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第七章　复数
一、复数的概念
1.复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
2.掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养.
例1　已知z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面内对应的点位于第二象限.
反思感悟　处理复数概念问题的两个注意点
(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部.
(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.
跟踪训练1　(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)
A.0
B.－1
C.1
D.－2
(2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为(　　)
A.4
B.－1
C.6
D.－1或6
二、复数的几何意义
1.复数的运算与复数几何意义的综合是高考常见的考试题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再利用复数的几何意义解题.
2.通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养.
例2　(1)已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi(a，b∈R)，z3＝1－4i，它们在复平面内所对应的点分别为A，B，C.若O为原点，且＝2＋，则a＝________，b＝________.
反思感悟　在复平面内确定复数对应的点的步骤
(1)由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b).
(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b).
跟踪训练2　复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作 ABCD，求||.
三、复数的四则运算
1.复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主.
2.借助复数运算的学习，提升数学运算素养.
例3　设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2，的值.
反思感悟　进行复数代数运算的策略
(1)复数的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算.
(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式.
跟踪训练3　(1)复数z满足z(＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z等于(　　)
A.1＋i或－2＋i
B.i或1＋i
C.i或－1＋i
D.－1－i或－2＋i
(2)已知z＝－，则z100＋z50＋1的值为(　　)
A.i
B.－i
C.1＋i
D.1－i
章末复习课
例1　解　(1)
由得m＝3.
∴当m＝3时，z是纯虚数.
(2)由
得m＝－1或m＝－2.
∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数.
(3)由
得－1∴当－1跟踪训练1　(1)A　(2)B
例2　(1)D　(2)－3　－10
跟踪训练2　解　如图，设D(x，y)，F为 ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以即
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，
因为＝－，
所以表示的复数为
3＋3i－1＝2＋3i，
所以||＝.
例3　解　因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i.
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝＝23＋2i，
＝＝
＝＝－i.
跟踪训练3　(1)C
(2)B　[因为(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i，
所以z100＋z50＋1＝100＋50＋1＝100(1－i)100＋50·(1－i)50＋1
＝(－2i)50＋(－2i)25＋1
＝i50－i25＋1＝i2－i＋1＝－i.]

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