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2024年高考数学仿真模拟卷(三)（新高考专用）
解析
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.答案　D
解析　因为集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|02.答案　D
解析　由＝＝＝＝2＋i，则z＝2i－1，所以z的虚部为2.
3.答案　B
解析　若等比数列{an}是递增数列，可得a14.答案　B
解析　因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝10，|a|＝，|b|＝2，所以a·b＝2，所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－b2－a·b＝20－4－2＝14.
5.答案　B
解析　若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有CA＝36(种)，若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有A＝6(种)，
因为甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有36－6＝30(种)．
6.答案　C
解析　取圆x2＋y2＝4上任意一点P，过P作圆O：x2＋y2＝m2(m>0)的两条切线PA，PB，
当∠APB＝时，∠APO＝且OA⊥AP，|OP|＝2；
则|OA|＝|OP|＝1，所以实数m＝|OA|＝1.
7.答案　A
解析　设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，故四边形AFBF2为平行四边形，
设|AF|＝m，∠FAB＝90°，∠ABF＝30°，则|FB|＝2m，|BF2|＝|AF|＝m，
|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，m＝，
在△BFF2中，由余弦定理得(2c)2＝2＋2－2×××cos 120°，整理得4c2＝，即c＝，故e＝＝.
8.答案　B
解析　将用变量x替代，则a＝sin x，b＝ex－1，c＝ln(x＋1)，x∈(0,1)，
令f(x)＝sin x－ln(x＋1)，则f′(x)＝cos x－，
令g(x)＝f′(x)＝cos x－，则g′(x)＝－sin x＋，易知g′(x)在(0,1)上单调递减，
且g′(0)＝1>0，g′(1)＝－sin 1<0，∴ x0∈(0,1)，使得g′(x0)＝0，
当x∈(0，x0)时，g′(x)>0，f′(x)单调递增；当x∈(x0,1)时，g′(x)<0，f′(x)单调递减．
又f′(0)＝0，f′(1)＝cos 1－>0，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝0，即sin x>ln(x＋1)，∴a>c，
记h(x)＝ex－(sin x＋1)，x∈(0,1)，则h′(x)＝ex－cos x>0，∴h(x)在(0,1)上单调递增，
∴h(x)>h(0)＝0，即ex－1>sin x，∴b>a，
综上，b>a>c.
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)
9．答案　BC
解析　对于A，由题图知，2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的极差为27－3＝24，故A错误；
对于B，易知2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的中位数为18，故B正确；
对于C,2023年1月23日，1月26日，1月27日，1月28日这4天的同比增长率均大于0，所以2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量比2022年12月22日至12月28日高速公路车流量大的有4天，故C正确；
对于D,2023年1月25日的高速公路车流量为18万车次，同比增长率为－10%，设2022年12月25日的高速公路车流量为x万车次，则＝－10%，解得x＝20，故D错误．
10.答案　ACD
解析　对于A，由A，B是互斥事件，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，正确．
对于B，由( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)知，P(＋)＝1－P(AB)＝1－0＝1，错误．
对于C，由于A，B是相互独立事件，P(AB)＝P(A)P(B)，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.3－0.5×0.3＝0.65，正确．
对于D，P(B|A)＝＝0.5，则P(AB)＝0.25，∴P(B|)＝＝＝＝0.1，正确．
11.答案　BD
解析　对于A，由f(x)＋g(x)＝2，令x＝0可得f(0)＋g(0)＝2，
又g(x)为奇函数，故g(0)＝0，f(0)＝2，故A错误；
对于B，由f(x)＋g(x)＝2及f(x)＋g(x－2)＝2可得g(x)＝g(x－2)，
又g(x)为奇函数，则g(x)＝－g(－x)＝g(x－2)，令x＝1，则g(1)＝－g(－1)＝g(－1)，故g(1)＝g(－1)＝0，故B正确；
对于C，由f(x)＋g(x)＝2及g(1)＝0可得f(1)＝2，当n＝1时，＝0不成立，故C错误；
对于D，由A，B可得g(0)＝g(1)＝0且g(x)周期为2，故g(i)＝0(i∈N*)，故＝0，故D正确．
12.答案　ABD
解析　由题知，BD∥平面CEF，而平面CEF∩平面ABD＝EF，BD 平面ABD，根据线面平行的性质定理可知，BD∥EF，
又·＝(＋)·＝·＋·＝2×2×cos ＋2×2×cos ＝0，
即AC⊥BD，故AC⊥EF，A正确；
连接AQ，BQ，易得AQ＝BQ＝＝CF，又AE＝EB＝1，于是EQ⊥AB(三线合一)，故EQ＝＝，
取FD的中点P，连接PQ，PE，由中位线可知PQ＝，
在△AEP中由余弦定理，得EP2＝AE2＋AP2－2AE·APcos ＝，即EP＝，由CF∥PQ，CF与EQ所成角即为∠EQP(或其补角)，在△EQP中根据余弦定理，得cos∠EQP＝＝，B正确；
根据B选项分析，当E，Q分别为线段AB，CD的中点时，EQ＝<，C错误；
由BD∥EF，△ABD为正三角形，则△AEF也是正三角形，
故EF＝AE，故四边形BCFE的周长为BC＋BE＋EF＋CF＝2＋(BE＋AE)＋CF＝4＋CF，
当F为AD的中点，即CF⊥AD时，CF有最小值.即空间四边形BCFE的周长的最小值为4＋，D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．答案　240
解析　因为6的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－kk＝(－2)kC，令6－k＝0，解得k＝4.
