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4.3 平行线的性质
1.经历探索平行线性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算.
2.经历观察、测量、推理、交流等活动,进一步发展空间观念，有条理地思考和表达自己的探索过程和结果，从而进一步增强分析、概括、表达能力.
3.在自己独立思考的基础上,积极参与小组活动.在对平行线的性质进行的讨论中,敢于发表自己的看法,并从中获益.
【教学重点】平行线的三条性质及简单应用.
【教学难点】平行线的三条性质及简单应用.
1、平面内两条直线的位置关系有哪几种？
2、两直线平行的定义是什么？
3、上节课你学了平行线的哪些内容？
相交，重合，平行三种.
在同一平面内，没有公共点的两条直线平行.
平行于同一条直线的两条直线平行.
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
1、在图 4-20 和图 4-21 中，AB∥CD，用量角器量下面两个图形中标出的角，然后填空：
=
=
根据这些操作，
你能猜想出什么结论？
猜想：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等．
如图，设 AB//CD，直线EF 与 AB，CD 分别相交于 M，N 两点．
作平移使∠α 的顶点M 移到∠β 的顶点 N 处，由于平移把直线 AB 变成与它平行的直线，又已知AB//CD，且 CD 经过点 N，因此上述平移把直线AB变成直线 CD，从而∠ α 变成∠ β ，所以∠ α ＝∠β.
简单地说：两直线平行，同位角相等．
a
b
1
2
3
4
几何语言表述：
∵a∥b(已知)，
∴∠１＝∠2（两直线平行，同位角相等）.
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
平行线性质1:
猜想：两直线平行，内错角、同旁内角有什么关系呢？相互讨论一下.
2、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等吗？
如图，平行直线 AB，CD 被直线 EF 所截，∠1与∠2是内错角，∠1与∠3是同旁内角.
因为 AB∥CD，
所以∠1 =∠4（两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等）.
又因为∠2 ＝∠4 （对顶角相等），
所以∠1 ＝∠2 （等量代换）.
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
所以 ∠2 =∠3
（两直线平行，内错角相等）.
因为 a∥b（已知），
应用格式：
b
1
2
a
c
3
平行线性质2:
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补吗？
如图，平行直线 AB，CD 被直线 EF 所截，∠1与∠2是内错角，∠1与∠3是同旁内角.
因为 AB∥CD，
所以∠1 =∠4（两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等）.
又因为∠3 +∠4 = 180°，
所以∠1 +∠3 = 180° （等量代换）.
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
b
1
2
a
c
4
所以∠2 +∠4 = 180°
(两直线平行，同旁内角互补).
因为 a∥b (已知)，
应用格式：
平行线性质3:
性质1：两直线平行，同位角相等．
性质2：两直线平行，内错角相等．
性质3：两直线平行，同旁内角互补．
平行线的性质：
a
b
1
2
3
4
如图，
（1）∵ a ∥ b (已知)
∴ ∠1__∠2 ( 　　 )
（2）∵ a ∥ b (已知)
∴ ∠2____∠3 ( 　 　 )
（3）∵ a ∥ b (已知)
∴ ∠2＋∠4=____ (　　 )
=
两直线平行，同位角相等
=
两直线平行，内错角相等
180°
两直线平行，同旁内角互补
c
a
b
1
2
3
4
【例1】如图， 直线 AB，CD 被直线 EF 所截，
AB∥CD，∠1 ＝ 100°，试求∠3的度数.
解 因为 AB∥CD，
所以∠1 ＝∠2 ＝ 100°（两直线平行，同位角相等）.
又因为∠2 +∠3 = 180°，
所以∠3 = 180° -∠2 = 180° - 100° = 80°.
【例2】如图，AD∥BC，∠B = ∠D，试问
∠A 与∠C 相等吗？为什么？
解 因为 AD∥BC，
所以∠A +∠B = 180°，
∠D +∠C = 180° （两直线平行， 同旁内角互补）.
又因为∠B =∠D （已知），
所以∠A ＝∠C.
