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6.4.2 向量在物理中的应用举例3题型分类
向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
（一） 向量在物理中的应用 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.
题型1：力的合成 1-1．（2023·江苏·高一专题练习）已知力，且和三个力的合力为，则 ． 1-2．（2023·高一课时练习）一物体在力的共同作用下从点移动到点．在这个过程中三个力的合力所做的功为 ． 1-3．（2023上·安徽合肥·高三校考开学考试）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为 牛顿. 1-4．（2023·四川资阳·高一校考期末）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围. 1-5．（2023下·四川绵阳·高一校考期末）平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小． 1-6．（2023下·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为 . 1-7．（2023下·山西·高一统考期末）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 .
题型2：速度、位移的合成 2-1．（2023下·湖北荆州·高一公安县车胤中学校考阶段练习）某人先向东走，位移记为，接着再向北走，位移记为，则表示（ ） A．向东南走 B．向东北走 C．向东南走 D．向东北走 2-2．（2023高一练习）长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题. （1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由. （2）当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？ 2-3．（2023下·山东滨州·高一统考期末）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是 . 2-4．（2023下·北京通州·高一统考期中）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ） A．， B．， C．， D．，
题型3：功、动量的计算 3-1．（2023下·高一课时练习）力作用于质点P，使P产生的位移为,则力对质点P做的功是 . 3-2．（2023下·陕西渭南·高一统考期末）如图，一个力作用于小车，使小车发生了40米的位移，的大小为50牛，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为 牛·米. 3-3．（2023下·江苏无锡·高一辅仁高中校考阶段练习）一物体在力F→的作用下，由点移动到点.已知，则F→对该物体所做的功为（ ） A． B．15 C．28 D．
一、单选题
1．（2023下·福建福州·高一福建省福州第八中学校考期中）当两人提起重量为的旅行包时，夹角为，两人用力都为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏无锡·高三统考期中）一质点在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则，的合力F对该质点所做的功为（ ）
A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110
3．（陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2023下·山东临沂·高一校考阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A． B．61 C．75 D．60
5．（2023下·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2023年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（ ）
A．-210 B．210 C．-270 D．270
6．（2023下·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期中）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏·高一专题练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·山东烟台·高一统考期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（ ）．
A．7 B． C． D．1
二、多选题
10．（2023下·广东佛山·高一统考期末）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（ ）
A．当该物体处于平衡状态时，
B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为
C．当物体所受合力为时，
D．当时，
11．（2023·高一课时练习）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变
三、填空题
12．（2023下·北京丰台·高一统考期中）一条河两岸平行，河的宽度为米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟米，水流速度大小为每分钟12米.
①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟 米；
②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要 分钟.
13．（2023下·高一课时练习）如图所示，一力作用在小车上，其中力的大小为，方向与水平面成角，当小车向前运动时，力做的功为 .
14．（2023下·江苏南通·高一统考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h．一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于对岸B（AB与河岸的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货．若水流的速度与小货船的速度（自身动力产生的速度）的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，航行的合速度方向与正西方向的夹角为 ，小货船的速度大小为 km/h．
15．（2023·高一课时练习）在水流速度为的河中，要使船以的速度与河岸成直角横渡，则船行驶速度的大小为 ，与水流方向所成的角为 ．
四、解答题
16．（2023上·内蒙古赤峰·高一统考期末）一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
17．（2023·高一课时练习）某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
18．（2023·江苏·高一专题练习）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过小时，该船的实际航程是多少 6.4.2 向量在物理中的应用举例3题型分类
向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
（一） 向量在物理中的应用 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.
