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§8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
[学习目标]　
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．
一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
问题1　我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？
知识梳理　
多面体的表面积就是围成多面体____________的面积的________．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
例1　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积．
反思感悟　求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、侧面底边上的高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用
(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．
(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．
跟踪训练1　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
问题2　正方体、长方体的体积公式是什么？
知识梳理　
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的_______，h为棱柱的________
棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的_______，h为棱锥的________
棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的_________________，h为棱台的________
例2　正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积．
跟踪训练2　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为________．
三、简单组合体的表面积与体积
例3　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
反思感悟　求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
跟踪训练3　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积．
1．知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积．
(3)组合体的表面积与体积．
(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系．
2．方法归纳：等体积法、割补法．
3．常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚．
1．一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为(　　)
A．6 B. C．3 D．2
2.已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为(　　)
A．48 B．64 C．80 D．120
4．正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为________．
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
问题1　长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.
知识梳理
各个面　和
例1　解　如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，所以DD1＝＝＝，所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝ (cm2).
跟踪训练1　解　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB，
∴S侧＝4S△SAB＝4×AB·SE＝2×5× ＝25，S表＝S侧＋S底＝25＋25
＝25(＋1).
问题2　V正方体＝a3(a是正方体的棱长)，V长方体＝abc(a，b，c分别是长方体的长、宽、高).
知识梳理
底面积　高　底面积　高　上、下底面面积　高
例2　解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为侧面底边上的高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，
∴EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝A1B1＝5(cm)，
OE＝AB＝10(cm)，
∴O1O＝＝12(cm).
故该正四棱台的体积为
V＝×12×(102＋202＋10×20)
＝2 800(cm3).
跟踪训练2　a3
解析　
∵＝EA1·A1D1＝a2，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
∴＝×a2·a＝a3，
∴＝a3.
例3　解　由PO1＝2(m)，
知O1O＝4PO1＝8(m).
因为A1B1＝AB＝6(m)，
所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)，
故仓库的容积是312 m3.
跟踪训练3　解　由图可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为a2，
故所求几何体A1B1C1D1－DBC的表面积S＝＝a2＋3×a2＋3a2＝a2.
几何体A1B1C1D1－DBC的体积V＝
＝a3－××a×a×a＝a3.
随堂演练
1.B　2.D　3.C　4.

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