所以6的展开式的常数项是T5＝(－2)4C＝240.
14.答案　1或7
解析　设正四棱台的外接球的半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5，
连接AC，BD相交于点E，连接A1C1，B1D1相交于点F，连接EF，
则球心O在直线EF上，连接OB，OB1，
如图(1)，当球心O在线段EF上时，则OB＝OB1＝R＝5，
因为上、下底面边长分别为3，4，所以BE＝4，B1F＝3，
由勾股定理得OF＝＝4，OE＝＝3，
此时该正四棱台的高为3＋4＝7；
如图(2)，当球心O在FE的延长线上时，
同理可得OF＝＝4，OE＝＝3，
此时该正四棱台的高为4－3＝1.
15.答案　
解析　因为f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，所以f(x)＝2＝2sin，
因为f(x)的零点是以为公差的等差数列，所以函数周期为π，即＝π，解得ω＝2；
当x∈[0，m]时，2x－∈，因为f(x)在区间[0，m]上单调递增，所以2m－≤，解得m≤.
所以m的最大值为.
16.答案　1
解析　如图所示，
因为MF⊥AB，所以MA为△MAF外接圆的直径，MB为△MBF外接圆的直径，
所以AP⊥l，BQ⊥l，
由抛物线的定义得|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，
则∠BMQ＝∠BMF，∠AMP＝∠AMF，所以∠MAP＝∠BMQ，∠AMP＝∠MBQ，
所以Rt△AMP∽Rt△MBQ，则＝，
所以＝·＝·＝1.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解　(1)因为bcos C＋csin B＝a＋c，
由正弦定理可得sin Bcos C＋sin Csin B＝sin A＋sin C＝sin(π－B－C)＋sin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C＋sin C，
即sin Csin B＝cos Bsin C＋sin C，
又C∈(0，π)，所以sin C≠0，故sin B＝cos B＋1，即sin B－cos B＝1，所以2sin＝1，
又B－∈，所以B－＝，即B＝.
(2)由正弦定理＝＝＝2R，得a＝2Rsin A，c＝2Rsin C，
所以a－c＝2R(sin A－sin C)＝2R＝2R
＝2R＝2Rsin＝2，①
又因为△ABC为钝角三角形，且a－c＝2>0，又由(1)知B＝，所以所以A－∈，所以sin∈，又由①式可知，R＝，
所以R∈.
18．解　(1)设A1A＝h，由题设＝－＝10，
即S四边形ABCD×h－××h＝10，即2×2×h－××2×2×h＝10，解得h＝3，
故A1A的长为3.
(2)以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由已知及(1)可知D(0,0,0)，A1(2,0,3)，B(2,2,0)，C1(0,2,3)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(u，v，w)，有n⊥，n⊥，
其中＝(0,2，－3)，＝(2,0，－3)，则有即
取w＝2，得平面A1BC1的一个法向量n＝(3,3,2)；
设平面BC1D的法向量为n′＝(x，y，z)，
有n′⊥，n′⊥，其中＝(－2,0,3)，＝(2,2,0)，
则有即
取z＝1，得平面BC1D的一个法向量n′＝，
故|cos〈n，n′〉|＝＝＝，
则平面A1BC1和平面BC1D夹角的余弦值为.
