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2023-2024学年河北省石家庄重点中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共16小题，共42分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，无理数的是( )
A. B. C. D.
2.若有意义，则实数的取值范围为( )
A. B. C. 且 D. 且
3.等腰三角形的两边长分别是，，则第三边长为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.下列式子为最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
5.如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是( )
A.
B.
C.
D.
6.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
7.估计的值在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
8.化简分式的结果是( )
A. B. C. D.
9.矩形相邻两边长分别为，，则它的周长和面积分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
10.是的角平分线，若，，则点到距离为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，若≌，则下列结论中不成立的是( )
A.
B.
C. 平分
D.
13.下列命题正确的是( )
A. 两边及一角对应相等的两个三角形全等
B. 将精确到千位，记为
C. 的平方根是
D. 到三角形三个顶点距离相等的点在这个三角形三边的垂直平分线上
14.如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是
( )
A. B. C. D.
15.在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是( )
A. 图 B. 图与图 C. 图与图 D. 图与图
16.如图，已知与关于点对称，过点任作直线分别交、于点、，下列结论：
点和点；点和点是关于点的对称点；
直线必经过点；
四边形是中心对称图形；
四边形和四边形的面积相等；
和成中心对称．
其中，正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17. ______．
18.如图，每个小正方形的边长为，则的度数为______．
19.如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度按的路径运动，设运动时间为秒出发秒时， ______，的面积为______， ______时，恰好平分．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
已知，，都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”．
与______是关于的“平衡数”，与______是关于的“平衡数”；
若，判断与是否是关于的“平衡数”，并说明理由．
22.本小题分
如图，在中，是边上的中线，于点，于点，且．
求证：≌；
．
23.本小题分
如图，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，图中有______个等腰三角形猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；
如图，若，其他条件不变，图中有______个等腰三角形；与，间的关系是______；
如图，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于图中有______个等腰三角形与，间的数量关系是______．
24.本小题分
永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案一甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成：
方案二乙队单独完成这项工程要比规定工期多用天；
方案三若由甲、乙两队合作做天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
请你求出完成这项工程的规定时间；
如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．
25.本小题分
已知中，，，点为的中点．
如图，点、分别为线段、上的点，当时，易得为______三角形；
如图，若点、分别为、延长线上的点，且，其他条件不变，则中的结论仍然成立，请证明这个结论；
如图，若把一块三角尺的直角顶点放在点处转动，三角尺的两条直角边与线段、分别交于点、，请判断的形状，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是无理数，选项正确；
B、是整数，是有理数，选项错误；
C、是分数，是有理数，选项错误；
D、是有限小数，是有理数，选项错误．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故选：．
根据二次根式及分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的概念，三角形的三边关系，利用分类讨论思想是解题的关键．
分两种情况讨论，利用三角形的三边关系可求解．
【解答】
解：当第三边为时，，
长度为，，的三条线段不能构成三角形，
第三边为不合题意；
当第三边为时，，
长度为，，的三条线段能构成三角形，
第三边为符合题意，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】
解：条件是．
理由是：，，
，
在和中，
，
≌，
故选A．
6.【答案】
【解析】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
选项中的图形为中心对称图形，
故选：．
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
直接得出的取值范围进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查约分，解答本题的关键是明确约分的方法．
根据约分的方法可以化简题目中的式子，从而可以解答本题．
【解答】
解：，
故选B．
9.【答案】
【解析】解：因为矩形相邻两边长分别为，，
所以它的周长是：
面积分别是：，
故选D．
根据矩形的周长和面积公式计算即可．
此题考查二次根式的计算，关键是矩形的周长和面积公式应用．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线的性质，点到直线的距离，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．如图所示，过点作 于，根据角平分线的性质得到 即可得到答案．
【解答】
解：如图所示，过点作 于，
是 的角平分线， ，
，
点 到 距离为，
故选A．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
根据全等三角形的性质得出，，，，再逐个判断即可．
【解答】
解：≌，
，
，
，
故本选项结论成立，不符合题意；
B.≌，
，
，，，
，
，
，
故本选项结论成立，不符合题意；
