1050，1060〕：1，〔1060，1070〕：7，〔1070，1080〕：20，〔1080，1090〕：11，〔1090，1100〕：13，〔1100，1110〕：6，〔1110，1120〕：2.
（1）列出欧元的现汇买入价的频率分布表；（2）估计欧元的现汇买入价在区间1065~1105内的频率；（3）如果欧元的现汇买入价不超过x的频率的估计值为0.95，求此x
解：（1）欧元的现汇买入价的频率分布表为：
分组
频数
频率
［1050，1060﹚
1
0.017
［1060，1070﹚
7
0.117
［1070，1080﹚
20
0.333
［1080，1090﹚
11
0.183
［1090，1100﹚
13
0.217
［1100，1110﹚
6
0.100
［1110，1120﹚
2
0.033
合计
60
1.000
（2）欧元现汇买入价在区间1065~1105内的频率的估计值为
（3）因为0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.867〈0.95，0.017+……+0.217+0.100=0.967〉0.95，所以在［1100，1110］内，且满足0.867+0.100即欧元现汇买入价不超过1108.3的频率的估计为0.95
[例5]初一年级某班期中考试的数学成绩统计如下：
分数段
100
90—99
80--89
70--79
60--69
0--59
人数
2
6
12
21
7
2
如果80分以上（包括80分）定为成绩优秀，60分以上（包括60分）定为成绩及格.那么，在这个班级的这次成绩统计中，成绩不及格的频率是多少？成绩及格的频率是多少？成绩优秀的频率是多少？
解：被统计的对象（参加这次考试的本班学生）共有2+6+12+21+7+2=50个.60分以上的有48个，80分以上的有20个，所以成绩不及格的频率是，成绩及格的频率是，成绩优秀的频率是.
说明 要计算一组数据中某个对象的频率，要先计算数据的总的个数，再计算符合这个对象要求的数据的个数.某个对象可以是一个确定的数据，也可以是在某一范围内数据的总数.
[例6]在英语单词frequency和英语词组relative frequency中，频数最大的各是哪个字母？它们的频数和频率各是多少？
解：在frequency和英语词组relative frequency中，频数最大的字母都是e，在单词frequency中，e的频数是2，频率是；在词组relative frequency中，e的频数是4，频率是.
点评：在两组数据中，同一个对象的频数相等，但频率不一定相等，频数大，不一定频率大.在同一组数据中，某两个对象的频数相等，频率也相等；频数大，频率也大.
典型习题导练
1．（06年重庆卷）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为岁的男生体重，得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在的学生人数是（ ）.
A． 20 B.30 C.40 D. 50
一个容量为800的样本，某组的频率为6.25%，则这一组的频数是
某校随机抽取了20名学生，测量得到的视力数据如下：4.7，4.2，5.0，4.1，4.0，4.9，5.1，4.5，4.8，5.2，5.0，4.0，4.5，4.8，4.7，4.8，4.6，4.9，5.3，4.0
列出频率分布表（共分5组）
估计该校学生的近视率（视力低于4.9）
用一个容量为200的样本制作频率分布直方图时，共分13组，组距为6，起始点为10，第4组的频数为25，则直方图中第4个小矩形的宽和高分别是多少？
200名学生某次考试的成绩的分组及各组频率如下表：
分组
频数
2
11
30
52
85
20
则及格率，优秀率（）的估计分别是
6．某地随机检查了140名成年男性红细胞（L），数据的分组及频率如下表：
分组
频数
频率
分组
频数
频率
2
17
6
13
11
4
25
2
32
1
27
合计
140
（1）完成上面的频率分布表
（2）根据上面的图表，估计成年男性红细胞数在正常值（4.0~5.5）内的百分比
7．名著《简爱》的中英文版本中，第一节部分内容每句句子所含单词（字）数如下：英文句子所含单词数10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31；中文句子所含字数11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18，71，75，51.
（1）作出这些数据的茎叶图；
（2）比较茎叶图，你能得到什么结论？
12．3平均数、方差与标准差
一、知识导学
1．n 个数据，，…….的平均数或平均值一般记为=.
2．一般地，若取值的频率分别为，则其平均数为.
3．把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.
一般地，设一组样本数据，其平均数为，则称为这个样本的方差，算术平方根为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差.
二、疑难知识导析
1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数.
2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响.
3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略.
4.样本方差也可以用公式计算.
三、经典例题导讲
[例1]（06年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
解：由平均数公式为10，得，则，又由于方差为2，则得

