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习题课　平面向量数量积的综合应用
向量的数量积运算、向量的垂直是考查的热点，平面向量数量积的计算，向量垂直的条件与数量积的性质常以客观题形式考查．解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，培养数学运算、直观想象等核心素养．
一、平面向量数量积的计算
例1　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
反思感悟　平面向量数量积的运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角)．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)选择合适的基底，转化为基底去解决问题．
提醒：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．
跟踪训练1　在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．
二、平面向量数量积的应用
角度1　求模
例2　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝______.
角度2　求夹角
例3　已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________.
角度3　垂直问题
例4　已知O为坐标原点，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，则在线段OC上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
反思感悟　(1)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：由向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
(3)两向量垂直的应用
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2　(1)(多选)已知向量a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，c＝(1,1)，设a，b的夹角为θ，则(　　)
A．|a|＝|b| B．a⊥c
C．b∥c D．θ＝135°
(2)(多选)已知向量a＝(1,2)，b＝(m,1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则(　　)
A．|b|＝
B．(2a＋b)∥(a＋2b)
C．向量2a－b与a－2b的夹角为
D．向量a在向量b上的投影向量的模为
三、平面向量的数量积与三角函数的综合问题
例5　已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值．
反思感悟　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解．
跟踪训练3　已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求α；
(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．
习题课　平面向量数量积的综合应用
例1　12
解析　因为·＝2·，
所以·－·
＝·，
所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||||cos ，
化简得||＝2.
故·＝·(＋)
＝||2＋·
＝(2)2＋2×2cos ＝12.
跟踪训练1　
例2　2
解析　因为＝(＋)
＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2
＝4(a2－2a·b＋b2)
＝4×
＝4，
则||＝2.
例3　－
解析　因为2＝，
所以E为BC的中点.
设正方形的边长为2，
则||＝，||＝2，
·＝·(－)
＝||2－||2＋·
＝×22－22＝－2，
所以cos θ＝＝＝－.
例4　解　假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
使得⊥.
则＝(2－6λ，5－3λ)，
＝(3－6λ，1－3λ)，
且·＝0，
所以(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，
解得λ＝或λ＝，
∴＝(2,1)或＝，
∴存在M(2,1)或M满足题意.
跟踪训练2　(1)BD　[根据题意知，
a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，
则a＝(－1,1)，b＝(2,0)，
对于A，|a|＝，|b|＝2，
则|a|＝|b|不成立，A错误；
对于B，a＝(－1,1)，c＝(1,1)，
则a·c＝0，即a⊥c，B正确；
对于C，b＝(2,0)，c＝(1,1)，b∥c不成立，C错误；
对于D，a＝(－1,1)，b＝(2,0)，则a·b＝－2，|a|＝，|b|＝2，则cos θ＝＝－，又0°≤θ≤180°，则θ＝135°，D正确.]
(2)AC　[将a＝(1,2)，b＝(m,1)代入b·(a＋b)＝3，得(m,1)·(1＋m,3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1,1)，所以|b|＝＝，故A正确；
因为2a＋b＝(1,5)，a＋2b＝(－1,4),1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误；
设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3,3)，a－2b＝(3,0)，所以cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正确；
向量a在向量b上的投影向量的模为＝＝，故D错误.]
例5　解　f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x
＝2cos.
因为x∈[0，π]，
所以x＋∈，
从而－1≤cos≤，
－2≤f(x)≤3.
于是，当x＋＝，
即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
跟踪训练3　解　(1)若m⊥n，
则m·n＝0，
即－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，
解得sin α＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.
(2)若|m－n|＝，则(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(－2cos α)2＝2，
即4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，
即8－8sin α＝2，可得sin α＝，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.

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