19．解　(1)由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关．
因为＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，所以 ＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，
所以 ＝＝≈≈0.98，
所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强．
(2)①Q＝＝＝＝b2－2b＋，
要使Q取得最小值，当且仅当＝.
②由①知 ＝＝＝＝2.72，
所以y关于x的经验回归方程为y＝2.72x，又＝＝＝12.16，
所以当t＝7 时，则x＝7－3＝4，w＝y＋＝2.72×4＋12.16＝23.04，
所以预测2024年移动物联网连接数为23.04亿户．
20．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
∵即∴a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.
∵a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n－1)·3n＋1＋3，①
∴a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－2)·3n＋3(n≥2)，②
∴①－②得anbn＝(2n－1)·3n，∴bn＝3n(n≥2)．当n＝1时，a1b1＝3，b1＝3，符合bn＝3n，
∴bn＝3n.
(2)T2n＝c1＋c2＋c3＋…＋c2n，依题有，
T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋.
记T奇＝b1＋b3＋…＋b2n－1，则T奇＝＝.
记T偶＝＋＋…＋，
则T偶＝＝＝.
∴T2n＝＋＝－－.
21．解　(1)由F1：x2＋y2＋4x＝0，得(x＋2)2＋y2＝4，可知F1(－2,0)，其半径为2，
由F2：x2＋y2－4x－12＝0，得(x－2)2＋y2＝16，可知F2(2,0)，其半径为4.
设动圆半径为r，动圆圆心M到F1的距离为n，到F2的距离为m，则有
n－m＝2或 m－n＝2，即|n－m|＝2＝2a，得a＝1，
又|F1F2|＝4＝2c>2a，
所以动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，由c2＝a2＋b2，可得b2＝3，
所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1.
(2)①当直线l1的斜率存在时，由题意得k≠0，设l1：y＝kx－2k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
与双曲线联立 (3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
由于l1交双曲线两个不同的交点，所以得k2≠3且k2≠0，
且|MN|＝＝，
设l2：y＝－x＋，即x＋ky－2＝0，设圆F1到直线l2的距离为d，则d＝＝，
因为l2交圆F1于P，Q两点，故d<2，得k2>3，则|MN|＝.
且|PQ|＝2＝4，由题意可知MN⊥PQ，
所以S△PQM＋S△PQN＝×|PQ|×|MN|＝12＝12，
因为k2>3，可得S△PQM＋S△PQN>12.
②当直线l1的斜率不存在时，|PQ|＝4，|MN|＝6，所以S△PQM＋S△PQN＝×4×6＝12，
综上，S△PQM＋S△PQN≥12.
22．解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－e(1＋ln x)(x∈(0，＋∞))，f′(x)＝ex－，
设φ(x)＝ex－，又φ′(x)＝ex＋>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f′(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)方法一　对函数f(x)求导得f′(x)＝ex－＝，
令g(x)＝xex－ea，则g′(x)＝ex＋xex>0，∴g(x)＝xex－ea在(0，＋∞)上单调递增，
又g(0)＝－ea<0，当x→＋∞时g(x)→＋∞，
故存在唯一正实数x0使得x0＝ea，
当xx0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)min＝f(x0)＝－ealn x0－eaa，
由f(x)≥0恒成立，得f(x)min≥0，由x0＝ea得x0＋ln x0＝a，
∴f(x)min＝f(x0)＝－x0(x0＋2ln x0)≥0，∴1－x0(x0＋2ln x0)≥0，
∴x0(x0＋2ln x0)－1≤0，∴x0＋2ln x0－≤0，
设h(x)＝x＋2ln x－，则h′(x)＝1＋＋>0恒成立，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，而h(1)＝0，
∴0又x0＋ln x0＝a且函数y＝x＋ln x在(0,1]上单调递增，
故a的取值范围为(－∞，1]．
方法二　同方法一得f(x)min＝f(x0)＝－ealn x0－eaa，
由x0＝ea得x0＋ln x0＝a，
∴f(x)min＝－ealn x0－eaa＝ea－eaa＝ea－eaa
≥ea(2－a)－eaa≥0，当且仅当x0＝1时等号成立，
∴ea(2－2a)≥0，故a的取值范围为(－∞，1]．2024年高考数学仿真模拟卷(三)（新高考专用）
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·北京模拟)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0A．{x|－1≤x≤1} B．{x|0C．{x|02．(2023·宁波模拟)设i为虚数单位，若复数z满足＝，则z的虚部为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．(2023·青岛模拟)若{an}为等比数列，则“a1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(2023·杭州模拟)已知平面向量a＝(1,3)，|b|＝2，且|a－b|＝，则(2a＋b)·(a－b)等于(　　)
A．1 B．14 C. D.