所以有，故选D.
[例2]数据是一名运动员的次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）.
A．样本平均数均值 B．样本极差
C．样本方差 D．样本平均差AD=
错解：C.
错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计.
正解：A.
[例3]某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？
解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为=1.75.即这11个人的平均身高为1075米
[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数
解：年平均收入为1（万）；中位数和众数均为1万
[例5]下面是某快餐店所有工作人员的收入表：
老板
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
3000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元
（1）计算所有人员的月平均收入；
（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？
（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？
（4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析
解：（1）平均收入（3000+450+350+400+320+320+410）=750元
（2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员
（3）去掉老板后的月平均收入（450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平
（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之
四、典型习题导练
在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：
成绩
6
7
8
9
10
人数分布
1
2
4
6
7
则选手的平均成绩是 （ ）
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .
3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
等待时间（分钟）
人数
4
8
5
2
1
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值= ，病人等待时间的标准差的估计值=
4．样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为
5．下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况
男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94
女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97
6．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.
（1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.
12.4线性回归方程
一、知识导学
变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达
能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系
一般地，设有（x,y）的n对观察数据如下：
……
……
当a,b使
取得最小值时，就称为拟合这n对数据的线性回归方程，将该方程所表示的直线称为回归直线.
4．线性回归方程中的系数满足：
由此二元一次方程组便可依次求出的值：
（*）
5．一般地，用回归直线进行拟合的一般步骤为：
（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；
（2）如果散点在一条直线附近，用公式（*）求出，并写出线性回归方程.
二、疑难知识导析
1．现实世界中两个变量的关系中更多的是相关关系而不是确定性关系，许多物理学中公式看起来是确定性关系，实际上由于公式的使用范围，测量误差等的影响，试验得到的数据之间是相关关系.
2．用最小二乘估计方法计算得到的使函数达到最小
3．还有其他寻找较好的回归直线的原则（如使y方向的偏差和最小，使各点到回归直线的距离之和最小等）
比较相关关系绝对值的大小可以比较一组变量之间哪两个变量有更强的（线性）相关关系.
“最好的”直线方程中“最好”可以有多种解释，也就有不同的求解方法，现在广泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散点到直线在垂直方向上的距离的平方和最小的直线，用这个方法，的求解最简单
三、经典例题导讲
[例1]有如下一组y与x的数据
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
9
4
1
0
1
4
9
问y与x的(样本)相关系数r是多少?这是否说明y与x没有关系?
错解：
所以相关系数r=0,即y与x没有关系.
错因：相关系数r=0并不是说明y与x没有关系，而是说明y与x没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系.
正解：
所以相关系数r=0,即y与x没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系.
此题中y与x之间存在着的二次相关关系的.
[例2]某工厂在2004年的各月中，一产品的月总成本y（万元）与月产量x（吨）之间有如下数据：
x
4.16
4.24
4.38
4.56
4.72
4.96
5.18
5.36
5.6
5.74
