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6.4.2　向量在物理中的应用举例
[学习目标]　
会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用.
一、向量与力
例1　如图，用两根长分别为5 m和10 m的绳子，将100 N的物体M吊在水平屋顶AB上，平衡后，物体M距屋顶的距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).
跟踪训练1　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功.
二、向量与速度、加速度、位移
例2　有一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样航行可使它从A码头最快到达B码头？用时多少？
反思感悟　速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，主要借助于向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.
跟踪训练2　某人从点O向正东方向走30 m到达点A，再向正北方向走30 m到达点B，则此人的位移的大小是______ m，方向是北偏东________.
三、向量与功
例3　已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)
反思感悟　力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角).
跟踪训练3　一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).则在这个过程中三个力的合力所做的功为________ J.
1.知识清单：
(1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解的问题.
(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：不能将物理问题转化为向量问题.
1.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为(　　)
A.v1－v2
B.v1＋v2
C.|v1|－|v2|
D.
2.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为(　　)
A.5 N
B.5 N
C.5 N
D.5 N
3.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　)
A.7 B.10 C.14 D.70
4.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　)
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
6.4.2　向量在物理中的应用举例
例1　解　如图，由已知条件可知DM与铅垂方向成45°角，CM与铅垂方向成60°角.
设A处所受力为FA，B处所受力为FB，物体的重力为G.
因为∠EMC＝60°，∠EMD＝45°，
则有|FA|cos 45°＋|FB|cos 60°
＝|G|＝100，①
且|FA|sin 45°＝|FB|sin 60°，②
由①②得|FA|＝(150－50)N，
所以A处所受力的大小为(150－50)N.
跟踪训练1　解　如图所示，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，
则F1＝(1，)，
F2＝(2，2)，
F3＝(－3,3)，
∴F＝F1＋F2＋F3
＝(2－2,2＋4).
又位移s＝(4，4)，
∴合力F所做的功W＝F·s
＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24(J).
∴合力F所做的功为24 J.
例2　解　如图所示，
设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作 ACED，且当AE与AB重合时能最快到达B码头，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，
||＝||＝2，||＝4，
∠AED＝90°，
∴||＝＝2，
又AB＝，
∴用时0.5 h，易知sin∠EAD＝，
∴∠EAD＝30°.
∴该船航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h.
跟踪训练2　60　30°
解析　如图所示，
此人的位移是＝＋，且⊥，
则||＝
＝＝60(m)，
tan∠BOA＝＝＝，
所以∠BOA＝60°.所以的方向为北偏东30°.
例3　解　如图所示，设木块的位移为s，
则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J).
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin 30°
＝50×＝25(N)，
所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J).
即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.
跟踪训练3　－40
解析　∵F1＝(3，－4)，
F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，
∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).
又∵＝(－1,4)，
∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40(J)，
即三个力的合力做的功为－40 J.
随堂演练
1.C　2.D　3.D　4.D

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