资源简介

　锐角三角函数及其应用
【回归教材】
知识清单
知识点1 锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A为△ABC中一锐角,sin A==① ;cos A==② ;tan A==③
知识点2 特殊角的三角函数值
30° 45° 60° 基本图形
sin α ④
cos α
tan α ⑤
知识点3 解直角三角形
边角关系　
　　温馨提示:在Rt△ABC中,在五个量∠A,∠B,a,b,c中,知道两个(其中含一边),即可根据三边关系、三角关
系或边角关系求解出其他三个量
实际应用
温馨提示:东北方向指北偏东45°方向,东南方向指南偏东45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向
【参考答案】
①　②　③　④　⑤1　⑥90°　⑦c2　⑧sin B
⑨　⑩越陡
自我诊断
1.(人教九下P69第6题变式)在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的余弦是 ( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,若+-cos B2=0,则∠C的度数是 ( )
A.45° B.75° C.105° D.120°
3.如图,在4×4正方形方格中,每个小正方形的边长均为1,顶点为格点,若△ABC的顶点均是格点,则sin B的值为
( )
A. B. C. D.
4.(北师九下P6做一做变式)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=2,则BC等于 ( )
A.1 B. C. D.4
5.如图,已知一台观测车对空中目标A进行观测,观测车从B点沿直线行驶到C点的过程中,仰角将 ( )
A.增大
B.减小
C.先增大,后减小
D.先减小,后增大
6.桔槔俗称“吊杆”“称杆”(如图1),是我国古代农用工具,始见于《墨子·备城门》,是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示,OM是垂直于水平地面的支撑杆,OM=3米,AB是杠杆,AB=6米,OA∶OB=2∶1.当点A位于最高点时,∠AOM=120°.此时,点A到地面的距离为 ( )
A.(2+3)米 B.5米
C.6米 D.7米
【参考答案】
1.D　2.C　3.C　4.B　5.C　6.B
【真题精粹】
考向1 仰角俯角、方向角、坡度
1如图,从点C观测点D的仰角是 ( )
A.∠DAB B.∠DCE
C.∠DCA D.∠ADC
2.(2023·河北2题3分)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图,西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向,则淇淇家位于西柏坡的 ( )
A.南偏西70°方向 B.南偏东20°方向
C.北偏西20°方向 D.北偏东70°方向
3.如图,快艇从P处向正北航行到A处时,向左转50°航行到B处,再向右转80°继续航行,此时的航行方向为 ( )
A.北偏东30° B.北偏东80°
C.北偏西30° D.北偏西50°
4.如图,从笔直的公路l旁一点P出发,向西走6 km到达l,从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是 ( )
A.从点P向北偏西45°走3 km到达l
B.公路l的走向是南偏西45°
C.公路l的走向是北偏东45°
D.从点P向北走3 km后,再向西走3 km到达l
考向2 解直角三角形的应用
5.(2022·河北24题10分)如图,某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O,其中水面截线MN∥AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°,点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7 m.
(1)求∠C的大小及AB的长.
(2)请在图中画出线段DH,用其长度表示最大水深(不说理由),并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).
(参考数据:tan 76°取4,取4.1)
【参考答案】
1.B　2.D　3.A　4.A
5.(1)∠C=76°,AB的长为6.8 m
(2)图略,2.6 m
【核心突破】
题型 锐角三角函数的应用
　　例 如图,某隧道的横截面可以看作由半圆O与矩形ABCD组成,BC所在直线表示地平面,E点表示隧道内的壁灯,已知AB=2 m,从A点观测E点的仰角为30°,观测C点的俯角为14°.(参考数据:tan 76°的值取4)
(1)求的长.
(2)求壁灯的高度.
核心方法
解直角三角形口诀
实际转化为模型,没有直角作出高;给出Rt△的边,三角函数直接套;
不是Rt△的边,去把方程来寻找;找出等腰三角形,解题快速又高效.
步骤 口诀 做法
1 实际转化 为模型 把实际问题转化为数学模型,画出图形,并将已知条件转化为图中的边、角或它们之间的关系
2 没有直角 作出高 若没有现成的直角三角形,可通过作高线产生直角三角形.作高线的原则是:不破坏特殊角(30°,60°,45°,120°,150°,135°)
3 利用勾股定理, 三角函数求解 若条件中给出的是直角三角形的边,利用三角函数直接求解;若给出的不是直角三角形的边,一般列方程求解;若题中有30°,60°角,利用里面的等腰三角形求解会更便捷
思维点拨:
　　(1)求的长需要知道两个条件,一是半圆O的半径,二是所对的圆心角度数.在Rt△ADC中,利用锐角三角函数求AD的长,从而求出半圆O的半径;连接OE,根据圆周角定理可得∠EOD的度数.
　　(2)壁灯E的高度由两部分组成,一是点E到AD的距离,需过点E作AD的垂线段,构造直角三角形求解;二是AD与BC间的距离,此即AB的长.
变式训练
1.(2023·廊坊一模)如图,这是某型号机器人示意图,OA是垂直于工作台的移动基座,AB,BC为机械臂,OA=1 m,AB=5 m,BC=2 m,∠ABC=143°,机械臂端点C到工作台的距离CD=6 m.
(1)∠ABC的补角度数是 .
(2)点A到直线BC的距离约是 m.
(3)OD的长约是 m.(结果精确到0.1 m)
(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈2.24)
2.乒乓球台(如图1)的支架可近似看成圆弧,其示意图如图2,AC与BD所在的直线过弧EF所在圆的圆心,直线AB与弧EF所在的圆相切于点G,连接CG,DG,且AB∥EF,AG=BG.
(1)求证:∠AGC=∠BGD.
(2)若弓形EGF的高为80 cm,AG=74 cm,且tan∠BAC=,求EF的长.
【参考答案】
例　(1)π m　(2)(2+2)m
变式训练:
1.(1)37°　(2)3.0　(3)4.5
2.(1)证明略　(2)240 cm
2

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