5.96
6.14
y
4.38
4.56
4.6
4.83
4.96
5.13
5.38
5.55
5.71
5.89
6.04
6.25
若2005年1月份该产品的计划产量是6吨，试估计该产品1月份的总成本.
分析：可将此问题转化为下面三个问题：
（1）画出散点图，根据散点图，大致判断月总成本y与月产量之间是否有线性相关关系；
（2）求出月总成本y与月产量x之间的线性回归方程；
若2005年1月份该产品的计划产量是6吨，试估计该产品1月份的总成本.
错解：省去第一步，即把判断判断月总成本y与月产量之间是否有线性相关关系的过程舍去，想当然其具有线性相关关系，直接代入公式，求出线性回归方程.
错因：此题的月总成本y与月产量x之间确实是有线性相关关系，若不具有则会导致错误.因此判断的过程不可少.
正解：（1）散点图见下面，从图中可以看到，各点大致在一条直线附近，说明x与y有较强的线性相关关系.
（2）代入公式（*）得：a=0.9100,b=0.6477，线性回归方程是：y=0.9100x+0.6477.
（3）当x=6.0时，y=0.9100（万元），即该产品1月份的总成本的估计值为6.11万元.
[例3]变量与有线性回归方程，现在将的单位由变为的单位由 变为，则在新的回归方程中. .
错解：0.1
错因：由 且的值变为原来的 ，的值变为原来的可得的值应为原来的.
正解：0.01
[例4]假定一个物体由不同的高度落下，并测量它落下的时间，几个测量结果如下表所示：
高度s(cm)
40
60
100
130
150
180
200
220
240
时间t(ms)
353
387
505
552
579
648
659
700
725
高度（距离）与时间之间的关系由公式给出，这里g是重力加速度的值.
（1）画出s关于t的散点图，这些点在一条直线附近吗？
（2）设，画出s关于x的散点图，这些点在一条直线附近吗？
（3）求出s关于x的线性回归方程.
解：（1）高度s关于时间t的散点图见下面，从图中可以看到这些点似乎在一条直线附近，也好像在一条抛物线附近
（2）高度s关于x的散点图见下面，从图中可以看到这些散点大致在一条直线附近
（3）可以求得s关于x的线性回归方程是s=0.0004901x－18.8458
[例5]测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：
父亲身高（x）
60
62
64
65
66
67
68
70
72
74
儿子身高（y）
63.5
65.2
66
65.5
66.9
67.1
67.4
68.3
70.1
70
（1）画出散点图；
（2）求出y与x之间的线性回归方程；
（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高.
解：（1）散点图见下面：
（2）从散点图可以看出，这些点都分布在一条直线附近，可求得线性回归方程为
（3）当时，
所以当父亲的身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸.
四、典型习题导练
1．回归直线方程的系数a,b的最小二乘估计使函数最小，函数指（ ）.
A． B. C． D.
2．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归.根据他的结论在儿子的身高y与父亲的身高x的线性回归方程中，b（ ）.
A．在（－1，0）内 B.等于0 C．在（0，1）内 D.在[1，+∞]内
3．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对不同的温度观测它在水中的溶解度，得到观测结果如下：
温度x
0
10
20
50
70
溶解度 y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
则由此得到的回归直线的斜率是 （保留4位有效数字）
4．下面的数据是年龄在40至60岁的男子中随机抽取的6个样本，分别测定了心脏功能水平y（满分100），以及每天画在看电视上的平均时间x（小时）
看电视平均时间x
4.4
4.6
2.7
5.8
0.2
4.6
心脏功能水平y
52
53
69
57
89
65
则x与y的样本相关系数为 .
5．某地区近年来冬季的降雨量x(cm)与次年夏季空气中碳氢化合物的最高平均浓度y（ppm），的观测数据如下表：
年份 n
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
x
28
22
31
23
58
33
21
20
45
31
23
16
14
y
4.5
4.1
4.8
4.2
4.6
3.6
3.1
2.8
3.4
2.6
2.3
2.2
2.0
你认为y与x是什么关系？y与n是什么关系？
6．每立方米混凝土的水泥用量x（单位：kg）与28天后混凝土的托压强度（单位：kg/cm）的关系有如下数据：
x
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
Y
56.9
58.3
61.6
64.6
68.1
71.3
74.1
77.4
80.2
82.6
86.4
89.7
（1）y与x是否具有线性相关关系？
（2）如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程.
第十三章 算法初步
§13.1 流程图
一、 知识导学
流程图：是由一些图框和带箭头的流线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序.
2．算法的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.
3．根据对条件的不同处理，循环结构又分为两种：
直到型(until型)循环：在执行了一次循环体之后，对控制循环条件进行判断，当条件不满足时执行循环体.满足则停止.如图13-1-3，先执行A框，再判断给定的条件是否为“假”，若为“假”，则再执行A，如此反复，直到为“真”为止.
当型（while型）循环：在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止.如图13-1-4，当给定的条件成立（“真”）时，反复执行A框操作，直到条件为“假”时才停止循环.