题型1：力的合成 1-1．（2023·江苏·高一专题练习）已知力，且和三个力的合力为，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】解：设，则，即，解得， 所以. 故答案为：. 1-2．（2023·高一课时练习）一物体在力的共同作用下从点移动到点．在这个过程中三个力的合力所做的功为 ． 【答案】 【分析】先根据向量坐标表示的加法运算求出合力，再求出位移，再求出即可得解. 【详解】因为， 所以合力，又， 所以，即三个力的合力做的功等于. 故答案为：. 1-3．（2023上·安徽合肥·高三校考开学考试）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为 牛顿. 【答案】6 【分析】根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可 【详解】设三个力，，分别对于的向量为： 则由题知 所以 所以 又 所以 所以的大小为：6 故答案为：6 1-4．（2023·四川资阳·高一校考期末）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围. 【答案】 【分析】建立坐标系，设出坐标，把平衡关系转化为向量关系，然后根据三角的相关公式整理出正数关于角的函数，再进行恒等变换求出参数的取值范围. 【详解】 如图建立坐标系，记OB、OA与轴的正半轴的夹角 分别为，则由三角函数定义得， ， 由于系统处于平衡状态，∴ ∴ ， 【方法一】移项，（1）、（2）平方相加得：， 即 ， 而存在正数使得系统平衡，∴△＝， ∴.（因滑轮大小忽略，写成亦可， 不扣分．这时均为0） 由（*）解得，由（2）式知 ∴，这是关于的增函数， ∴正数的取值范围为 . 【方法二】（1）、（2）平方相加得：， 由（1）知，，而 ∴ 随单调递增，∴ （这里的锐角满足，此时） 且（写成不扣分，这时均为0） ∴从而， ∴，即， ∴, ∴正数的取值范围为. 【点睛】本题考查平面向量的正交分解及坐标表示，考查了有实际物理背景的向量之间的运算，利用向量加法的法则建立起相关的方程，然后求出参数，用向量法求解物理问题是向量的一个重要运用. 1-5．（2023下·四川绵阳·高一校考期末）平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）三个力平衡则三个力的和为；移项，利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的大小． （2）利用三角函数的余弦定理求出两个向量的夹角大小． 【详解】（1）解：三个力平衡，， ， （2）解：与的夹角可由余弦定理求得， ， 与的夹角为 则与的夹角为． 1-6．（2023下·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为 . 【答案】 【分析】根据绳子拉力的水平方向上分力的合力为0可求出答案. 【详解】设N，N， 则， 可得. 故答案为： 1-7．（2023下·山西·高一统考期末）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 . 【答案】1 【分析】根据力的平衡，可得向量的和为 ，由向量的模长即可求解力的大小. 【详解】，，三个力处于平衡状态，即 则 故答案为：1
题型2：速度、位移的合成 2-1．（2023下·湖北荆州·高一公安县车胤中学校考阶段练习）某人先向东走，位移记为，接着再向北走，位移记为，则表示（ ） A．向东南走 B．向东北走 C．向东南走 D．向东北走 【答案】D 【分析】根据向量方向和模长可得结果. 【详解】由题意知：，位移方向为东北方向，表示向东北走. 故选：D. 2-2．（2023高一练习）长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题. （1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由. （2）当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？ 【答案】（1）左侧，理由见解析 （2）； 【分析】（1）先计算出，也即合速度的大小，然后利用向量夹角的计算公式，计算得，由此判断出游船航行到达北岸的位置在的左侧. （2）先求得与合速度方向的夹角的正弦值，利用诱导公式求得，此时游船能到达处.利用路程除以，求得需要航行的时间. 【详解】（1）左侧，理由如下： ， 由，得 . . 由，得. ∵游船航行到达北岸的位置在点的左侧（如图（1）） （2）如图（2），要使游船航行到达北岸的处，必须. ， . 需要航行的时间. 【点睛】本小题主要考查利用向量解决实际应用问题，考查向量模、夹角和数量积的运算，属于中档题. 2-3．（2023下·山东滨州·高一统考期末）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是 . 【答案】 【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小. 【详解】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段， 设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下： 因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东， ，在中，有， 所以， 所以， 所以， 所以小货船航行速度的大小为． 故答案为： 2-4．（2023下·北京通州·高一统考期中）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】作出图形，由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图， 由图可知，，所以，故， 所以又因为，所以， 所以（），故. 故选：B
题型3：功、动量的计算 3-1．（2023下·高一课时练习）力作用于质点P，使P产生的位移为,则力对质点P做的功是 . 【答案】 【解析】直接由功的公式，利用数量积的坐标运算得答案． 【详解】解:由题易得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的物理意义，属于基础题． 3-2．（2023下·陕西渭南·高一统考期末）如图，一个力作用于小车，使小车发生了40米的位移，的大小为50牛，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为 牛·米. 【答案】1000 【分析】根据平面向量数量积的几何意义，求出小车位移方向力的大小，即可求出力做的功. 【详解】解：小车位移方向力的大小为牛， 所以力做的功为牛·米. 故答案为：1000. 3-3．（2023下·江苏无锡·高一辅仁高中校考阶段练习）一物体在力F→的作用下，由点移动到点.已知，则F→对该物体所做的功为（ ） A． B．15 C．28 D． 【答案】B 【分析】利用数量积的坐标公式进行计算. 【详解】由题意得：，设F→对该物体所做的功为： 故选：B
一、单选题
1．（2023下·福建福州·高一福建省福州第八中学校考期中）当两人提起重量为的旅行包时，夹角为，两人用力都为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据力的平衡或平面向量的和为零向量即可求出．
【详解】由题意作出示意图，由可知，
，四边形为菱形，且都是正三角形，所以．
故选：D．
2．（2023上·江苏无锡·高三统考期中）一质点在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则，的合力F对该质点所做的功为（ ）
A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110
【答案】A
【解析】先求出，的合力F的坐标、的坐标，再求出由共点力平衡得合力对该质点所做的功.
【详解】由题意可知，，的合力=+=(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，，
则由共点力平衡得合力对该质点所做的功为.
故选：A.
3．（陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加减法及其几何意义求解
【详解】因为两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，
所以的大小为，
故选：B
4．（2023下·山东临沂·高一校考阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A． B．61 C．75 D．60
【答案】D
【分析】用向量表示两只胳膊的拉力的大小和方向，它们的合力与体重相等，求出，再化为千克即可得．
【详解】如图，，，
作平行四边形，则是菱形，，
，
所以，
因此该学生体重为（kg）.
故选：D．
5．（2023下·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2023年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（ ）
A．-210 B．210 C．-270 D．270
【答案】D
【分析】由平面向量数量积的定义即可得出答案.
