资源简介

代数式与整式
知识清单
知识点1 代数式
代数式
知识点2 整式的有关概念
整式的
有关
概念
知识点3 整式的运算
整式的
运算
整式的
运算
知识点4 因式分解
因式分解
因式分解“三步曲”:
【参考答案】
①字母　②数字因数　③和　④和　⑤单项式　⑥字母
⑦最高项　⑧单项式和多项式　⑨字母　⑩指数　不变
系数　a+b+c　a-b-c　相加　am+n　相减　am-n　相乘　amn　anbn　-4a5b2　ma+mb+mc　ma+mb+na+nb　a2-b2　a2±2ab+b2　-2xy2　a+b+c　多项式　积　m(a+b+c)　(a+b)(a-b)　(a±b)2　+2ab　4ab
自我诊断
1.(冀教七上P111第2题变式)已知a=-2,b=1,c=-1,下列各式最小的是 ( )
A.a+b+c
B.a+b-c
C.a-b+c
D.a-b-c
2.下列说法中正确的是 ( )
A.2不是单项式
B.-的系数是-
C.3πr2的次数是3
D.多项式5a2-6ab+12的次数是4
3.计算(-am)n得a6,则m与n的值可以是 ( )
A.m=2,n=3 B.m=2,n=4
C.m=3,n=2 D.m=3,n=3
4.下列计算正确的是 ( )
A.m+m=m2
B.(-3x)2=6x2
C.(m+2n)2=m2+4n2
D.(m+3)(m-3)=m2-9
5.(冀教七下P149习题第3题(3)变式)因式分解:3x2-12= .
【参考答案】
1.C　2.B　3.C　4.D　5.3(x+2)(x-2)
【真题精粹】
考向1 代数式
1.(2023·河北1题3分)代数式-7x的意义可以是 ( )
A.-7与x的和
B.-7与x的差
C.-7与x的积
D.-7与x的商
2.(2018·河北12题2分)用一根长为a(单位:cm)的铁丝,首尾相接围成一个正方形,要将它按如图所示的方式向外等距扩1(单位:cm)得到新的正方形,则这根铁丝需增加 ( )
A.4 cm B.8 cm
C.(a+4)cm D.(a+8)cm
3.(2022·河北9题3分)若x和y互为倒数,则x+2y-的值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4. 若a,b互为相反数,则a2-b2= .
5. 如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.
示例:,即4+3=7.
则(1)用含x的式子表示m= .
(2)当y=-2时,n的值为 .
6.(2023·河北18题4分)根据表中的数据,写出a的值为 ,b的值为 .
　　　　　　x 　结果 代数式　　　　　　 2 n
3x+1 7 b
a 1
7.(2021·河北20题8分)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书,共付款Q元.
(1)用含m,n的代数式表示Q.
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书,用科学记数法表示Q的值.
考向2 整式的运算
8.(2022·河北1题3分)计算a3÷a得a ,则“ ”是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(2021·河北2题3分)不一定相等的一组是 ( )
A.a+b与b+a B.3a与a+a+a
C.a3与a·a·a D.3(a+b)与3a+b
10.(2020·河北2题3分)墨迹覆盖了等式“x3x=x2(x≠0)”中的运算符号,则被覆盖的是 ( )
A.+ B.- C.× D.÷
11.( 3分)小明总结了以下结论:
①a(b+c)=ab+ac;
②a(b-c)=ab-ac;
③(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0);
④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0).
其中一定成立的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.( 3分)将9.52变形正确的是 ( )
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
13.( 3分)若=8×10×12,则k=( )
A.12 B.10 C.8 D.6
真题变式
14.变设问——求最大值
若=n2 ,m,n都为正整数,则n的最大值为 ( )
A.2　　　B.3　　　C.6　　　D.8
15.(2020·河北11题2分)若k为正整数,则= ( )
A.k2k B.k2k+1
C.2kk D.k2+k
真题变式
16.变考法——融入同类项求和
若a为正整数,则+= ( )
A.a2a　 B.2aa
C.a2+a D.2a2a
17.变设问——求最小值
若=3m (k>1,k,m都为正整数),则m的最小值为 ( )
A.3 B.4 C.6 D.9
18. 2分)2n+2n+2n+2n=2,则n= ( )
A.-1 B.-2 C.0 D.
19.( 3分)若7-2×7-1×70=7p,则p的值为　　　　.
20.(2023·河北21题9分)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图1所示(a>1).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙),如图2和图3,其面积分别为S1,S2.
图1
图2
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2,当a=2时,求S1+S2的值.
(2)比较S1与S2的大小,并说明理由.
图3
21.(2020·河北21题8分)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图所示.
如,第一次按键后,A,B两区分别显示如下:
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果.
(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗 说明理由.
22.( 8分)嘉淇准备完成题目“化简(　x2+6x+8)-(6x+5x2+2)”时发现系数“　”印刷不清楚.
(1)他把“　”猜成3,请你化简(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2).
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“　”是多少
23.( 9分)已知整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.
尝试:化简整式A.
发现:A=B2,求整式B.