图13-1-1 图13-1-2
二、疑难知识导析
1.“算法“没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性说明，算法具有如下特点：
（1）有限性：一个算法的步骤是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
（2）确定性：算法的每一步骤和次序应当是确定的.
（3）有效性：算法的每一步骤都必须是有效的.
2. 画流程图时必须注意以下几方面：
（1）使用标准的图形符号.
（2）流程图一般按从上到下、从左到右的方向画.
（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框具有超过一个退出点的唯一符号.
（4）判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果.
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.
3. 算法三种逻辑结构的几点说明：
（1）顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的.在流程图中的体现就是用流程线自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.（2）一个条件结构可以有多个判断框.
（3）循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断.在循环结构中都有一个计数变量和累加变量.计数变量用于记录循环次数，累加变量用语输出结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次.
三、经典例题导讲
[例1] 已知三个单元存放了变量，，的值，试给出一个算法，顺次交换，， 的值（即取的值，取的值，取的值），并画出流程图.
错解：第一步
第二步
第三步
流程图为

图13-1-3
错因：未理解赋值的含义，由上面的算法使得，均取的值.
举一形象的例子：有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题.对于这种非数值性问题的算法设计问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤完成算法. 我们不可将两个墨水瓶中的墨水直接交换，因为两个墨水瓶都装有墨水，不可能进行直接交换.正确的解法应为：
S1 取一只空的墨水瓶，设其为白色；
S2 将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；
S3 将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；
S4 将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；
S5 交换结束.
正解：第一步 ｛先将的值赋给变量，这时存放的单元可作它用}
第二步 ｛再将的值赋给，这时存放的单元可作它用}
第三步 ｛同样将的值赋给，这时存放的单元可作它用}
第四步 ｛最后将的值赋给，三个变量，，的值就完成了交换}
流程图为

图13-1-4
点评：在计算机中，每个变量都分配了一个存储单元，为了达到交换的目的，需要一个单元存放中间变量.
[例2]已知三个数，，.试给出寻找这三个数中最大的一个算法，画出该算法的流程图.
解：流程图为
图13-1-5
点评：条件结构可含有多个判断框，判断框内的内容要简明、准确、清晰.此题也可将第一个判断框中的两个条件分别用两个判断框表示，两两比较也很清晰.若改为求100个数中的最大数或最小数的问题则选择此法较繁琐，可采用假设第一数最大（最小）将第一个数与后面的数依依比较，若后面的数较大（较小），则进行交换，最终第一个数即为最大（最小）值.
点评：求和时根据过程的类同性可用循环结构来实现，而不用顺序结构.
[例3]画出求的值的算法流程图.
解：这是一个求和问题，可采用循环结构实现设计算法，但要注意奇数项为正号，偶数项为负号.
思路一：采用-1的奇偶次方（利用循环变量）来解决正负符号问题；

