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圆锥曲线专题复习（曲线方程与基本量问题）
基础知识
1.椭圆、双曲线
椭圆 双曲线
焦点 焦点在轴上 焦点在轴上 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程 (
____________
) (
____________
) (
____________
) (
____________
)
定义 （）
轴长 长轴,短轴 实轴，虚轴
焦距 (
___________________________
) (
___________________________
)
离心率
渐近线 方程
通径 过焦点且垂直于长轴（实轴）的弦叫通径： ； 如第一象限交点坐标
焦点三角形面积 (
________
) (
_________
)
2.抛物线：
定义： （与定点和定直线的距离相等的点的集合）
准方程
焦点
准线
焦半径
过焦点的直线与抛物线相交 (
____
) (
____________
)过焦点的弦长：； 抛物线的通经： （过焦点的最短弦长） 以弦为直径的圆与准线相切（梯形中位线）
二、典型例题分析
【例1】（渐近线）（2021·新高考II卷）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程_____________________.
【变式1.1】（2022·新高考II卷）已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为．求的方程。
【例2】（离心率）（2023·新高考Ⅰ卷）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】（2023·新高考Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．求C的方程；
【例3】(焦点三角形、离心率)（2018·新课标Ⅱ卷）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.1】（2020·全国Ⅲ卷）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．
若△PF1F2的面积为4，则a等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【例4】（曲线定义）（2021·新高考I卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【变式4.1】（2021·新高考I卷）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.求的方程；
【例5】（2022·全国乙卷）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点．求的方程；
【例6】（2021·新高考II卷）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【例7】（2023·新高考Ⅱ卷多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
三、课堂小节
四、课后作业
1．（2023·新高考Ⅱ卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·新高考I卷多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
3.（2022·新高考II卷多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
4.（2021·新高考I卷）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
5.（2021·新高考Ⅱ卷）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．求椭圆C的方程；圆锥曲线专题复习答案
【例1】【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，故此双曲线的渐近线方程为.
【变式1.1】【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；
【例2】A【详解】由，得，因此，而，所以.
【变式2.1】【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，双曲线方程为.
【例3】解：在中，设，则，
又由椭圆定义可知，则离心率，故选D.
【例4】C 【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
【变式4.1】【详解】(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
【例5】【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，， 所以椭圆E的方程为：.
【例6】【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去). 故选：B.
【例7】【答案】AC【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.
四、课后作业
1．【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），故选：C.
2．BCD 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
3.【答案】ACD 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
4.【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为 故答案为：.
5.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；

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