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8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
[学习目标]　
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题1　如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？
问题2　如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？
问题3　如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？
知识梳理　
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝______； 侧面积：S侧＝______； 表面积：S＝______
圆锥 底面积：S底＝______； 侧面积：S侧＝______； 表面积：S＝______
圆台 上底面面积：S上底＝______； 下底面面积：S下底＝______； 侧面积：S侧＝______； 表面积：S＝______
例1　(1)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)
A．7 B．6 C．5 D．3
反思感悟　圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
跟踪训练1　圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)
A．4πS B．2πS C．πS D.πS
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
问题4　我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
知识梳理　
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝________ S为底面积，h是高，r是底面半径
圆锥 V圆锥＝Sh＝________ S为底面积，h是高，r是底面半径
圆台 V圆台＝(S′＋＋S)h＝____________ S′，S分别为上、下底面面积，h为高，r′，r分别是上、下底面半径
例2　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　)
A. cm3 B. cm3
C．288π cm3 D．192π cm3
(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________．
反思感悟　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，圆锥、圆台的高是由母线、高、半径(半径的差)组成的直角三角形的边长列出方程并求解．
跟踪训练2　圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　)
A. B.
C．64π D．128π
三、球的表面积与体积
问题5　设球的半径为R，你能类比圆的面积公式推导方法，推导出球的体积公式吗？
知识梳理　
1．球的表面积公式S＝________(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝________.
例3　(1)球的体积是，则此球的表面积是(　　)
A．12π B．16π C. D.
(2)长、宽、高分别为2，，的长方体的外接球的表面积为(　　)
A．4π B．12π C．24π D．48π
反思感悟　计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径．
跟踪训练3　(1)体积相等的球、正四面体和正方体，它们的表面积的大小关系为(　　)
A．S球B．S球C．S正四面体D．S正方体(2)若将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为________．
1．知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积．
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积．
(3)球的表面积和体积．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚．
1．若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
3．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是(　　)
A. B.
C. D.
4．如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝________.
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
问题1　圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线).则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长.
问题2　圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl＝πrl，∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长.
问题3　
圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图，＝，
解得x＝l，S扇环＝S大扇形－S小扇形＝πR(x＋l)－πrx＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，
所以S圆台侧＝π(r＋R)l，
S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).
知识梳理
2πr2　2πrl　2πr(r＋l)　πr2
πrl　πr(r＋l)　πr′2　πr2
π(r′l＋rl)　π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
例1　(1)1
解析　方法一　设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以πl2＝2π，解得l＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R，则2πR＝2π，解得R＝1.
方法二　设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则πr＝2πR，即r＝2R，所以侧面展开图的面积为
·2R·2πR＝2πR2＝2π，
解得R＝1.
(2)D　[设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，
解得r＝3.]
跟踪训练1　A
问题4　V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高).
知识梳理
πr2h　πr2h　π(r′2＋r′r＋r2)h
例2　(1)AB　[当圆柱的高为8 cm时，V＝π×2×8＝(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V＝π×2×12＝(cm3).]
(2)224π
解析　设上底面半径为r，则下底面半径R＝4r，
高h＝4r，如图.
∵母线长为10，
∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴下底面半径R＝8，高h＝8，
∴V圆台＝π(r2＋rR＋R2)h＝224π.
跟踪训练2　A　
[作圆锥的轴截面，如图所示，
由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，
PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，
则h＝r，PB＝r.
由S侧＝π·r·PB＝16π，
得πr2＝16π，
解得r＝4.则h＝4.
故圆锥的体积V圆锥＝πr2h＝.]
问题5　分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的体积公式.
知识梳理
1.4πR2
2.πR3
例3　(1)B
(2)B　[该长方体的体对角线长为＝2，
该外接球的半径为R，
∴2R＝2，∴R＝，
∴S球＝4πR2＝12π.]
跟踪训练3　(1)B　[设球、正四面体和正方体的体积都为V，
若球的半径为R，则V＝πR3，
可得其表面积S1＝4πR2＝，
若正四面体的棱长为m，
则V＝·m2·m＝m3，
可得m＝，可得其表面积
S2＝4×m2＝m2＝，
若正方体的棱长为a，可得V＝a3，
所以正方体的表面积
S3＝6a2＝6＝，
因为36π<216<216，
所以S1即S球(2)
解析　V小球＝·π·13＝π，
V大球＝πR3，
依题意πR3＝π×2＝π，
∴R3＝2，∴R＝.
随堂演练
1.C　2.A　3.A　4.

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