图13-1-6 图13-1-7
思路二：采用选择结构分奇偶项求和；

图13-1-8
思路三：可先将化简成，转化为一个等差数列求和问题，易利用循环结构求出结果.
[例4] 设计一算法，求使成立的最小正整数的值.
解： 流程图为

图13-1-9
点评：这道题仍然是考察求和的循环结构的运用问题，需要强调的是求和语句的表示方法.若将题改为求使成立的最大正整数的值时，则需注意的是输出的值.
[例5]任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.
解：算法为：
S1 判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行S2
S2 依次从2～n-1检验是不是的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数.
点评：要验证是否为质数首先必须对质数的本质含义作深入分析：
（1）质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.
（2）要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据定义，用比这个整数小的数去除n.如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.
图13-1-10
[例6]设计一个求无理数的近似值的算法.
分析：无理数的近似值可看作是方程的正的近似根，因此该算法的实质是设计一个求方程的近似根的算法.其基本方法即运用二分法求解方程的近似解.
解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005,算法:
S1 令.因为,所以设
S2 令,判断是否为0,若是,则m为所求;若否,则继续判断大于0还是小于0.
S3 若>0,则;否则,令.
S4 判断是否成立，若是，则之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步.
点评：二分法求方程近似解的算法是一个重要的算法案例，将在第三节中详细阐述.
四、典型习题导练
1．已知两个单元分别存放了变量和的值，则可以实现变量交换的算法是（ ）.
A．S1 B．S1 C．S1 D．S1
S2 S2 S2 S2
S3 S3
下面流程图中的错误是（ ）

图13-1-11
A．没有赋值 　B．循环结构有错
C．S的计算不对 D．判断条件不成立
3.将“打电话”的过程描述成一个算法，这个算法可表示为 ，由此说明算法具有下列特性 .
4. 在表示求直线（，为常数，且，不同时为0）的斜率的算法
的流程图中，判断框中应填入的内容是
5. 3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画
出这个算法的流程图.
6.一队士兵来到一条有鳄鱼的深河的左岸.只有一条小船和两个小孩，这条船只能承载两个小孩或一个士兵.试设计一个算法，将这队士兵渡到对岸，并将这个算法用流程图表示.
§13.2基本算法语句
一、知识导学
赋值语句用符号“←”表示，“”表示将 的值赋给，其中是一个变量，是一个与同类型的变量或表达式.
条件语句主要有两种形式：“行If 语句”和“块If语句”.
“行If 语句”的一般形式为：
If A Then B [Else C] .
一个行If 语句必须在一行中写完，其中方括号中的Else部分可以缺省.
“块If 语句”的一般格式为:
If A Then
B
Else
C
End if
Then 部分和 Else 部分是可选的，但块If语句的出口“End if”不能省.
循环语句主要有两种类型：For语句和While语句.
当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示.“For”语句的一般形式为：
For I from“初值” to step“步长”… End for
上面“For”和“End for”之间缩进的步骤称为循环体.
当循环次数不能确定是，可用“While”语句来实现循环.“While”语句的一般形式为：
While A
…
End while
其中A表示判断执行循环的条件.
上面“While”和“End While”之间缩进的步骤称为循环体.
二、疑难知识导析
有的条件语句可以不带“Else”分支，即满足条件时执行B，否则不执行任何操作.条件语句也可以进行嵌套，在进行条件语句的嵌套时，书写要有层次.例如：
If A Then
B
Else if C Then
D
Else
E
End if
2.“For”语句是在执行过程中先操作，后判断.而“While”语句的特点是“前测试”，即先判断，后执行.若初始条件不成立，则一次也不执行循环体中的内容.任何一种需要重复处理的问题都可以用这种前测试循环来实现.
三、经典例题导讲
[例1] 下列程序的运行结果是 .
If >5 Then
If >4 Then
If >3 Then
Print
错解：8+7=15
错因：误认为在一个程序中只执行一个条件语句，与在一个条件语句中只选择其中一个分支相混淆.If A Then B [Else C] 若满足条件A 则执行B，否则是执行C，B和C是这个条件语句的分支，而这个程序省略了Else部分.
正解：这里是有三个条件语句，各个条件语句是独立的，三个条件均成立，所以按顺序依次执行，结果为8+7+6+6=27.
[例2] 下面的伪代码的效果是
While <10
End While
End
错解：执行10次循环
错因：将For语句和While语句混淆. For语句中有步长使循环变量不断变化，而While语句则无.
正解：无限循环下去，这是因为这里始终为0，总能满足条件“”，故是一个“死循环”.
点评：“死循环”是设计循环结构的大忌，此题可改变的初始值或每一次循环都增加一个值.
[例3]下面的程序运行时输出的结果是（ ）

