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6.2平面向量的运算
【题型归纳】
题型一：向量加法法则
1．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【解析】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，，
则，再作，则，即.
解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线，
如下图所示，在平面内任取一点O，作，，
以，为邻边作平行四边形，则对角线，
再作，以，为邻边作平行四边形，则.
2．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．
(1)
(2)
【解析】（1）作，，以、为邻边作，，
则即为所求作的向量.
（2）作，，以、为邻边作，，
则即为所求作的向量.
3．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量．
(1)
(2)
(3)
【解析】（1）作，，，则即为所求作的向量.
（2）作，，，则即为所求作的向量.
（3）作，，，则即为所求作的向量.
题型二：向量加法运算律的应用
4．（2024·新疆·高一校考期末）化简下列各式:
(1)
(2)
【解析】（1）原式.
（2）原式
5．（2024·高一课前预习）化简
(1)；
(2) .
【解析】（1）=
（2）==.
6．（2024·全国·高一专题练习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
【解析】①＋＝+＝；
②＋＋＝＋＋＝；
③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.
题型三：向量加法的实际应用
7．（2024·高一课前预习）正方形的边长为1，则为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】在正方形中，如图所示,
根据向量加法的平行四边形法则，,
又因为正方形的边长为1，
所以，
故选：B.
8．（2024·安徽芜湖·高一统考期末）如图，正六边形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正六边形ABCDEF中，因为，
所以，
故选：B.
9．（2024·高一课时练习）已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是（ ）
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
【答案】A
【解析】，
，等号成立当且仅当与共线时，
故选：A.
题型四：向量的减法运算
10．（2024·高一课时练习）如图，已知向量、，求作下列向量：
(1)；
(2)．
【解析】（1）作，，则，则即为所求作的向量.
（2）作，，则，则即为所求作的向量.
11．（2024·高一课时练习）已知向量，，如图所示.
（1）求作向量；
（2）求作向量.
【解析】如图所示.
（1）
（2）
12．（2024·高一课时练习）如图，已知向量和向量，用三角形法则作出
【解析】作法：作向量，向量，则向量,
如图所示，作向量，则
题型五：向量减法法则的应用
13．（2024·高一课前预习）化简下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【解析】（1）法一：原式；
法二：原式；
（2）法一：原式
法二：原式
（3）方法一：；
方法二：；
（4）
（5）
14．（2024·全国·高一专题练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
15．（2024·高一课前预习）化简下列式子：
(1)；
(2)；
【解析】（1）原式
（2）原式
题型六：向量的线性运算
16．（2024·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
17．（2024·广西南宁·高一校考阶段练习）已知向量，计算
【解析】，
所以
18．（2024·高一课前预习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
题型七：用已知向量表示其他向量
19．（2024·全国·高一随堂练习）在中，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
.
故选：A.
20．（2024·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）在中，点为边的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，.
故选：C
21．（2024·全国·高一假期作业）在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为在等腰梯形ABCD中，，所以,
因为M为BC的中点，所以
,
故选:B.
题型八：向量共线的判定及应用
22．（2024·甘肃兰州·高一兰州一中校考阶段练习）设两个非零向量不共线，且，，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】D
【解析】对于A，，，
不存在实数，使得成立，三点不共线，A错误；
对于B，，，
不存在实数，使得成立，三点不共线，B错误；
对于C，，，
不存在实数，使得成立，三点不共线，C错误；
对于D，，，
，三点共线，D正确.
故选：D.
23．（2024·全国·高一专题练习）已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【答案】B
【解析】对于A，因为，，
若A，B，C三点共线，则存在实数使得，
则，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，∵，
∴，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，
故B正确；
对于C，因为，，所以，
若A，C，D三点共线，则存在实数使得，又，
所以，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；
对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数使得，
又，，所以，无解，
所以B，C，D三点不共线，故D错误；
故选：B.
24．（2024·全国·高一课堂例题）已知，，，求证：A，B，C三点共线．
【解析】证明:因为，
，
所以，
因此，A，B，C三点共线．
题型九：三点共线的常用结论
25．（2024·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．
【解析】∵是的重心，∴是边上的中线，，
∴，
∴，
又∵，（，），∴，，
∴，
又∵，，三点共线，
∴.
又∵，，∴由基本不等式，有
，
当且仅当，即，时，等号成立，
∴的最小值为.
26．（2024·辽宁铁岭·高三校联考期末）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ．
【答案】/0.1
【解析】因为E为AD的中点，所以，
因为B，D，C三点共线，所以，
所以，解得．
故答案为：
27．（2024·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 .
【答案】
【解析】依题意，作出图形如下，
因为，，，则，
所以 ，
因为三点共线，所以，
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
题型十：求两向量的数量积
28．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）向量，夹角为，且，|，则在方向上的投影的数量等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】D
【解析】由题意，在方向上的投影的数量等于.
故选：D
29．（2024·全国·高一随堂练习）已知，，与的夹角为，计算下列各式：
(1)；
(2)．
【解析】（1）因为，，
所以.
（2）因为，，与的夹角为，
所以，
所以.
30．（2024·全国·高一期末）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求实数k的值；
(3)若，且，求的值．
【解析】（1）由已知，，且与的夹角为60°，
可得
因为，故；
又，所以可得；
（2）因为，且，
所以
化简得，显然不成立，
故k不存在；
（3）因为，故，
所以，
.
所以的值为.
31．（2024·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图，在底角为的等腰梯形中，，，分别为，的中点．设
(1)用，表示，；
(2)若，求．
【解析】（1），
；
（2）由题意可得,过作的垂线，则由,
，
.
题型十一：向量的模和夹角的计算问题
32．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）单位向量，满足.
(1)求与夹角的余弦值：
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，，
所以，即，则，
则，即与夹角的余弦值.
（2）因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
当与共线时，有，即，
由（1）知与不共线，所以，解得，
所以当与不共线时，，
由，得，
即，解得，
所以且，即实数的取值范围为.
33．（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期末）已知向量与的夹角为，且，．向量与共线，
(1)求实数的值；
(2)求向量与的夹角．
【解析】（1）若向量与共线，
则存在实数，使得，
则，则；
（2）由（1）知，，
，
，
，
，
所以，且，
所以.
34．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且

