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北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元复习题
一、单选题
1．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边长为（　　）．
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
2．在中，点D、E分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判断的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长为
A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm
4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知， 则 （　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　）
A． B．+1 C．4 D．2
7．如图，在平面直角坐标系中，以P （0，-1）为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为（-2，-4），则点B的对应点C的坐标为（　　）
A．（4，5） B．（4，6） C．（2，4） D．（2，6）
8．如图，在中，分别是、上的点，，与相交于，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．若点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，则AC的长是（　　）
A．－4 B．9－
C．－3或9－ D．－4或12－
10．如图，在矩形 中， 在 上， ，交 于 ，连结 ，则图中与 一定相似的三角形是（　　）
A． B．
C． D． 和
二、填空题
11．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上 ， 两个端点之间的距离为 ， ，则容器的内径是　 　.
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先沿x轴正方向平移，然后沿y轴正方向平移，得到线段，连接点B及其对应点C，若，，则点D的坐标是　 　．
13．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．
若AB=4，BC=3，DE=6，则DF=　 　．
14．如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF交于点G，点H为AG上一点，且BG＝GH，连接DH，则DH的最小值为 　 　．
三、解答题
15．如图，如图用一根铁丝分成两段可以分别围成两个相似的五边形，已知它们的面积比是1：4，其中小五边形的边长为（x2﹣4）cm，大五边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）．求这这根铁丝的总长．
16．为测小河的宽度，小明同学在小河两侧各立一根标杆A和B，过一侧标杆B作BD⊥AB，在BD上截取BC∶CD=a∶b，过点D作DE⊥BD，当点E，点C和点A在一条直线上时，只需测出DE的长c，就能算出河宽AB．你能帮助小明同学写出完整的解答过程吗 (结果用含a，b，c的代数式表示)
17．如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD.求大树OE的高度.（平面镜的大小忽略不计）
18．如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，， ，求证：．
四、综合题
19．已知：.
（1）求代数式的值；
（2）如果，求的值.
20．如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
21．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．
22．如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．
23．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP= CQ；
（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP =PQ，∠APQ =∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】设另一个三角形的最长边长为xcm，根据相似三角形的性质，得，
解之得x=4.5.
故答案为：C.
【分析】“形状相同”即“相似”，由已知两个三角形的最短边长和其中一个三角形的最长边长，根据相似三角形的性质即可列出对应边长的比例式，解之可得另一个三角形的最长边长.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
添加：
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，故C符合题意；
添加，，，都不能推出，
即不能推出或，不能推出，
即选项A、B、D都不符合题意，
故答案为：C．
【分析】由，可得，证明，可得，从而可证明结论，而添加其他条件都不能证明，从而可排除．
3．【答案】C
【解析】【解答】因为正方形PQMN的QM边在BC上，
∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴ .
设ED=x，∴PN=MN=ED=x， ，
∴解得：x=48，∴这个正方形零件的边长是48mm.
故答案为：C.
【分析】根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△APN∽△ABC，于是可得比例式求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD=1，DB=2，
∴AB=AD+BD=1+2=3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = = ．
故答案为：B．
【分析】由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似判断出△ADE∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例得出答案。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质将等积式化为比例式即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB=1，
设AD=x，则FD=x﹣2，FE=2，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴
解得x1=1+，x2=1﹣（不合题意舍去），
经检验x1=1+是原方程的解．
故选B．
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，再过点P作x轴的平行线交BE于点H，交CF于点Q，
∵BH∥CQ，
∴△BHP∽△CQP，
∴BH：CQ=HP：QP=BP：CP，
由题意得：△ABP∽△DCP，且相似比为1：2，
∴BP：CP=1：2，
∴BH：CQ=HP：QP=1：2，
∵点B（-2，-4），点P（0，-1）
∴BH=3，HP=2，
∴CQ=6，QP=4，
∴CF=6-1=5，
∴点C（4，5）.
故答案为：A.
【分析】如图，过点B作BE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，再过点P作x轴的平行线交BE于点H，交CF于点Q，易得△BHP∽△CQP，即得到BH：CQ=HP：QP=BP：CP，又△ABP∽△DCP，且相似比为1：2，从而得BH：CQ=HP：QP=1：2，再由点B和点P坐标求出BH=3，HP=2，从而球的出CQ=6，QP=4，进而得CF=5，即可求得点C坐标.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，故A错误；
，
，故B正确；
，
，
，
，
，
由知，
，故C错误；
由知，故D错误；
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠ADE=∠ABC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可判断A；根据平行线分线段成比例的性质可判断B；由平行线的性质可得∠EDF=∠BCF，证明△DEF∽△CBF，根据相似三角形的性质可判断C、D.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，
当时， ，
；
当时，，
即，
，
综上，AC的长为或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，利用 点C为线段AB的黄金分割点， 求解即可。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形 是矩形
∴∠A=∠D=90°
∴∠DEF+∠DFE=90°
∵
∴∠BEF=90°
∴∠AEB+∠DEF=90°
∴∠AEB=∠DFE
∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE
∴ ∽
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由EF⊥BE 根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE，即可得到结果.
11．【答案】15cm
【解析】【解答】解：如图，连接AD、BC，
则在△AOD 和△BOC中，
，
∴△AOD ∽△BOC，
∴
∴（cm），
故答案为：15cm .
【分析】连接AD、BC，由且∠AOD=∠BOC可得△AOD ∽△BOC，由相似三角形的对应边成比例可得代入AD=15即可求得BC.