C.≌，
，，
，
，
平分，
故本选项成立，不符合题意；
D.≌，
，不能得到，
故本选项不成立，符合题意；
故选D．
13.【答案】
【解析】解：、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，所以A错误，不符合题意．
B、将精确到千位，记为，所以B错误，不符合题意．
C、的平方根是，所以 C错误，不符合题意．
D、到三角形三个顶点距离相等的点在这个三角形三边的垂直平分线上，正确，符合题意．
故选：．
根据全等三角形判定，即可判断项，根据科学记数法概念，即可判断项，根据平方根的概念即可判断项，根据垂直平分线性质即可判断．
本题考查命题与定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题的应用，线段垂直平分线的性质，明确点、、在一条直线上时，有最小值是解题的关键．根据题意知，故当点在上时，有最小值为．
【解答】
解：如图，连接．
是的垂直平分线，
．
．
当点，，在一条直线上时，有最小值，最小值．
故选B．
15.【答案】
【解析】解：根据基本作图可判断图中为的平分线，图中为边上的中线，图中为的平分线．
故选：．
利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了勾股定理和等腰三角形的性质．
16.【答案】
【解析】解：与关于点对称，则、，所以四边形是平行四边形，
因此点就是 的对称中心，则有：
点和点；和是关于中心的对称点，正确；
直线必经过点，正确；
四边形是中心对称图形，正确；
四边形与四边形的面积必相等，正确；
与成中心对称，正确；
其中正确的个数为个，
故选：．
由于与关于点对称，那么可得到、，即四边形是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，可根据上述特点对各结论进行判断．
本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质及中心对称图形的性质是解决此题的关键．解题时注意：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
17.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据实数的运算法则即可计算．
本题考查了零指数幂和二次根式的加减运算，掌握运算法则即可解题．
18.【答案】
【解析】解：连接，
由勾股定理得：，
，
，
所以，
所以是直角三角形，，
因为，
所以，
故答案为：．
连接，利用勾股定理计算出、、，然后利用勾股定理逆定理可判断出是直角三角形，进而可得答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．
19.【答案】
【解析】解：，，，
，
当时，，
的面积，
当平分时，作于，
则，
，，
∽，
，即，
解得，，
则时，恰好平分．
故答案为：，，．
根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可，根据角平分线的性得到，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可
本题考查的是勾股定理，熟知直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．
20.【答案】解：，
，
，
；
把代入中得：，
综上所述，化简结果为，求值结果为．
【解析】根据题意先对分式进行化简，再将代入化简结果即可求得本题答案．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】 ；；
，
整理得：，
解得：，
则，不是关于的“平衡数”．
【解析】【分析】
此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
利用“平衡数”的定义判断即可；
利用“平衡数”的定义判断即可．
【解答】
解：由“平衡数”的定义可得关于的“平衡数”为：
即与是关于的“平衡数”，
由“平衡数”的定义可得关于的“平衡数”为：，
即与是关于的“平衡数”；
故答案为：；；
见答案．
22.【答案】证明：是边上的中线，
，
于点，于点，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
是边上的中线，
．
【解析】根据中点的定义得到，利用证明≌；
根据全等三角形的性质得到，则，根据等腰三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用≌是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，理由如下：
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
和是等腰三角形；
；
故答案为：；
，
，
，
，，
，
，
，，
和的平分线交于点，
，，
，，
，
，
，，
，，，，是等腰三角形，共个；
；
故答案为：；；
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
和是等腰三角形，共个，
．
故答案为：；．
根据角平分线性质和平行线性质推出，，根据等角对等边推出即可；根据，即可得出与、之间的关系；
由等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，，得到，得出，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，，得到，，得到，得出，，，即可得到结论；
根据角平分线性质和平行线性质推出，，根据等角对等边推出即可；根据，即可得出与、之间的关系．
此题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解本题的关键．
24.【答案】解：设完成这项工程的规定时间为天，则甲工程队需天完成这项工程，乙工程队需天完成这项工程，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：完成这项工程的规定时间为天．
选择方案三，理由如下：
方案一需付工程款：万元；
方案二不能如期完工，不符合题意；
方案三需付工程款：万元．
，
选择方案三．
【解析】设完成这项工程的规定时间为天，则甲工程队需天完成这项工程，乙工程队需天完成这项工程，由题意：由甲、乙两队合作做天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
根据总费用每天需付费用工作天数，分别求出方案一、三需付的工程款，比较后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量关系列式计算．
25.【答案】等腰直角
【解析】解：如图中，连接．
，，，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角；
中结论成立．
理由：如图中，连接．
，，，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形．
结论：是等腰直角三角形．
理由：如图中，连接．
，，，
，，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰直角三角形．
如图中，连接，证明≌，可得结论；
结论成立，证明方法类似；
结论：是等腰直角三角形．证明≌，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，则有中考常考题型．
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