(1)求的值；
(2)求.
【解析】（1）.
（2），，，，
，
.
35．（2024·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P.记，.

(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
【解析】（1），
；
（2）因为，所以，
因为，，
所以，
把代入式，得，
.
题型十二：与垂直有关的问题
36．（2024·全国·高一课堂例题）如图所示，已知中，分别为边上的高，而且与相交于点O，连接并延长，与相交于点D.求证：.

【解析】因为，所以，即，
因此①，
又因为，所以，即，
因此②，
由①―②可得，因此，
从而，故，即.
37．（2024·辽宁丹东·高一校考期末）已知平面向量，，，，且与的夹角为
(1)求
(2)若与垂直，求的值
【解析】（1）与的夹角为，
，
，
；
（2）与垂直，
，
，
.
38．（2024·高一单元测试）已知向量，不共线，，．
(1)若，求的值，并判断，是否同向；
(2)若，与夹角为，当为何值时，．
【解析】（1），，，
，即．
又向量，不共线，，
解得，，即，
故与反向．
（2）因为，与夹角为，
所以
，
又，故，因为，所以，解得，
故时，．
39．（2024·安徽宣城·高一统考期末）已知平面向量满足，，且．
(1)求在方向上的投影向量；
(2)若，求实数的值．
【解析】（1）由，，且，
平方得，解得，
所以在方向上的投影向量为.
（2）因为，所以，
化简得，所以，解得
40．（2024·河北唐山·高一统考期末）已知平面向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)若与垂直，求的值.
【解析】（1）
.
（2）因为与垂直，所以，
所以，
所以，得.
41．（2024·山东滨州·高一统考期末）已知，是夹角为的两个单位向量，，.
(1)求与的夹角；
(2)若与（）互相垂直，求的值.
【解析】（1）因为，是夹角为的两个单位向量，故，
则，
则，
，
故，而，
故.
（2）因为与（）互相垂直，
故，即，
故.
42．（2024·山东济南·高一统考期末）已知是两个单位向量，夹角为，设．
(1)求；
(2)若，求的值．
【解析】（1）因为是两个单位向量，夹角为，所以，
所以；
（2）因为，所以，即
即，.
43．（2024·广东茂名·高一统考期末）已知不共线的两个平面向量，满足，.
(1)若与的夹角，求的值；
(2)若，求实数的值.
【解析】（1）由题意，，，
所以
，所以.
（2）因为，所以，
即,因为，，所以，解得.6．2平面向量的运算
【题型归纳】
题型一：向量加法法则
1．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