While
End while
Print S
End
错解：第一次循环时，I被赋予2，S被赋予4；第二次循环时，I被赋予3，S被赋予4+=13；第三次循环时，I被赋予4，S被赋予13+=29；第四次循环时，I被赋予5，S被赋予.由于此时，故循环终止，输出S为54.
正解：由于在循环内，每经过一次循环后S都被赋值0，因此，只要求满足条件的最后一次循环S的值，即当时，.
[例4]用语句描述求使成立的最大正整数的算法过程.
解：

While


End while
Print
点评：此题易错的是输出值，根据While循环语句的特征当时跳出循环体，此时的值是时的最小的整数，则使的最大整数应为的前一个奇数即.
[例5]已知当时，，当时，，当时，，设计一算法求的值.
解： Read x
If then

Else if Then

Else
End if
End
点评：嵌套If语句可用如上的紧凑形式书写，要注意的是如不是采取紧凑形式，则需注意一个块If语句对应一个End If，不可省略或缺少.
[例6]设计一个算法，使得输入一个正整数，输出1！+2！+3！+…+！的值.写出伪代码.
解：思路一：利用单循环，循环体中必须包括一个求各项阶乘的语句以及一个求和语句.
Read n

For I from 1 to n

End For
Print S
思路二：运用内外双重循环，但尤其注意的是每一次外循环T的值都要从1开始.
Read n

For I from 1 to n

For J from 1 to I

End For

End For
Print S
四 、典型习题导练
1． 下列的循环语句循环的次数为（ ）
For I from 1 to 7
For J from 1 to 9
Pint I+J
End for
End for
End
A.7次 B.9次 C.63次 D.16次
2．运行下面的程序后输出的结果是 ，若将程序中的A语句与B语句的位置互换，再次执行程序后输出的结果为 .
While
′A语句
′B语句
End While
Print x,y
End
3.伪代码描述的求T的代数式是 ,求的代数式是 .
Read n
For I from 1 to n
End for
Print T,S
4.运行下面程序后输出的结果为
For I from 10 to 1 step -2
Print I
End for
End
5. 将100名学生的一门功课的成绩依次输入并计算输出平均成绩.
§ 13．3 算法案例
一、知识导学
1．算法设计思想：
（1）“韩信点兵—孙子问题”对正整数m从2开始逐一检验条件，若三个条件中有任何一个不满足，则m递增1，一直到m同时满足三个条件为止(循环过程用Goto语句实现)
（2）用辗转相除法找出的最大公约数的步骤是：计算出的余数，若，则为的最大公约数；若，则把前面的除数作为新的被除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为正整数的最大公约数.
2.更相减损术的步骤：（1）任意给出两个正数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.
（3）二分法求方程在区间内的一个近似解的解题步骤可表示为
S1 取[]的中点，将区间 一分为二；
S2 若，则就是方程的根；否则判别根在的左侧还是右侧：
若，，以代替；
若，则，以代替；
S3 若，计算终止，此时，否则转S1.
二、疑难知识导析
1．表示不超过的整数部分，如，但当是负数时极易出错，如就是错误的，应为-2.
2．表示除以所得的余数，也可用 表示.
3．辗转相除法与更相减损术求最大公约数的联系与区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.
4．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间[]上是否有解,即连续且满足.并在二分搜索过程中需对中点处函数值的符号进行多次循环判定，故需要选择结构、循环结构，即可用Goto 语句和条件语句实现算法.
三、经典例题导讲
[例1] ， ，
， 7= .
A．16，-1，4，3 B.15，0，4，3 C.15,-1,3,4 D.15,-1,4,3
错解：根据表示不超过的整数部分, 表示除以所得的余数,选择B.
错因:对表示的含义理解不透彻,将不超过-0.05的整数错认为是0,将负数的大小比较与正数的大小比较相混淆.
正解：不超过-0.05的整数是-1,所以答案为D.
[例2] 所谓同构数是指此数的平方数的最后几位与该数相等.请设计一算法判断一个大于0且小于1000的整数是否为同构数.
错解： 算法思想：求出输入数的平方，考虑其个位或最后两位或最后三位与输入数是否相等，若相等，则为同构数.
Read x