5．(2023·长春模拟)安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有(　　)
A．36种 B．30种 C．24种 D．12种
6．(2023·潮州模拟)过圆x2＋y2＝4上一点P作圆O：x2＋y2＝m2(m>0)的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB＝，则实数m等于(　　)
A. B. C．1 D．2
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k>0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB.若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
8．(2023·滨州模拟)设a＝sin ，b＝－1，c＝ln ，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)
9．(2023·岳阳模拟)2022年11月28日，平江－益阳高速公路通车运营，湖南省交通运输厅统计了平益高速2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量(单位：万车次)，并与2022年12月22日至12月28日比较，得到同比增长率数据，绘制了如下统计图，则下列结论正确的是(　　)
A．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的极差为25
B．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的中位数为18
C．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量比2022年12月22日至12月28日高速公路车流量大的有4天
D．2022年12月25日的高速公路车流量小于20万车次
10．(2023·襄阳模拟)A，B为随机事件，已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，下列结论中正确的是(　　)
A．若A，B为互斥事件，则P(A＋B)＝0.8
B．若A，B为互斥事件，则P(＋)＝0.8
C．若A，B是相互独立事件，P(A＋B)＝0.65
D．若P(B|A)＝0.5，则P(B|)＝0.1
11．(2023·厦门模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域都为R，g(x)为奇函数，且f(x)＋g(x)＝2，f(x)＋g(x－2)＝2，则(　　)
A．f(0)＝0 B．g(1)＝0
C.＝0 D.＝0
12．(2023·黄山模拟)在棱长为2的正四面体ABCD中，过点C且与BD平行的平面α分别与棱AB，AD交于点E，F，点Q为线段CD上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．AC⊥EF
B．当E，Q分别为线段AB，CD中点时，CF与EQ所成角的余弦值为
C．线段EQ的最小值为
D．空间四边形BCFE的周长的最小值为4＋
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2023·淮北模拟)的展开式的常数项是________________．(用数字作答)
14．(2023·哈尔滨模拟)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为3，4，该正四棱台的外接球的表面积为100π，则该正四棱台的高为________．
15．(2023·淄博模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的零点是以为公差的等差数列．若f(x)在区间[0，m]上单调递增，则m的最大值为________．
16．(2023·蚌埠模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M在l上，点A，B在C上，若A，B，F三点共线，且MF⊥AB，△MFA的外接圆交l于点M，P，△MFB的外接圆交l于点M，Q，则＝________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)(2023·烟台模拟)已知△ABC内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，bcos C＋csin B＝a＋c.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为钝角三角形，且a－c＝2，求△ABC外接圆半径的取值范围．
18．(12分)(2023·淄博模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为10.
(1)求棱A1A的长；
(2)求平面A1BC1和平面BC1D夹角的余弦值．
19．(12分)(2023·厦门模拟)移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018－2022年移动物联网连接数W(单位：亿户)与年份代码t的散点图，其中年份2018－2022对应的t分别为1～5.
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；
(2)①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型(随机误差ei＝yi－bxi)．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计；
②令变量x＝t－，y＝w－，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用①中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，＝76.9，＝27.2，＝60.8，≈27.7.
20．(12分)(2023·邵阳模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝5，S9＝81，数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n－1)·3n＋1＋3.
(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn＝求{cn}前2n项和T2n.
21．(12分)(2023·广州模拟)已知圆F1：x2＋y2＋4x＝0，圆F2：x2＋y2－4x－12＝0，一动圆与圆F1和圆F2同时内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹方程；
(2)设点M的轨迹为曲线C，两条互相垂直的直线l1，l2相交于点F2，l1交曲线C于M，N两点，l2交圆F1于P，Q两点，求△PQM与△PQN的面积之和的取值范围．
22．(12分)(2023·盐城模拟)已知函数f(x)＝ex－ea(a＋ln x)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

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