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§6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
[学习目标]　
1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.
2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
一、平面向量基本定理
问题1　如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量．请你将向量a按e1，e2的方向分解．
问题2　上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？
知识梳理　
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个____________向量，那么对于这一平面内的________向量a，______________实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2____________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
例1　(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
反思感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示．
跟踪训练1　(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
二、用基底表示向量
例2　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，.
反思感悟　用基底表示向量的一般方法
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为________，以{a，c}为基底时，可表示为________．
三、平面向量基本定理的应用
例3　如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c.
(1)用a，c表示向量；
(2)若点F在AC上，且＝a＋c，
求AF∶CF.
跟踪训练3　如图，在 ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
1．知识清单：
(1)平面向量基本定理．
(2)用基底表示向量．
(3)平面向量基本定理的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量．
1．(多选)下列选项中，正确的是(　　)
A．基底中的向量可以有零向量
B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
C．一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
D．平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的
2.如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于(　　)
A．－a＋b B.a－b
C.a＋b D．－a＋b
3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
6.3.1　平面向量基本定理
问题1　
＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2.
问题2　分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝－e2.由此可得e1，e2共线，这与已知e1，e2不共线矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的.
知识梳理
1.不共线　任一　有且只有一对
2.不共线
例1　ACD　跟踪训练1　AC
例2　解　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，
所以＝＝＝b.
＝＋＋
＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
跟踪训练2　a＋b　2a＋c
例3　解　(1)因为＝－＝c－a，点D是AC的中点，
所以＝＝(c－a)，
因为点E是BD的中点，
所以＝(＋)
＝＋
＝－a＋(c－a)
＝c－a.
(2)设＝λ(0<λ<1)，
所以＝＋＝＋λ
＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc.
又＝a＋c，所以λ＝，
所以＝，
所以AF∶CF＝4∶1.
跟踪训练3　
随堂演练
1.CD　2.D　3.A　4.

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