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6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
[学习目标]　
1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示．
一、平面向量的正交分解及坐标表示
问题1　如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？
问题2　如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？
知识梳理　
1．把一个向量分解为两个________________的向量，叫做把向量作正交分解．
2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个________________分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝________，则有序数对________叫做向量a的坐标．
3．坐标表示：a＝________.
4．特殊向量的坐标：i＝______，j＝______，0＝(0,0)．
例1　如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝，θ＝45°，则向量a的坐标为(　　)
A．(1, 1) B．(－1，－1)
C．(，) D．(－，－)
反思感悟　求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向．
(3)求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点，其终点的坐标即是该向量的坐标．
跟踪训练1　已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标．
二、平面向量加、减运算的坐标表示
问题3　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？
问题4　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？
知识梳理　
1．两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的________．
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有
符号表示
加法 a＋b＝(________，________)
减法 a－b＝(________，________)
2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．例如，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝____________.
例2　已知点A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b.
(1)求a＋b－c；
(2)求点M，N的坐标及向量的坐标．
反思感悟　平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
跟踪训练2　已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
三、平面向量坐标运算的应用
例3　已知点A(2,3)，B(5,4)，＝(5λ，7λ)(λ∈R)．若＝＋，试求λ为何值时，
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
反思感悟　坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．
跟踪训练3　已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点．
1．知识清单：
(1)平面向量的正交分解及坐标表示．
(2)平面向量加、减运算的坐标表示．
(3)平面向量坐标运算的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标．
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(　　)
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
2．若A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是(　　)
A．(－2，－1) B．(2,1)
C．(1,2) D．(－1，－2)
3．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　)
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
4．已知点A(2,1)，B(－2,3)，O为坐标原点，且＝，则点C的坐标为________．
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
问题1　该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2.
问题2　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.
知识梳理
1.互相垂直
2.单位向量　xi＋yj　(x，y)
3.(x，y)
4.(1,0)　(0,1)
例1　A
跟踪训练1　解　设点A(x，y)，
则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，
y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，所以＝(2，6).
问题3　a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2).
问题4　＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1).
知识梳理
1.和(差)　x1＋x2　y1＋y2　x1－x2
y1－y2　
2.(x2－x1，y2－y1)
例2　解　由已知得a＝(5，－5)，
b＝(－6，－3)，c＝(1,8).
(1)a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1,8)＝(－2，－16).
(2)设O为坐标原点.
∵＝－＝c，
∴＝c＋＝(1,8)＋(－3，－4)＝(－2,4)，
∴M(－2,4).
又∵＝－＝b，
∴＝b＋＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)，
∴N(－9，－7)，
∴＝－＝(－9，－7)－(－2,4)＝(－7，－11).
跟踪训练2　A
例3　解　设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋＝(5,4)－(2,3)＋(5λ，7λ)
＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ).
∵＝＋，且与不共线，
∴则
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若点P在第三象限内，
则∴λ<－1.
跟踪训练3　解　设点D的坐标为(x，y)，
当平行四边形为ABCD时，由＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，且＝，得D(2,2)；
当平行四边形为ACDB时，由＝(1,2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4,6)；
当平行四边形为ACBD时，由＝(5,3)，＝(－1－x,3－y)，且＝，得D(－6,0)，
故点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).
随堂演练
1.B　2.C　3.C　4.(0,4)

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