2．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．
(1)
(2)
3．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量．
(1)
(2)
(3)
题型二：向量加法运算律的应用
4．（2024·新疆·高一校考期末）化简下列各式:
(1)
(2)
5．（2024·高一课前预习）化简
(1)；
(2) .
6．（2024·全国·高一专题练习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
题型三：向量加法的实际应用
7．（2024·高一课前预习）正方形的边长为1，则为（ ）
A．1 B． C．3 D．
8．（2024·安徽芜湖·高一统考期末）如图，正六边形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·高一课时练习）已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是（ ）
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
题型四：向量的减法运算
10．（2024·高一课时练习）如图，已知向量、，求作下列向量：
(1)；
(2)．
11．（2024·高一课时练习）已知向量，，如图所示.
（1）求作向量；
（2）求作向量.
12．（2024·高一课时练习）如图，已知向量和向量，用三角形法则作出
题型五：向量减法法则的应用
13．（2024·高一课前预习）化简下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
14．（2024·全国·高一专题练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
15．（2024·高一课前预习）化简下列式子：
(1)；
(2)；
题型六：向量的线性运算
16．（2024·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3).
17．（2024·广西南宁·高一校考阶段练习）已知向量，计算
18．（2024·高一课前预习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型七：用已知向量表示其他向量
19．（2024·全国·高一随堂练习）在中，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）在中，点为边的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·全国·高一假期作业）在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
题型八：向量共线的判定及应用
22．（2024·甘肃兰州·高一兰州一中校考阶段练习）设两个非零向量不共线，且，，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
23．（2024·全国·高一专题练习）已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
24．（2024·全国·高一课堂例题）已知，，，求证：A，B，C三点共线．
题型九：三点共线的常用结论
25．（2024·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．
26．（2024·辽宁铁岭·高三校联考期末）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ．
27．（2024·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 .
题型十：求两向量的数量积
28．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）向量，夹角为，且，|，则在方向上的投影的数量等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
29．（2024·全国·高一随堂练习）已知，，与的夹角为，计算下列各式：
(1)；
(2)．
30．（2024·全国·高一期末）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求实数k的值；
(3)若，且，求的值．
31．（2024·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图，在底角为的等腰梯形中，，，分别为，的中点．设
(1)用，表示，；
(2)若，求．
题型十一：向量的模和夹角的计算问题
32．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）单位向量，满足.
(1)求与夹角的余弦值：
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
33．（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期末）已知向量与的夹角为，且，．向量与共线，
(1)求实数的值；
(2)求向量与的夹角．
34．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且

(1)求的值；
(2)求.
35．（2024·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P.记，.

(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
题型十二：与垂直有关的问题
36．（2024·全国·高一课堂例题）如图所示，已知中，分别为边上的高，而且与相交于点O，连接并延长，与相交于点D.求证：.

37．（2024·辽宁丹东·高一校考期末）已知平面向量，，，，且与的夹角为
(1)求
(2)若与垂直，求的值
38．（2024·高一单元测试）已知向量，不共线，，．
(1)若，求的值，并判断，是否同向；
(2)若，与夹角为，当为何值时，．
39．（2024·安徽宣城·高一统考期末）已知平面向量满足，，且．
(1)求在方向上的投影向量；
(2)若，求实数的值．
40．（2024·河北唐山·高一统考期末）已知平面向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)若与垂直，求的值.
41．（2024·山东滨州·高一统考期末）已知，是夹角为的两个单位向量，，.
(1)求与的夹角；
(2)若与（）互相垂直，求的值.
42．（2024·山东济南·高一统考期末）已知是两个单位向量，夹角为，设．
(1)求；
(2)若，求的值．
43．（2024·广东茂名·高一统考期末）已知不共线的两个平面向量，满足，.
(1)若与的夹角，求的值；
(2)若，求实数的值.

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