【详解】由题意得=(5，10)，故力对冰球所做的功为·=5×6+24×10=270．
故选：D.
6．（2023下·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期中）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意分析可得，即可求解.
【详解】设船的实际速度为，因为点在A的正北方向，所以，
所以.
故选：D.
7．（2023·江苏·高一专题练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式以及两向量垂直的充要条件求解.
【详解】由题意知，
则，
因为，，
即，
所以.故A，C，D错误.
故选：B.
8．（2023下·山东烟台·高一统考期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小．
【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：
，，在中，有，
所以，，，
所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为，
故选：C.
9．（2023下·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（ ）．
A．7 B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案.
【详解】根据三力平衡得，即，
两边同平方得，
即
即,
解得
故选：D.
二、多选题
10．（2023下·广东佛山·高一统考期末）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（ ）
A．当该物体处于平衡状态时，
B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为
C．当物体所受合力为时，
D．当时，
【答案】ACD
【分析】根据向量的加法法则作图可判断AB；根据题意分析与的合力大小可判断C；由与共线时合力取得最值可判断D.
【详解】A选项：由题知，的大小等于重力与水平拉力的合力大小，由图知，故A正确；
B选项：如图，物体所受合力应等于向量与的和向量的大小，显然B错误；
C选项；当物体所受合力为时，说明与的合力为，所以，C正确；
D选项：由上知，重力与水平拉力的合力为，N，易知当与同向时合力最大，最大值为7N，反向时合力最小，最小值为3N，
即，故D正确.
故选：ACD
11．（2023·高一课时练习）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变
【答案】AC
【分析】设水的阻力为，绳子的拉力为,与水平方向的夹角为，根据题意则有，然后逐一分析判断即可.
【详解】解：设水的阻力为，绳子的拉力为,与水平方向的夹角为，
则有，
所以，
因为增大，减小，
所以增大，
加上浮力等于船的重力，
所以船的浮力减小.
故选：AC.
三、填空题
12．（2023下·北京丰台·高一统考期中）一条河两岸平行，河的宽度为米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟米，水流速度大小为每分钟12米.
①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟 米；
②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要 分钟.
【答案】 24； 20.
【分析】（1）求出即得解；
（2）求出他游到河对岸的速度即得解.
【详解】解：（1）如图所示，当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为，他实际前进速度的大小每分钟24米.
（2）如图所示，当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的速度为，所以他游到河对岸的需要分钟.
故答案为：24；20.
13．（2023下·高一课时练习）如图所示，一力作用在小车上，其中力的大小为，方向与水平面成角，当小车向前运动时，力做的功为 .
【答案】50
【分析】根据力做功的计算公式计算可得；
【详解】解：.
故答案为：.
14．（2023下·江苏南通·高一统考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h．一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于对岸B（AB与河岸的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货．若水流的速度与小货船的速度（自身动力产生的速度）的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，航行的合速度方向与正西方向的夹角为 ，小货船的速度大小为 km/h．
【答案】 30°
【分析】①利用图象结果求正切值即可求解；②利用余弦定理求得船速，结合三角形求得航行方向.
【详解】
如图，，
，
，
∴合速度的方向与水流的方向成150°的角，与正西方向的夹角为30°，
设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，
∴小船航行速度的大小为.
故答案为：①30°；②
15．（2023·高一课时练习）在水流速度为的河中，要使船以的速度与河岸成直角横渡，则船行驶速度的大小为 ，与水流方向所成的角为 ．
【答案】 20
【分析】表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船实际航行的方向，则，由可得答案.
【详解】如图，表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船实际航行的方向，则，由题意知，，所以，且．所以船行驶速度的大小为，与水流方向所成的角为．
故答案为：①20②．
四、解答题
16．（2023上·内蒙古赤峰·高一统考期末）一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
【答案】船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时
【详解】如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作 ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°.
∴||＝＝2，
sin∠EAD＝，∴∠EAD＝30°，用时0.5h.
答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．
17．（2023·高一课时练习）某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
【答案】实际风速的大小是，为西北风.
【分析】设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，作出对应的图形，根据向量的线性运算及向量的模长公式，即可得解.
【详解】设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，
如图，设，，.
∵，∴，这就是速度为时感到的由正北方向吹来的风速.
∵，∴，这就是速度为时感到的由东北方向吹来的风速，
由题意知，，，∴为等腰直角三角形，
∴，，即.
∴实际风速的大小是，为西北风.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的应用，解决问题的关键是抓住“人觉得风的速度是合速度”，再根据它们之间的关系进行分析，考查学生的分析判断能力与转化思想，属于中档题.
18．（2023·江苏·高一专题练习）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过小时，该船的实际航程是多少
【答案】
【分析】如图，设水流的速度为，船航行的速度为，则这个速度的和为，则由题意可得，，解直角三角形求出合速度的大小，然后求解即可．
【详解】解：如图：设水流的速度为，船航行的速度为，则这个速度的和速度为，
则由题意可得，．
直角三角形中，由，，可得，
所以船的合速度的大小为，
故船行驶的方向与水流的方向成（即．
所以经过小时，该船的实际航程是千米．

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