12．【答案】(6，5)
【解析】【解答】解：如图：过点D作轴于点E，连接，
点，，
，
线段平移得到线段，
， ，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】过点D作轴于点E，连接，先证出，可得，再求出DE和OE的长，即可得到点D的坐标。
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ = ，即 = ，
解得，EF= ，
则DF=DE+EF= ，
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可．
14．【答案】4﹣4
【解析】【解答】取AB的中点O，连接OC、OG、GC、BD，如图，
四边形ABCD是正方形，
AB=BC=8,∠DBC=45°，
点O是AB的中点，
OB=4，
BE=CF,∠ABE=∠BCF=90°，
∠AEB=∠BFC，
∠BFC+∠FBC=∠AEB+∠FBC=90°，
∠AGB=90°，
点G在以AB为直径的圆上运动，
当点G在OC上时，CG有最小值，最小值为
BG=GH,∠AGB=90°，
∠HBG=45°=∠DBC，BH=
【分析】先证明可得到∠AEB=∠BFC，进一步得到∠AGB=90°，则点G在以AB为直径的圆上运动，当点G在OC上时，CG有最小值，最小值为再证利用相似三角形的性质可得从而求解.
15．【答案】解，∵两个五边形相似，面积比是1：4，
∴相似比为1：2，
由题意得，2（x2﹣4）=x2+2x，
整理得，x2﹣2x﹣8=0，
解得，x1=4，x2=﹣2（舍去），
则铁丝长为12×5+24×5=180cm．
【解析】【分析】根据相似多边形的面积比是相似比的平方求出相似比，得到关于x的方程，解方程得到答案．
16．【答案】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴DE∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴ ，即 ，∴AB=
【解析】【分析】由同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得DE∥AB，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△EDC∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式求解。
17．【答案】解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE.
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴FB：AB=OE：OA，即1.5：1＝OE：OA，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴GD：CD=OE：OC，即1.5：1.5=OE：(OA+4)，
∴OE＝OA+4，
∵OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m.
答：大树的高度OE为12m
【解析】【分析】利用有两组对应角相等的两三角形相似可证得△BAF∽△OAE，利用相似三角形的性质可求出OE=1.5OA；再证明△GDC∽△EOC，利用相似三角形的性质可求出OE=OA+4，由此建立关于OA的方程，解方程求出OA的长；同时可求出OE的长.
18．【答案】证明： 可变形为，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】根据得到，得到，通过平行线的性质得到，即可解答．
19．【答案】（1）解：∵
∴设a=2k，b=3k，c=5k，
（2）解：∵
∴6k-3k+5k=24，
∴k=3，
∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.
【解析】【分析】（1）设a=2k，b=3k，c=5k，将其代入计算即可；
（2）结合，可得6k-3k+5k=24，求出k的值，再求出即可。
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC
∵
∵∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=∠C
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：，
所以AE的长为6．
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）根据△ADF∽△DEC， 可得，再将数据代入求出，最后利用勾股定理求出AE的长即可。
21．【答案】（1）解：如图1
，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴ ，∴CP= AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；
（2）解：作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ= PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF= QB，
∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB= ，
∴EF= PB=2 ，
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2
【解析】【分析】（1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP= AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的结论求出PB= ，最后代入EF= PB即可得出线段EF的长度不变此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．
22．【答案】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE．
∵BC=CD，
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE．
又∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED
（2）解：∵BC=4，
∴CD=4．
∵△AEB∽△CED，
∴ = ，即 = ，
∴CE=2．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出 ∠ABE=∠CBE，根据等边对等角及等量代换得出 ∠CDE=∠CBE=∠ABE，又根据对顶角相等得出 ∠AEB=∠CED， 利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出 △AEB∽△CED ；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出 = ，根据比例式建立方程，求解即可。
23．【答案】（1）证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴BP＝CQ.
（2）解：∠ABC＝∠ACQ，理由如下：
∵在等腰△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝（180°-∠ABC），
∵在等腰△APQ中，AP＝PQ，
∴∠PAQ＝（180°-∠APQ），
∵∠APQ＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠PAQ，
∴△BAC∽△PAQ，
∴ ，
又∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABC＝∠ACQ.
（3）解：如图3所示，连接AB、AQ，
∵四边形ADBC是正方形，
∴∠BAC＝45°，AB＝AC ，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴ ∠PAQ＝45°，AP＝AQ ，
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△ABP∽△ACQ，
∴BP＝CQ ，
∵CQ＝，
∴BP＝4，
设PC＝x，则BC＝AC＝4+x，
在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2，
∴36＝（4+x）2+x2，
解得：x＝-2± ，
∵x＞0，
∴x＝-2+ ，
∴正方形ADBC的边长＝4+x＝4-2+ ＝2+．
【解析】【分析】（1）由等边三角形性质得AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ，从而得∠BAP＝∠CAQ，再利用“SAS”定理证得△BAP≌△CAQ，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得出∠BAC＝（180°-∠ABC），∠PAQ＝ （180°-∠APQ），再由∠APQ＝∠ABC，得出∠BAC＝∠PAQ，从而证得△BAC∽△PAQ，得，易得∠BAP＝∠CAQ，从而证得△BAP∽△CAQ，即可得出结论；
（3）如图3所示，连接AB、AQ，根据正方形性质可推出∠BAC＝45°，AB＝AC ， ∠PAQ＝45°，AP＝AQ ，从而得到∠BAP＝∠CAQ，证得△ABP∽△ACQ，得BP＝CQ ，从而求得BP的长，设PC＝x，则BC＝AC＝4+x，由勾股定理得36＝（4+x）2+x2，解得：x＝-2± ，由x＞0，可得x＝-2+ ，即可得出正方形ADBC的边长.

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