1、在例 1 中，你能分别用平行线的性质 2 和性质 3 求出∠3 的度数吗？
4
解 因为 AB∥CD，
所以∠1 ＝∠4 ＝ 100°（两直线平行，内错角相等）.
又因为∠3 +∠4 = 180°，
所以∠3 = 180° -∠4 = 180° - 100° = 80°.
1、在例 1 中，你能分别用平行线的性质 2 和性质 3 求出∠3 的度数吗？
5
解 因为 AB∥CD，
所以∠5 ＝180°-∠1 ＝ 80°（两直线平行，同旁内角互补）.
又因为∠3 =∠5 ，（对顶角相等）
所以∠5 = 80°（等量代换）.
解：过点 E 向右作 EF∥AB．
则∠B =∠BEF．
因为 AB∥CD，
所以 EF∥CD．
所以∠D =∠DEF．
所以∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED，
即∠B＋∠D＝∠BED．
2、如图，若 AB∥CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的等量关系吗？说说你的看法．
B
D
C
E
A
F
3、如图，AB∥CD，探索∠B、∠D 与∠DEB 之间的等量关系 .
解：过点 E 向左作 EF∥AB．
则∠B＋∠BEF＝180°．
因为 AB∥CD，
所以 EF∥CD．
所以∠D＋∠DEF＝180°．
所以∠B＋∠D＋∠DEB
＝∠B＋∠D＋∠BEF＋∠DEF＝360°，
即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
F
B
D
C
E
A
M
1
2
5
6
7
8
3
4
N
F
E
D
C
B
A
1、如图，已知AB∥CD，并被EF所截，∠1=60°，∠5=（ ），依据是（
）；
已知∠6=120°，∠4=（ ），依据是（ ）。
60°
120°
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
2. 如图，AB∥CD， CD∥EF， BC∥ED， ∠B ＝ 70°，求∠C，∠D 和 ∠E 的度数．
解： 因为AB∥CD，所以 ∠C ＝∠B ＝ 70°，
因为 BC∥ED， 所以 ∠C + ∠D ＝180°，
所以 ∠D ＝110°,
因为 CD∥EF， 所以 ∠E ＝∠D ＝ 110°.
3. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截.
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？
2
3
E
1
4
A
B
D
C
解：(1) ∠2 = 110°.
两直线平行，内错角相等.
（2）∠3 = 110°.
两直线平行，同位角相等.
（3）∠4 = 70°.
两直线平行，同旁内角互补.
4、如图，AB//CD//EF，∠BAC=120°，∠CEF=110°，求∠ACE的度数。
F
E
D
C
B
A
解：∵ AB//CD//EF,
∴∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°,
又∵∠BAC=120°，∠CEF=110°
∴ ∠ACD=60°，∠DCE=70°
又∵∠ACE=∠ACD+∠DCE
∴∠ACE=130°
5. 如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行. 若第一次拐弯时∠B 是 142°，则第二次拐弯时∠C 是多少度？为什么？
解：∠C = 142°.
两直线平行，内错角相等.
B
C
6、. 如图，AB∥CD，BF∥CE，则∠B 与∠C有什么关系？请说明理由.
解：因为AB∥CD，
所以∠B =∠1.
因为BF∥CE，
所以∠C =∠2.
因为∠1 +∠2 = 180°，
所以∠B +∠C = 180°.
即∠B 与∠C 互补.
解：因为 AB∥DE ( )，
所以∠A = ______ ( ).
因为 AC∥DF ( ) ，
所以∠D + _______= 180° ( ).
所以∠A +∠D = 180° ( ).
7、如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
图2
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行，同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行，同旁内角互补
等量代换
图形
已知
结果
理由
同位角
内错角
同旁内角
两直线平行
同旁内角互补
1
2
2
3
2
4
）
）
）
）
）
）
a
b
a
b
a
b
c
c
c
平行线的性质
a//b
两直线平行
同位角相等
a//b
两直线平行
内错角相等
a//b
1. 习题4.3中第3、4、6题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

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