联想:由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长如图所示.填写下表中B的值:
直角三角形的三边 n2-1 2n B
勾股数组Ⅰ 8 　　　
勾股数组Ⅱ 35 　　　
考向3 因式分解
24.(2020·河北3题3分)对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)·(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是 ( )
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解,②是乘法运算
D.①是乘法运算,②是因式分解
25.(2023·河北6题3分)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能 ( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
考向4 乘法公式的几何意义
26.(2021·河北17题4分)现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图所示).
(1)取甲、乙纸片各1块,其面积和为　　　　　.
(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,还需取丙纸片 块.
考向5 代数推理
27.(2022·河北22题9分)发现　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证　如(2+1)2+(2-1)2=10为偶数,请把10的一半表示为两个正整数的平方和.
探究　设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论是正确的.
真题变式
28.变两数间的探究关系
发现　两个连续偶数的平方差,一定是偶数,且这个偶数等于这两个偶数之间的奇数的四倍,例如:42-22=12,求42-22可以表示为哪一个奇数的四倍.
验证　若两个连续偶数的平方差刚好是9的四倍,求这两个偶数.
探究　n表示两个连续偶数中较小的数,用含n的等式表示“发现”中的结论,并证明.
【参考答案】
1.C　2.B　3.B　4.0
5.(1)3x　(2)1
6.　-2
7.(1)Q=4m+10n
(2)Q=2.3×105
8.C　9.D　10.D　11.C　12.C　13.B　14.C　15.A　16.D　17.B　18.A　19.-3
20.(1)S1=(a+2)(a+1)=a2+3a+2,S2=(5a+1)×1=5a+1,
当a=2时,S1+S2=4+6+2+10+1=23
(2)S1>S2,理由略
21.(1)A区:25+2a2　B区:-16-6a
(2)这个和不能为负数,理由略
22.(1)-2x2+6
(2)5
23.尝试:A=n4+2n2+1
发现:B=n2+1
联想:17;37
24.C　25.B
26.(1)a2+b2
(2)4
27.验证　5=22+12
探究　论证略
28.发现　42-22可以表示3的四倍
验证　这两个连续偶数为8和10
探究　(n+2)2-n2=4(n+1),证明略
【核心突破】
题型1 操作中的数量变化问题
　　例1(2023·衡水模拟)一堆足够多的棋子,其数目是3的倍数,现在依次进行如下操作:
第一步:将棋子平均分成左、中、右三堆;
第二步:从左堆中取出x(x>0)枚棋子放入中堆,再从右堆中取出y(y>0)枚棋子放入中堆;
第三步:从中堆取出与左堆余留棋子数相等的棋子放入左堆.
(1)设这堆棋子数目为3n(n是正整数),若x=8,y=4,回答下列问题:
　 ①第二步完成后,中堆的棋子有　　　　个;
　 ②第三步完成后,中堆的棋子有　　　　个.
(2)若题中第三步完成后,中堆棋子共有5枚,求第二步应从左堆、右堆各取多少枚棋子放入中堆
思路分析:
按照操作的三个步骤,
第一步完成后,左、中、右三堆棋子数分别为n,n,n.
第二步完成后,左、中、右三堆棋子数分别为n-x,n+x+y,n-y.
第三步完成后,左、中、右三堆棋子数分别为2n-2x,2x+y,n-y.
变式训练
1.(2023·石家庄二模)某展览馆周内仅上午开放可供游客观展,已知八点钟开馆时进入游客(a+2b)人,中途陆陆续续有的游客离开,又进来若干游客,十一点时馆内共有游客(3a+3b)人.
(1)此时间段内馆内不变的游客有多少人
(2)中途进来的游客有多少人 (用含有a,b的式子表示)
(3)当a=3,b=9时,中途进来的游客有多少人
题型2 代数推理问题
　　例2(2023·衡水模拟)【发现】两个连续奇数的平方差是8的倍数.
【验证】232-212的结果是8的几倍
【证明】论证两个连续奇数2n+1与2n-1(n为整数)的平方差是8的倍数,并且等于这两个数的和的2倍.
【延伸】两个连续偶数2m+2与2m(m为整数)的平方差是8的倍数吗 如果是,说明理由;如果不是,将上述平方差的结果加上正整数k,使得最后的结果为8的倍数,求k的最小值.
题目结构:
审题:分析题设和结论及关系
↓
验证:代入具体数值进行运算
↓
证明:利用整式运算进行推理
↓
延伸:把所得结论进行迁移
变式训练
2.(2023·邢台一模)发现　两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方.
验证　(1)8×6+1是正整数　　　　的平方.
(2)设较小的一个正整数为n,写出这两个正整数的积与1的和,并说明它是个正整数的平方.
延伸　(3)两个差为4的正偶数,设较小的数为2k(k为正整数),若它们的积与常数a的和是一个正整数的平方,求a的值.
例1　(1)①(n+12)　②20
(2)第二步应从左堆、右堆各取1、3枚棋子放入中堆或第二步应从左堆、右堆各取2、1枚棋子放入中堆
变式训练:
1.(1)(a+2b)人
(2)a+b人
(3)22人
例2　【验证】232-212的结果是8的11倍
【证明】略
【延伸】不是8的倍数,k的最小值是4
变式训练:
2.(1)7
(2)n(n+2)+1,说明略
(3)a=4
2

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