If or or Then
Print x
End if
End
错因：在表示个位或最后两位或最后三位出现错误，“/”仅表示除，y/10,y/100,y/1000都仅仅表示商.
正解：可用来表示个位，最后两位以及最后三位.
Read x

If or or Then
Print x
End if
End
[例3]《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”可以用下面的算法解决：先在纸上写上2，每次加3，加成5除余3的时候停下来，再在这个数上每次加15，到得出7除2的时候，就是答数.
试用流程图和伪代码表示这一算法.
解：流程图为：

伪代码为：
10
20
30 If Then Goto 20
40 If Then
Print
Goto 80
50 End if
60
70 Goto 40
80 End
点评：这是孙子思想的体现，主要是依次满足三个整除条件.
[例4]分别用辗转相除法、更相减损法求192与81的最大公约数.
解：辗转相除法：
S1
S2
S3
S4
S5
故3是192 与81 的最大公约数.
更相减损法：
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
故3 是192与81的最大公约数.
点评：辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.辗转相除法是当大数被小数整除时停止除法运算，此时的小数就是两者的最大公约数，更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止，较小的数就是最大公约数.
[例5]为了设计用区间二分法求方程在[0，1]上的一个近似解（误差不超过0.001）的算法,流程图的各个框图如下所示,请重新排列各框图,并用带箭头的流线和判断符号“Y”、“N”组成正确的算法流程图,并写出其伪代码.(其中分别表示区间的左右端点)

图13-3-2
流程图为

图13-3-3
伪代码为
10 Read
20
30
40
50 If Then Goto 120
60 If Then
70
100 End if
80 Else
90
100 End if
110 If Then Goto 20
120 Print
130 End
点评：二分法的基本思想在必修一中已渗透，这里运用算法将二分法求方程近似解的步骤更清晰的表述出来.
[例6] 用秦九韶算法计算多项式在时的值时， 的值为 .
解： 根据秦九韶算法，此多项式可变形为
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当时的值：




故当时多项式的值为.
点评：秦九韶算法的关键是n次多项式的变形.
把一个次多项式改写成，求多项式的值，首先计算最内层括号内一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这样把求次多项式的值问题转化为求个一次多项式的值的问题，这种方法成为秦九韶算法.这种算法中有反复执行的步骤，因此，可考虑用循环结构实现.
四、典型习题导练
1．以下短文摘自古代《孙子算经》一书，其引申出的“大衍求一术”称为“中国剩余原理”：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰（ ）.
A．二十一 B.二十二 C.二十三 D.二十四
2．用辗转相除法求52与39的最大公约数的循环次数为（ ）.
A．1次 B.2次 C.3次 D.5次
3．下面程序功能是统计随机产生的十个两位正整数中偶数和奇数的个数，并求出偶数与奇数各自的总和.
For I from 1 to 10

Print x;
If Then

Else


End If
End for
Print
Print “奇数个数=”； ，“偶数个数=”；
4．若一个数的各因子之和正好等于该数本身，则该数成为完数.请补充完整下列找出1～100之间的所有完数的伪代码.
For from 2 to 100
For b from 2 to
If mod(a,b)=0 Then

End if
End For
If Then
Print a
End if
End For
End
5．设计求被9除余4，被11除余3的最小正整数的算法，画出流程图，写出伪代码.
6．利用辗转相除法或更相减损术求324,243,135的最大公约数.

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